Odražený Brownův pohyb - Reflected Brownian motion

v teorie pravděpodobnosti, odráží Brownův pohyb (nebo regulovaný Brownův pohyb,^[1][2] oba se zkratkou RBM) je Wienerův proces v prostoru s odrážejícími hranicemi.^[3]

Ukázalo se, že RBM popisují modely do fronty zažívá silný provoz^[2] jak poprvé navrhl Kingman^[4] a prokázáno Iglehartem a Whitt.^[5][6]

Definice

A d–Dimenzionální odražený Brownův pohyb Z je stochastický proces na ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ jednoznačně definováno

• A d–Dimenzionální driftový vektor μ
• A d×d ne singulární kovarianční matice Σ a
• A d×d odrazová matice R.^[7]

kde X(t) je neomezený Brownův pohyb a^[8]

${ displaystyle Z (t) = X (t) + RY (t)}$

s Y(t) a d–Dimenzionální vektor kde

• Y je spojitý a neklesající s Y(0) = 0
• Y_j zvyšuje se pouze občas Z_j = 0 pro j = 1,2,...,d
• Z(t) ∈ ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$, t ≥ 0.

Reflexní matice popisuje okrajové chování. V interiéru ${ displaystyle scriptstyle mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ proces se chová jako a Wienerův proces; na hranici „zhruba řečeno, Z je tlačen ve směru R^j kdykoli hraniční povrch ${ displaystyle scriptstyle {z in mathbb {R} _ {+} ^ {d}: z_ {j} = 0 }}$ je zasažen, kde R^j je jsloupec matice R."^[8]

Podmínky stability

Podmínky stability jsou pro RBM známé v 1, 2 a 3 rozměrech. „Problém klasifikace opakování pro SRBM ve čtyřech a vyšších dimenzích zůstává otevřený.“^[8] Ve zvláštním případě, kdy R je M-matice pak jsou nezbytné a dostatečné podmínky pro stabilitu^[8]

1. R je ne-singulární matice a
2. R⁻¹μ < 0.

Okrajová a stacionární distribuce

Jedna dimenze

The mezní rozdělení (přechodné rozdělení) jednorozměrného Brownova pohybu začínajícího na 0 omezené na kladné hodnoty (jediná odrazná bariéra na 0) s driftem μ a rozptyl σ² je

${ displaystyle mathbb {P} (Z (t) leq z) = Phi left ({ frac {z- mu t} { sigma t ^ {1/2}}} right) -e ^ {2 mu z / sigma ^ {2}} Phi left ({ frac {-z- mu t} { sigma t ^ {1/2}}} right)}$

pro všechny t ≥ 0, (s Φ kumulativní distribuční funkce normálního rozdělení ) který poskytuje (pro μ <0) při užívání t → ∞ an exponenciální rozdělení^[2]

${ displaystyle mathbb {P} (Z$

Pro pevné t, distribuce Z (t) se shoduje s distribucí provozního maxima M (t) Brownova pohybu,

${ displaystyle Z (t) sim M (t) = sup _ {s v [0, t]} X (s).}$

Uvědomte si však, že distribuce procesů jako celku se velmi liší. Zejména, M (t) se zvyšuje v t, což není případ Z (t).

Tepelné jádro pro odražený Brownův pohyb při ${ displaystyle p_ {b}}$:

${ displaystyle f (x, p_ {b}) = { frac {e ^ {- ((xu) / a) ^ {2} / 2} + e ^ {- ((x + u-2p_ {b} ) / a) ^ {2} / 2}} {a (2 pi) ^ {1/2}}}}$

Pro letadlo výše ${ displaystyle x geq p_ {b}}$

Více rozměrů

Stacionární distribuce odraženého Brownova pohybu ve více dimenzích je analyticky využitelná, když existuje produktová forma stacionární distribuce,^[9] ke kterému dochází, když je proces stabilní a^[10]

${ displaystyle 2 Sigma = RD + DR '}$

kde D = diag (Σ). V tomto případě funkce hustoty pravděpodobnosti je^[7]

${ displaystyle p (z_ {1}, z_ {2}, ldots, z_ {d}) = prod _ {k = 1} ^ {d} eta _ {k} e ^ {- eta _ { k} z_ {k}}}$

kde η_k = 2μ_ky_k/Σ_kk a y = R⁻¹μ. Uzavřené výrazy pro situace, kdy podmínka ve formě produktu neplatí, lze vypočítat numericky, jak je popsáno níže v sekci simulace.

Simulace

Jedna dimenze

V jedné dimenzi je simulovaný proces absolutní hodnota a Wienerův proces. Následující MATLAB program vytvoří ukázkovou cestu.^[11]

% rbm.mn = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;X = nuly(1, n+1); M=X; B=X;B(1)=3; X(1)=3;pro k = 2: n + 1    Y = čtv(h) * randn; U = rand(1);    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;    M = (Y + čtv(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);konecsubplot (2, 1, 1)spiknutí(t, X, 'k-');subplot(2, 1, 2)spiknutí(t, X-B, 'k-');

Chyba v diskrétních simulacích byla kvantifikována.^[12]

Více rozměrů

QNET umožňuje simulaci RBM v ustáleném stavu.^[13][14][15]

Další okrajové podmínky

Feller popsal možné okrajové podmínky procesu^[16][17][18]

• vstřebávání^[16] nebo zabitý Brownův pohyb,^[19] A Dirichletova okrajová podmínka
• okamžitý odraz,^[16] jak je popsáno výše a Neumannova okrajová podmínka
• elastický odraz, a Okrajová podmínka Robin
• opožděný odraz^[16] (čas strávený na hranici je kladný s pravděpodobností jeden)
• částečná reflexe^[16] kde se proces buď okamžitě projeví, nebo se vstřebá
• lepkavý Brownův pohyb.^[20]

Viz také

• Skorokhod problém

Reference