Harrisův řetězec - Harris chain

V matematické studii o stochastické procesy, a Harrisův řetězec je Markovův řetězec kde se řetězec vrací do určité části stavového prostoru neomezeně mnohokrát.^[1] Harrisovy řetězy jsou regenerační procesy a jsou pojmenovány po Theodore Harris. Teorie Harrisových řetězců a Harrisova opakování je užitečná pro léčbu Markovových řetězců v obecných (možná nespočetně nekonečných) stavových prostorech.

Definice

Nechť {X_n} být Markovův řetězec na obecném stavovém prostoru Ω s stochastické jádro K.. Jádro představuje zobecněný zákon pravděpodobnosti přechodu v jednom kroku, takže P [X_n+1 ∈ C | X_n = X] = K.(X, C) pro všechny státy X v Ω a všechny měřitelné sady C ⊆ Ω. Řetěz {X_n} je Harrisův řetězec^[2] pokud existuje A ⊆ Ω, ϵ > 0 a míra pravděpodobnosti ρ s ρ(Ω) = 1 takový, že

1. Li τ_A : = inf {n ≥ 0 : X_n ∈ A}, pak P (τ_A < ∞ | X₀ = X) = 1 pro všechny X ∈ Ω.
2. Li X ∈ A a C ⊆ Ω (kde C je měřitelný) K.(X, C) ≥ ερ(C).

První část definice zajišťuje, že se řetězec vrátí do nějakého stavu uvnitř A s pravděpodobností 1, bez ohledu na to, kde to začíná. Z toho vyplývá, že navštěvuje stát A nekonečně často (s pravděpodobností 1). Druhá část naznačuje, že jakmile je markovský řetězec ve stavu A, jeho další stav lze generovat pomocí nezávislého převrácení mince Bernoulli. Nejprve si všimněte, že parametr ε musí být mezi 0 a 1 (lze to ukázat aplikací druhé části definice na množinu C = Ω). Tak teď X být bodem v A a předpokládejme X_n = X. Chcete-li zvolit další stav X_n+1, nezávisle otočte neobjektivní minci s pravděpodobností úspěchu ϵ. Pokud je převrácení mince úspěšné, zvolte další stav X_n+1 ∈ Ω podle míry pravděpodobnosti ρ. Jinak (a pokud ϵ <1), vyberte další stav X_n+1 podle míry P [X_n+1 ∈ C | X_n = X] = (K.(X, C) − ερ(C))/(1 − ε) (definováno pro všechny měřitelné podmnožiny.)C ⊆ Ω).

Dva náhodné procesy {X_n} a {Y_n}, které mají stejný zákon pravděpodobnosti a jsou Harrisovými řetězci podle výše uvedené definice, lze spojit takto: Předpokládejme, že X_n=X a Y_n = y, kde X a y jsou body v A. Při použití stejného převrácení mince k rozhodnutí o dalším stavu obou procesů vyplývá, že další stavy jsou stejné s pravděpodobností alespoň ε.

Příklady

Příklad 1: Počitatelný stavový prostor

Nechť Ω je spočetný stavový prostor. Jádro K. je definována pravděpodobnostmi podmíněného přechodu v jednom kroku P [X_n+1 = y | X_n = X] pro X,y ∈ Ω. Míra ρ je pravděpodobnostní hromadná funkce na stavech, takže ρ(X) ≥ 0 pro všechny X ∈ Ω a součet ρ(x) pravděpodobnosti se rovná jedné. Předpokládejme, že výše uvedená definice je pro danou množinu splněna A ⊆ Ω a daný parametr ε> 0. Pak P [X_n+1 = C | X_n = X] ≥ ερ(C) pro všechny X ∈ A a všechno C ∈ Ω.

Příklad 2: Řetězy se spojitou hustotou

Nechť {X_n}, X_n ∈ R^d být Markovův řetězec s jádro to je absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření:

K.(X, dy) = K.(X, y) dy

takhle K.(X, y) je spojitá funkce.

Vybrat (X₀, y₀) takové, že K.(X₀, y₀ )> 0, a nechat A a Ω být otevřené sady obsahující X₀ a y₀ respektive, které jsou dostatečně malé, aby K.(X, y) ≥ ε > 0 zapnuto A × Ω. Pronájem ρ(C) = | Ω ∩C| / | Ω | kde | Ω | je Lebesgueovo opatření Ω, máme to (2) ve výše uvedené definici. Pokud platí (1), pak {X_n} je Harrisův řetězec.

Redukovatelnost a periodicita

V následujícím, R : = inf {n ≥ 1 : X_n ∈ A}; tj. R je poprvé po čase 0, že proces vstoupí do oblasti A.

Definice: Pokud pro všechny L(X₀), P(R < ∞ | X₀ ∈ A) = 1, pak se volá Harrisův řetězec opakující se.

Definice: Opakující se Harrisův řetězec X_n je neperiodické pokud ∃N, takové, že ∀n ≥ N, ∀L(X₀), P (X_n ∈ A | X₀ ∈ A) > 0.

Teorém: Nechat X_n být neperiodickým opakujícím se Harrisovým řetězcem se stacionární distribucí π. Pokud P (R < ∞ | X₀ = X) = 1 pak jako n → ∞, dist_televize (L(X_n | X₀ = X), π) → 0.

Reference