Sardsova věta - Sards theorem - Wikipedia

v matematika, Sardova věta, také známý jako Sardovo lemma nebo Morseova-Sardova věta, je výsledkem v matematická analýza který tvrdí, že soubor kritické hodnoty (toto je obraz sady kritické body ) a plynulá funkce F od jednoho Euklidovský prostor nebo potrubí do jiného je a nulová sada, tj. má Lebesgueovo opatření 0. Díky tomu je sada kritických hodnot „malá“ ve smyslu a obecná vlastnost. Věta je pojmenována pro Anthony Morse a Arthur Sard.

Prohlášení

Přesněji řečeno,^[1] nechat

${ displaystyle f colon mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R} ^ {m}}$

být ${ displaystyle C ^ {k}}$, (tj. ${ displaystyle k}$ krát průběžně diferencovatelné ), kde ${ displaystyle k geq max {n-m + 1,1 }}$. Nechat ${ displaystyle X}$ označit kritická sada z ${ displaystyle f,}$ což je množina bodů ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ na kterém Jacobian matrix z ${ displaystyle f}$ má hodnost ${ displaystyle$. Pak obraz ${ displaystyle f (X)}$ má Lebesgueovu míru 0 v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$.

Intuitivně řečeno to znamená, že ačkoli ${ displaystyle X}$ může být velký, jeho obraz musí být malý ve smyslu Lebesgueovy míry: while ${ displaystyle f}$ může mít mnoho kritických bodů v doméně ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, musí mít málo kritických hodnoty na obrázku ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$.

Obecněji platí, že výsledek platí i pro mapování mezi diferencovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$ rozměrů ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$, resp. Kritická sada ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle C ^ {k}}$ funkce

${ displaystyle f: N rightarrow M}$

se skládá z těch bodů, ve kterých rozdíl

${ displaystyle df: TN rightarrow TM}$

má hodnost menší než ${ displaystyle m}$ jako lineární transformace. Li ${ displaystyle k geq max {n-m + 1,1 }}$, pak Sardova věta tvrdí, že obraz ${ displaystyle X}$ má nulu jako podmnožinu ${ displaystyle M}$. Tato formulace výsledku vyplývá z verze pro euklidovské prostory převzetím a spočetná sada souřadnicových záplat. Závěrem věty je místní příkaz, protože spočetné sjednocení množin nulové míry je množina nulové míry a vlastnost podmnožiny souřadnicové záplaty mající nulovou míru je neměnná pod difeomorfismus.

Varianty

Existuje mnoho variant tohoto lemmatu, které hraje základní roli v teorie singularity mimo jiné pole. Pouzdro ${ displaystyle m = 1}$ bylo prokázáno Anthony P. Morse v roce 1939,^[2] a obecný případ od Arthur Sard v roce 1942.^[1]

Verze pro nekonečně dimenzionální Banachova potrubí bylo prokázáno Stephen Smale.^[3]

Tvrzení je docela silné a důkaz zahrnuje analýzu. v topologie to je často citováno - jako v Brouwerova věta o pevném bodě a některé aplikace v Morseova teorie - abychom dokázali slabší důsledek, který „má nekonstantní plynulá mapa aspoň jeden běžná hodnota “.

V roce 1965 Sard dále zobecnil svou větu, aby uvedl, že pokud ${ displaystyle f: N rightarrow M}$ je ${ displaystyle C ^ {k}}$ pro ${ displaystyle k geq max {n-m + 1,1 }}$ a pokud ${ displaystyle A_ {r} subseteq N}$ je množina bodů ${ displaystyle x v N}$ takhle ${ displaystyle df_ {x}}$ má pozici přísně menší než ${ displaystyle r}$, pak r-dimenzionální Hausdorffovo opatření z ${ displaystyle f (A_ {r})}$ je nula.^[4] Zejména Hausdorffova dimenze z ${ displaystyle f (A_ {r})}$ je nanejvýš r. Upozornění: Hausdorffova dimenze ${ displaystyle f (A_ {r})}$ může být libovolně blízko r.^[5]

Viz také

• Obecná vlastnost

Reference

Další čtení

• Hirsch, Morris W. (1976), Diferenciální topologie, New York: Springer, s. 67–84, ISBN  0-387-90148-5.
• Sternberg, Shlomo (1964), Přednášky o diferenciální geometrii, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, PAN  0193578, Zbl  0129.13102.