Pravidlo trojitého produktu - Triple product rule
Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
The pravidlo trojitého produktu, známý různě jako pravidlo cyklického řetězce, cyklický vztah, cyklické pravidlo nebo Eulerovo pravidlo řetězu, je vzorec, který se týká částečné derivace tří vzájemně závislých proměnných. Pravidlo najde uplatnění v termodynamika, kde lze pomocí funkce formuláře často spojovat tři proměnné F(X, y, z) = 0, takže každá proměnná je uvedena jako implicitní funkce ostatních dvou proměnných. Například an stavová rovnice pro tekutina se týká teplota, tlak, a objem tímto způsobem. Pravidlo trojitého produktu pro takové vzájemně související proměnné X, y, a z pochází z použití a vztah vzájemnosti na výsledku věta o implicitní funkci a je dán
- Poznámka: V každém faktoru je proměnná v čitateli považována za implicitní funkci ostatních dvou. V každém faktoru je indexovaná proměnná udržována konstantní.
Zde dolní indexy označují, které proměnné jsou konstantní, když se vezme částečná derivace. To znamená výslovně vypočítat částečnou derivaci X s ohledem na y s z konstantní, dalo by se psát X jako funkce y a z a vezměte částečnou derivaci této funkce s ohledem na y pouze.
Výhodou pravidla trojitého produktu je, že přeskupením termínů lze odvodit řadu substitučních identit, které umožňují nahradit dílčí deriváty, které je obtížné analyticky vyhodnotit, experimentálně měřit nebo integrovat s kvocienty dílčích derivátů, které jsou snáze zpracovatelné s. Například,
V literatuře jsou uvedeny různé jiné formy pravidla; tyto lze odvodit permutací proměnných {X, y, z}.
Derivace
Následuje neformální odvození. Předpokládejme to F(X, y, z) = 0. Napište z jako funkce X a y. Tak celkový rozdíl dz je
Předpokládejme, že se budeme pohybovat po křivce s dz = 0, kde je křivka parametrizována pomocí X. Tím pádem y lze psát v termínech X, tak na této křivce
Proto rovnice pro dz = 0 se stane
Protože to musí platit pro všechny dx, přeskupení podmínek dává
Dělení deriváty na pravé straně dává pravidlo trojitého produktu
Všimněte si, že tento důkaz vytváří mnoho implicitních předpokladů týkajících se existence parciálních derivací, existence přesný diferenciál dz, schopnost konstruovat křivku v některých sousedství s dz = 0 a nenulová hodnota parciálních derivací a jejich převrácených hodnot. Formální důkaz založený na matematická analýza by eliminovalo tyto potenciální nejasnosti.
Alternativní odvození
Předpokládejme funkci f (x, y, z) = 0, kde X,y a z jsou vzájemnými funkcemi. Napsat celkem diferenciály proměnných
Náhradní dy do dx
Pomocí řetězové pravidlo jeden může ukázat koeficient dx na pravé straně se rovná jedné, tedy koeficient dz musí být nula
Odečtením druhého členu a vynásobením jeho inverzí získáme pravidlo trojitého součinu
Aplikace
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Deriving_Wave_Velocity_using_the_Triple_Product_Rule.png/220px-Deriving_Wave_Velocity_using_the_Triple_Product_Rule.png)
Geometrickou realizaci pravidla trojitého produktu lze nalézt v jeho úzkých vazbách na rychlost pohybující se vlny
zobrazené vpravo t (plná modrá čára) a krátce nato t + Δt (přerušované). Vlna si udržuje svůj tvar, jak se šíří, takže je bod v poloze X v čase t bude odpovídat bodu v poloze x + Δx v čase t + Δt,
Tuto rovnici lze splnit pouze pro všechny X a t -li kΔx-ωΔt = 0, což má za následek vzorec pro fázová rychlost
Pro objasnění souvislosti s pravidlem trojitého produktu zvažte tento bod str1 v čase t a jeho odpovídající bod (se stejnou výškou) p̄1 na t + Δt. Definovat str2 jako okamžik t jehož souřadnice x odpovídá shodě x p̄1a definovat p̄2 být odpovídajícím bodem str2 jak je znázorněno na obrázku vpravo. Vzdálenost Δx mezi str1 a p̄1 je stejná jako vzdálenost mezi str2 a p̄2 (zelené čáry) a vydělením této vzdálenosti Δt poskytuje rychlost vlny.
Vypočítat Δx, zvažte dva dílčí deriváty vypočítané na str2,
Rozdělení těchto dvou parciálních derivací a použití definice sklonu (nárůst děleno během) nám dává požadovaný vzorec pro
kde záporné znaménko odpovídá za to, že str1 leží pozadu str2 vzhledem k pohybu vlny. Rychlost vlny je tedy dána vztahem
Pro nekonečně malé Δt, a obnovíme pravidlo trojitého produktu
Viz také
- Přesný diferenciál (má další odvození pravidla trojitého produktu)
- Celkový derivát
- Trojitý produkt pro vektory a skaláry.
Reference
- Elliott, JR a Lira, CT. Úvodní termodynamika chemického inženýrství, 1. vyd., Prentice Hall PTR, 1999. str. 184.
- Carter, Ashley H. Klasická a statistická termodynamika, Prentice Hall, 2001, s. 392.