Monoidní funktor - Monoidal functor
v teorie kategorií, monoidální funktory jsou funktory mezi monoidní kategorie které zachovávají monoidní strukturu. Přesněji řečeno, monoidální funktor mezi dvěma monoidálními kategoriemi se skládá z funktoru mezi kategoriemi spolu se dvěma koherentní mapy—Přirozená transformace a morfismus, které zachovávají monoidální množení a jednotku. Matematici vyžadují, aby tyto mapy koherence uspokojily další vlastnosti v závislosti na tom, jak přísně chtějí zachovat monoidní strukturu; každá z těchto vlastností vede k mírně odlišné definici monoidních funktorů
- Soudržnost mapy laxní monoidální funktory nevyhovuje žádným dalším vlastnostem; nejsou nutně invertibilní.
- Soudržnost mapy silné monoidální funktory jsou invertibilní.
- Soudržnost mapy přísné monoidální funktory jsou mapy totožnosti.
Ačkoli zde rozlišujeme tyto různé definice, autoři mohou libovolnou z nich jednoduše nazvat monoidální funktory.
Definice
Nechat a být monoidální kategorie. A laxní monoidální funktor z na (který lze také nazvat monoidním funktorem) se skládá z a funktor společně s a přirozená transformace
mezi funktory a morfismus
- ,
volal koherentní mapy nebo strukturní morfismy, které jsou takové, že pro každé tři objekty , a z diagramy
,
a
dojíždět v kategorii . Nahoře různé přirozené transformace označené pomocí jsou části monoidní struktury na a .
Varianty
- Duál monoidního funktoru je a komonoidní funktor; je to monoidální funktor, jehož koherenční mapy jsou obráceny. Komonoidní funktory lze také nazývat opmonoidní, koaxiální monoidální nebo oplaxové monoidální funktory.
- A silný monoidální funktor je monoidní funktor, jehož koherenční mapy jsou invertibilní.
- A přísný monoidální funktor je monoidní funktor, jehož koherenční mapy jsou identity.
- A pletený monoidní funktor je monoidální funktor mezi pletené monoidní kategorie (s opletením označeným ) tak, že následující diagram dojíždí pro každou dvojici objektů A, B v :
- A symetrický monoidální funktor je opletený monoidní funktor, jehož doménou a doménou jsou symetrické monoidní kategorie.
Příklady
- Základní funktor z kategorie abelianských skupin do kategorie sad. V tomto případě mapa odešle (a, b) do ; mapa posílá až 1.
- Li je (komutativní) prsten, pak volný funktor se vztahuje i na silně monoidní funktor (a také -li je komutativní).
- Li je homomorfismus komutativních kruhů, potom omezovací funktor je monoidní a indukční funktor je silně monoidní.
- Důležitým příkladem symetrického monoidního funktoru je matematický model topologická kvantová teorie pole, který byl nedávno vyvinut. Nechat být kategorií cobordismů z n-1, n-dimenzionální potrubí s tenzorovým produktem daným disjunktním spojením a jednotkou prázdné potrubí. Topologická kvantová teorie pole v dimenzi n je symetrický monoidní funktor
- The homologie funktor je monoidní jako přes mapu .
Vlastnosti
- Li je monoidní objekt v , pak je monoidní objekt v .
Monoidní funktory a doplňky
Předpokládejme, že funktor je ponechán adjungovaný s monoidem . Pak má komonoidní strukturu vyvolané , definován
a
- .
Pokud je indukovaná struktura zapnutá je silný, pak jednotka a počet adjunkce jsou monoidní přirozené transformace, a adjektivum se říká, že a monoidní přídavek; naopak, levé adjunkci monoidálního adjunkce je vždy silný monoidální funktor.
Podobně je pravý adjunkční prvek komonoidního funktoru monoidální a pravý adjunkt komonoidního adjunktu je silný monoidální funktor.
Viz také
Reference
- Kelly, G. Max (1974), „Doctrinal adjunction“, Přednášky z matematiky, 420, 257–280