Gauss – Lucasova věta - Gauss–Lucas theorem

v komplexní analýza, obor matematiky, Gauss – Lucasova věta dává geometrický vztah mezi kořeny a polynomiální P a jeho kořeny derivát P ′. Sada kořenů skutečného nebo komplexního polynomu je sada bodů v složité letadlo. Věta říká, že kořeny P ′ všichni leží uvnitř konvexní obal kořenů P, to je nejmenší konvexní mnohoúhelník obsahující kořeny P. Když P má jeden kořen, pak je tento konvexní trup jediným bodem a když kořeny leží na a čára pak je konvexní trup a segment této řady. Gauss – Lucasova věta, pojmenovaná po Carl Friedrich Gauss a Félix Lucas, je v duchu podobný Rolleova věta.

Přehrát média

Ilustrace Gaussovy věty Lucas, zobrazující vývoj kořenů derivací polynomu.

Formální prohlášení

Li P je (nekonstantní) polynom se složitými koeficienty nuly z P ′ patří do konvexního trupu množiny nulP.^[1]

Speciální případy

Je snadné vidět, že pokud P(X) = sekera² + bx + C je polynom druhého stupně, nula P ′(X) = 2sekera + b je průměrný kořenů P. V takovém případě je konvexní trup úsečkou se dvěma kořeny jako koncovými body a je zřejmé, že průměr kořenů je středním bodem segmentu.

Pro komplexní polynom třetího stupně P (kubická funkce ) se třemi odlišnými nulami, Mardenova věta uvádí, že nuly P ′ jsou ohniska Steiner inellipse což je jedinečná tečna elipsy ke středním bodům trojúhelníku tvořeného nulami P.

Pro složitý polynom čtvrtého stupně P (kvartická funkce ) se čtyřmi odlišnými nulami tvořícími konkávní čtyřúhelník, jedna z nul P leží v konvexním trupu ostatních tří; všechny tři nuly P ′ leží ve dvou ze tří trojúhelníků tvořených vnitřní nulou P a další dvě nuly P.^[2]

Kromě toho, pokud je polynom stupně n z skutečné koeficienty má n výrazné skutečné nuly ${displaystyle x_ {1}$ vidíme, pomocí Rolleova věta, že nuly derivačního polynomu jsou v intervalu ${displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ což je konvexní trup množiny kořenů.

Konvexní trup kořenů polynomu

${displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + p_ {0}}$

zahrnuje zejména bod

${displaystyle - {frac {p_ {n-1}} {ncdot p_ {n}}}.}$

Důkaz

Přes komplexní čísla P je produktem hlavních faktorů

${displaystyle P (z) = alfa prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}$

kde komplexní čísla ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}}$ jsou - ne nutně odlišné - nuly polynomu P, komplexní číslo ${displaystyle alpha}$ je hlavní koeficient P a n je stupeň P. Nechat z být jakékoli komplexní číslo, pro které ${displaystyle P (z) eq 0.}$ Pak máme pro logaritmická derivace

${displaystyle {frac {P ^ {prime} (z)} {P (z)}} = součet _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {z-a_ {i}}}.}$

Zejména pokud z je nula ${displaystyle P '}$ a ${displaystyle P (z) eq 0}$, pak

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}$

nebo

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {{overline {z}} - {overline {a_ {i}}}} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} = 0 .}$

Toto může být také napsáno jako

${displaystyle left (sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} ight) {overline {z}} = left (sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} {overline {a_ {i}}} ight).}$

Když vezmeme jejich konjugáty, vidíme to ${displaystyle z}$ je vážený součet s kladnými koeficienty, které jsou součtem jednoho, nebo barycentrum na afinních souřadnicích, komplexních čísel ${displaystyle a_ {i}}$ (s různou hmotností přiřazenou každému kořenu, jehož hmotnosti se souhrnně sčítají k 1).

Li ${displaystyle P (z) = P '(z) = 0,}$ pak

${displaystyle z = 1cdot a_ {i} + vlevo (součet _ {j = 1, jeq i} ^ {n} 0cdot {a_ {j}} vpravo)}$

pro některé i, a stále je konvexní kombinace kořenů ${displaystyle P}$.

Viz také

Poznámky

Reference

• Lucas, Félix (1874). „Propriétés géométriques des fractionnes rationnelles“. ČR Acad. Sci. Paříž. 77: 431–433.
• Morris Marden, Geometrie polynomů, AMS, 1966.

externí odkazy

• „Gauss-Lucasova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lucas – Gaussova věta Bruce Torrence, Demonstrační projekt Wolfram.