Voorhoeveův index - Voorhoeve index

V matematice je Voorhoeveův index je nezáporný reálné číslo spojené s jistým funkce na komplexní čísla, pojmenoval podle Marc Voorhoeve. Může být použit k prodloužení Rolleova věta od reálných funkcí po složité funkce, přičemž roli, kterou pro skutečné funkce hraje počet nul funkce v interval.

Definice

Voorhoeveův index ${ displaystyle V_ {I} (f)}$ funkce s komplexní hodnotou F to je analytický v komplexu sousedství skutečného intervalu ${ displaystyle I}$ = [A, b] darováno

${ displaystyle V_ {I} (f) = { frac {1} {2 pi}} int _ {a} ^ {b} ! left | { frac {d} {dt}} { rm {Arg}} , f (t) vpravo | , , dt , = { frac {1} {2 pi}} int _ {a} ^ {b} ! vlevo | { rm {Im}} vlevo ({ frac {f '} {f}} vpravo) vpravo | , dt.}$

(Různí autoři používají různé normalizační faktory.)

Rolleova věta

Rolleova věta uvádí, že pokud F je průběžně diferencovatelné funkce se skutečnou hodnotou na skutečná linie, a F(A) = F(b) = 0, kde A < b, pak jeho derivát F „musí mít přesně nulu mezi A a b. Nebo obecněji, pokud ${ displaystyle N_ {I} (f)}$ označuje počet nul spojitě diferencovatelné funkce F na intervalu ${ displaystyle I}$, pak ${ displaystyle N_ {I} (f)}$ ≤ ${ displaystyle N_ {I}}$(F ') + 1.

Nyní máme analogii Rollovy věty:

${ displaystyle V_ {I} (f) leq V_ {I} (f ') + { frac {1} {2}}.}$

To vede k omezení počtu nul analytické funkce ve složité oblasti.

Reference