Σ-kompaktní prostor - σ-compact space - Wikipedia

v matematika, a topologický prostor se říká, že je σ-kompaktní pokud se jedná o svazek spočetně mnoho kompaktní podprostory.[1]

Prostor se říká, že je σ-místně kompaktní pokud je to σ-kompaktní i místně kompaktní.[2]

Vlastnosti a příklady

  • Každý kompaktní prostor je σ-kompaktní a každý σ-kompaktní prostor je Lindelöf (tj. každý otevřete kryt má spočítatelné dílčí úkryt ).[3] Opačné důsledky nedrží například standard Euklidovský prostor (Rn) je σ-kompaktní, ale ne kompaktní,[4] a topologie spodního limitu na skutečné linii je Lindelöf, ale ne σ-kompaktní.[5] Ve skutečnosti spočítatelná topologie doplňků na jakékoli nepočitatelné množině je Lindelöf, ale ani σ-kompaktní, ani lokálně kompaktní.[6] Je však pravda, že jakýkoli lokálně kompaktní Lindelöfův prostor je σ-kompaktní.
  • A Hausdorff, Baireův prostor to je také σ-kompaktní, musí být místně kompaktní alespoň v jednom bodě.
  • Li G je topologická skupina a G je v jednom okamžiku lokálně kompaktní G je všude místně kompaktní. Předchozí vlastnost nám tedy říká, že pokud G je σ-kompaktní, Hausdorffova topologická skupina, která je tedy také baireským prostorem G je místně kompaktní. To ukazuje, že pro topologické skupiny Hausdorff, které jsou také Baireovými prostory, znamená σ-kompaktnost lokální kompaktnost.
  • Předchozí vlastnost například naznačuje, že Rω není σ-kompaktní: pokud by to bylo σ-kompaktní, bylo by to od té doby nutně lokálně kompaktní Rω je topologická skupina, která je také baireským prostorem.
  • Každý polokompaktní prostor je σ-kompaktní.[7] Konverzace však není pravdivá;[8] například prostor racionální, s obvyklou topologií, je σ-kompaktní, ale ne hemicompact.
  • The produkt konečného počtu σ-kompaktních prostorů je σ-compact. Produkt nekonečného počtu σ-kompaktních prostorů však nemusí být σ-kompaktní.[9]
  • Σ-kompaktní prostor X je druhá kategorie (respektive Baire) právě tehdy, je-li množina bodů, ve kterých je X je lokálně kompaktní, je neprázdný (respektive hustý) v X.[10]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Steen, str. 19; Willard, str. 126.
  2. ^ Steen, str. 21.
  3. ^ Steen, str. 19.
  4. ^ Steen, str. 56.
  5. ^ Steen, str. 75–76.
  6. ^ Steen, str. 50.
  7. ^ Willard, str. 126.
  8. ^ Willard, str. 126.
  9. ^ Willard, str. 126.
  10. ^ Willard, str. 188.

Reference

  • Steen, Lynn A. a Seebach, J. Arthur Jr.; Protiklady v topologii, Holt, Rinehart a Winston (1970). ISBN  0-03-079485-4.
  • Willard, Stephen (2004). Obecná topologie. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.