Cayleyova transformace - Cayley transform
v matematika, Cayleyova transformace, pojmenoval podle Arthur Cayley, je některý ze shluku souvisejících věcí. Jak původně popsal Cayley (1846), Cayleyova transformace je mapování mezi zkosené symetrické matice a speciální ortogonální matice. Transformace je a homografie použito v skutečná analýza, komplexní analýza, a kvaternionová analýza. V teorii Hilbertovy prostory, Cayleyova transformace je mapování mezi lineární operátory (Nikol’skii 2001 ).
Skutečná homografie
Cayleyova transformace je automorfismem skutečná projektivní linie který permutuje prvky {1, 0, −1, ∞} v pořadí. Například mapuje kladná reálná čísla do intervalu [−1, 1]. Proto se Cayleyova transformace používá k přizpůsobení Legendární polynomy pro použití s funkcemi kladných reálných čísel s Legendární racionální funkce.
Jako skutečný homografie, body jsou popsány pomocí projektivní souřadnice a mapování je
Složitá homografie
V složitá projektivní rovina Cayleyova transformace je:[1][2]
Protože {∞, 1, –1} je namapováno na {1, –i, i} a Möbiovy transformace permutovat zobecněné kruhy v složité letadlo, F mapuje skutečnou čáru na jednotkový kruh. Kromě toho od F je kontinuální a já je vzat na 0 uživatelem F, je horní polorovina namapována na jednotka disku.
Z hlediska modely z hyperbolická geometrie, tato Cayleyova transformace souvisí s Poincarého polorovinový model do Poincaré model disku. V elektrotechnice byla Cayleyova transformace použita k mapování a reaktance polorovina k Smithův graf používá impedanční přizpůsobení přenosových vedení.
Quaternion homografie
V čtyřrozměrný prostor z čtveřice q = A + b i + C j + d k, versors
- tvoří jednotku 3 koule.
Protože čtveřice jsou nekomutativní, její prvky projektivní linie mít homogenní souřadnice napsané U (a, b) k označení, že se homogenní faktor na levé straně znásobuje. Čtverečková transformace je
Skutečné a komplexní homografie popsané výše jsou příklady kvartérní homografie, kde θ je nula nebo π / 2. Transformace evidentně trvá u → 0 → –1 a vezme -u → ∞ → 1.
Hodnocení této homografie na q = 1 mapuje versora u do své osy:
Ale
Tím pádem
V této formě byla Cayleyova transformace popsána jako racionální parametrizace rotace: Let t = tan φ / 2 v identitě komplexního čísla[3]
kde je pravá strana transformací t i a levá strana představuje rotaci roviny zápornými φ radiány.
Inverzní
Nechat Od té doby
kde je rovnocennost v projektivní lineární skupina přes čtveřice, inverzní z F(u, 1) je
Protože homografie jsou bijekce, mapuje vektorové čtveřice na 3 sféru verzů. Jako versors představují rotace ve 3 prostoru, homografie F −1 produkuje rotace z koule v ℝ3.
Maticová mapa
Mezi n×n čtvercové matice přes skutečné, s Já matice identity, ať A být kdokoli šikmo symetrická matice (aby AT = −A). Pak Já + A je invertibilní a Cayleyova transformace
vyrábí ortogonální matice, Q (aby QTQ = Já). Násobení matice v definici Q výše je komutativní, takže Q lze alternativně definovat jako . Ve skutečnosti, Q musí mít determinant +1, takže je speciální ortogonální. Naopak, pojďme Q být libovolná ortogonální matice, která nemá −1 jako vlastní číslo; pak
je zešikmená symetrická matice. Podmínka na Q automaticky vylučuje matice s determinantem −1, ale také vylučuje určité speciální ortogonální matice.
Vidíme také trochu jinou formu,[4][5] vyžadující různá zobrazení v každém směru:
Mapování lze také psát s obráceným pořadím faktorů;[6][7] nicméně, A vždy dojíždí s (μJá ± A)−1, takže změna pořadí nemá na definici vliv.
Příklady
V případě 2 × 2 máme
Matice rotace o 180 °, -Já, je vyloučeno, i když se jedná o limit jako opáleníθ⁄2 jde do nekonečna.
V případě 3 × 3 máme
kde K. = w2 + X2 + y2 + z2, a kde w = 1. Toto poznáváme jako rotační matici odpovídající čtveřice
(podle vzorce, který Cayley publikoval před rokem), s výjimkou měřítka tak w = 1 místo obvyklého měřítka, aby w2 + X2 + y2 + z2 = 1. Tedy vektor (X,y,z) je jednotková osa rotace se stupnicí opáleníθ⁄2. Vyloučeny jsou opět rotace o 180 °, což jsou v tomto případě všechny Q což jsou symetrický (aby QT = Q).
Ostatní matice
Můžeme rozšířit mapování na komplex matice nahrazením "unitární "pro" ortogonální "a"šikmo-poustevník „for“ skew-symetric ”, rozdíl je v tom, že transpozice (·T) se nahrazuje konjugovat transponovat (·H). To je v souladu s nahrazením standardního skutečného vnitřní produkt se standardním komplexním vnitřním produktem. Ve skutečnosti můžeme definici dále rozšířit o možnosti adjoint jiné než transponovat nebo konjugovat transponovat.
Formálně definice vyžaduje pouze určitou invertibilitu, takže ji můžeme nahradit Q libovolná matice M jejichž vlastní čísla neobsahují −1. Například máme
Poznamenáváme to A je zkosený symetrický (respektive zkosený hermitovský) právě tehdy Q je ortogonální (respektive jednotkové) bez vlastního čísla −1.
Mapa operátora
Nekonečno-dimenzionální verze vnitřní produktový prostor je Hilbertův prostor, a už nemůžeme mluvit matice. Matice jsou však pouze reprezentací lineární operátory a tyto ještě máme. Takže zobecněním maticového mapování i komplexního mapování rovin můžeme definovat Cayleyovu transformaci operátorů.
Zde doména U, domU, je (A+iJá) domA. Vidět operátor s vlastním nastavením pro další detaily.
Viz také
Reference
- ^ Robert Everist Green & Steven G. Krantz (2006) Teorie funkcí jedné komplexní proměnné, strana 189, Postgraduální studium matematiky #40, Americká matematická společnost ISBN 9780821839621
- ^ Erwin Kreyszig (1983) Pokročilá inženýrská matematika, 5. vydání, strana 611, Wiley ISBN 0471862517
- ^ Vidět Tečný poloviční úhel vzorec
- ^ Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Maticové výpočty (3. vyd.), Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
- ^ F. Chong (1971) „Geometrická nota o Cayleyho transformaci“, strany 84,5 v Spektrum matematiky: Eseje předložené H. G. Forderovi, John C. Butcher editor, Auckland University Press
- ^ Courant, Richarde; Hilbert, David (1989), Metody matematické fyziky, 1 (1. anglické vydání), New York: Wiley-Interscience, str. 536, 7, ISBN 978-0-471-50447-4 Ch.VII, §7.2
- ^ Howard Eves (1966) Teorie elementárních matic, § 5.4A Cayleyova konstrukce skutečných ortogonálních matic, strany 365–7, Allyn & Bacon
- Sterling K.Berberian (1974) Přednášky z funkční analýzy a teorie operátora, Postgraduální texty z matematiky # 15, strany 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
- Cayley, Arthur (1846), „Sur quelques propriétés des déterminants gauches“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 119–123, doi:10,1515 / crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102; přetištěno jako článek 52 (str. 332–336) v Cayley, Arthur (1889), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, I (1841–1853), Cambridge University Press, str. 332–336
- Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Úvod do Hilbertových prostorů s aplikacemi, strana 213, Akademický tisk ISBN 0-12-208435-7
- Gilbert Helmberg (1969) Úvod do spektrální teorie v Hilbertově prostoru, strana 288, § 38: The Cayley Transform, Applied Mathematics and Mechanics # 6, Severní Holandsko
- Henry Ricardo (2010) Moderní úvod do lineární algebry, strana 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 .
externí odkazy
- Cayleyova parametrizace ortogonálních matic na PlanetMath.
- Nikol’skii, N. K. (2001), "Cayleyova transformace", Encyklopedie matematiky, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-0609-8; přeloženo z ruštiny Vinogradov, I. M., vyd. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya, Moskva: Sovetskaya Entsiklopediya