Bornivorous sada - Bornivorous set

v funkční analýza, podmnožina skutečného nebo komplexního vektorového prostoru X který má přidružený vektorové bornologie ℬ je nazýván rodilý a a narozený Pokud si to absorbuje každý prvek ℬ. Li X je topologický vektorový prostor (TVS), pak podmnožina S z X je rodilý pokud je rodilý s ohledem na von-Neumannova bornologie X.

Bornivorousské množiny hrají důležitou roli v definicích mnoha tříd topologických vektorových prostorů (např. Bornologické prostory ).

Definice

Li X je TVS a pak podmnožina S z X je nazýván rodilý^[1] a a narozený -li S absorbuje každý omezená podmnožina z X.

An pohlcující disk v a lokálně konvexní prostor se rodí, když je jediný Minkowski funkční je místně ohraničený (tj. mapuje ohraničené množiny na ohraničené množiny).^[1]

Infraborožravé sady a infračervené mapy

Je volána lineární mapa mezi dvěma TVS infrapounded pokud to mapuje Banachovy disky na ohraničené disky.^[2]

Disk v X je nazýván infrabornivorous Pokud si to absorbuje každý Banachův disk.^[3]

An pohlcující disk v a lokálně konvexní vesmír je infrabornivorous právě tehdy Minkowski funkční je infrapounded.^[1]

Disk v Hausdorffu lokálně konvexní vesmír je infrabornivorický právě tehdy, když pohltí všechny kompaktní disky (tj. je „compactivorous“).^[1]

Vlastnosti

Každá narozená a infraborožravá podmnožina TVS je pohlcující. V pseudometrizovatelné TVS, každý narozený je sousedem původu.^[4]

Dvě topologie TVS ve stejném vektorovém prostoru mají stejné ohraničené podmnožiny právě tehdy, pokud mají stejné narozené jedince.^[5]

Předpokládat M je vektorový podprostor konečné codimensione v místně konvexním prostoru X a B ⊆ M. Li B je hlaveň (resp. rodilý barel, bornivorous disk) v M pak existuje barel (resp. bornivorous barrel, bornivorous disk) C v X takhle B = C ∩ M.^[6]

Příklady a dostatečné podmínky

Každé sousedství původu v TVS je rodilé. Konvexní trup, uzavřený konvexní trup a vyvážený trup rodilé množiny je opět rodilá. Preimage of a bornivore under a bounded linear map is a bornivore.^[7]

Li X je TVS, ve kterém je každá ohraničená podmnožina obsažena v konečném dimenzionálním vektorovém podprostoru, pak je každá absorbující množina zrozeným živlem.^[5]

Protiklady

Nechat X být ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ jako vektorový prostor nad reálemi. Li S je vyvážený trup segmentu uzavřené čáry mezi (-1, 1) a (1, 1) S není rodilý, ale konvexní trup S je živorodý. Li T je uzavřený a „vyplněný“ trojúhelník s vrcholy (-1, -1), (-1, 1) a (1, 1) pak T je konvexní množina, která není rodilá, ale její vyvážený trup je rodilý.

Viz také

• Ohraničený lineární operátor
• Ohraničená sada (topologický vektorový prostor)
• Bornologický prostor - Topologický vektorový prostor, kde jakýkoli ohraničený lineární operátor do jiného prostoru je vždy spojitý
• Bornologie
• Prostor lineárních map
• Ultrabornologický prostor
• Vektorové bornology

Reference

Bibliografie

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologické vektorové prostory: Teorie bez podmínek konvexnosti. Přednášky z matematiky. 639. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Berberian, Sterling K. (1974). Přednášky z funkční analýzy a teorie operátora. Postgraduální texty z matematiky. 15. New York: Springer. ISBN  978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Bourbaki, Nicolasi (1987) [1981]. Topologické vektorové prostory: kapitoly 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Přeložil Eggleston, H.G .; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42338-6. OCLC  17499190.
• Conway, John B. (1990). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Funkční analýza: Teorie a aplikace. New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topologické vektorové prostory. Přeložil Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN  978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologie a funkční analýza: Úvodní kurz o teorii topologie duality - bornologie a její využití ve funkční analýze. Matematická studia v Severním Holandsku. 26. Amsterdam New York New York: Severní Holandsko. ISBN  978-0-08-087137-0. OCLC  316549583.
• Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Köthe, Gottfried (1969). Topologické vektorové prostory I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Přeložil Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2. PAN  0248498. OCLC  840293704.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Pohodlné nastavení globální analýzy (PDF). Matematické průzkumy a monografie. 53. Providence, R.I: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.