Přesný funktor - Exact functor

v matematika, zejména homologická algebra, an přesný funktor je funktor který zachovává krátké přesné sekvence. Přesné funktory jsou vhodné pro algebraické výpočty, protože je lze přímo použít na prezentace objektů. Velká část práce v homologické algebře je navržena tak, aby se vyrovnala s funktory selhat abych byl přesný, ale způsoby, které lze stále ovládat.

Definice

Nechat P a Q být abelianské kategorie a nechte F: P→Q být kovariantní aditivní funktor (aby zejména F (0) = 0). Říkáme to F je přesný funktor pokud, kdykoli

{ displaystyle 0 až A { stackrel {f} { to}} B { stackrel {g} { to}} C až 0}

je krátká přesná sekvence v P, pak

{ displaystyle 0 až F (A) { stackrel {F (f)} { to}} F (B) { stackrel {F (g)} { to}} F (C) až 0}

je krátká přesná sekvence v Q. (Mapy jsou často vynechány a naznačeny a jeden říká: „kdyby 0→A→B→C→0 je tedy přesný 0→F (A)→F (B)→F (C)→0 je také přesný ".)

Dále to říkáme F je

přesný vlevo pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný 0→F (A)→F (B)→F (C) je přesný;
pravý-přesný pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný F (A)→F (B)→F (C)→0 je přesný;
napůl přesné pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný F (A)→F (B)→F (C) je přesný. To se liší od pojmu a topologický poloviční přesný funktor.

Li G je protikladný aditivní funktor z P na Q, definujeme podobně G být

přesný pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný 0→G (C)→G (B)→G (A)→0 je přesný;
přesný vlevo pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný 0→G (C)→G (B)→G (A) je přesný;
pravý-přesný pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný G (C)→G (B)→G (A)→0 je přesný;
napůl přesné pokud, kdykoli 0→A→B→C→0 je tedy přesný G (C)→G (B)→G (A) je přesný.

Není vždy nutné začínat celou krátkou přesnou sekvencí 0→A→B→C→0 aby byla zachována přesnost. Následující definice jsou ekvivalentní výše uvedeným definicím:

F je přesný kdyby a jen kdyby A→B→C přesné naznačuje F (A)→F (B)→F (C) přesný;
F je přesný vlevo kdyby a jen kdyby 0→A→B→C přesné naznačuje 0→F (A)→F (B)→F (C) přesné (tj. pokud „F změní jádra na jádra ");
F je pravý-přesný kdyby a jen kdyby A→B→C→0 přesné naznačuje F (A)→F (B)→F (C)→0 přesné (tj. pokud „F přeměňuje jádra na jádra ");
G je přesný vlevo kdyby a jen kdyby A→B→C→0 přesné naznačuje 0→G (C)→G (B)→G (A) přesné (tj. pokud „G mění jádra na jádra ");
G je pravý-přesný kdyby a jen kdyby 0→A→B→C přesné naznačuje G (C)→G (B)→G (A)→0 přesné (tj. pokud „G změní jádra na jádra ").

Příklady

Každý rovnocennost nebo dualita abelianských kategorií je přesný.

Nejzákladnějšími příklady levých přesných funktorů jsou funktory Hom: if A je abelianská kategorie a A je předmětem A, pak F_A(X) = Hom_A(A,X) definuje kovariantní levý přesný funktor A do kategorie Ab z abelianské skupiny.^[1] Funktor F_A je přesný právě tehdy A je projektivní.^[2] Funktor G_A(X) = Hom_A(X,A) je kontravariantní levý přesný funktor;^[3] je přesný právě tehdy A je injekční.^[4]

Li k je pole a PROTI je vektorový prostor přes k, píšeme PROTI* = Hom_k(PROTI,k) (toto je obecně známé jako dvojí prostor ). Tím se získá kontravariantní přesný funktor z kategorie k-vektorové mezery pro sebe. (Přesnost vyplývá z výše uvedeného: k je injekční k-modul. Alternativně lze tvrdit, že každá krátká přesná sekvence k-vektorové mezery rozdělí se a jakýkoli doplňkový funktor změní rozdělené sekvence na rozdělené sekvence.)

Li X je topologický prostor můžeme uvažovat o abelianské kategorii všech snopy abelianských skupin na X. Kovariantní funktor, který je spojen s každým svazkem F skupina globálních sekcí F(X) je přesný vlevo.

Li R je prsten a T je právo R-modul, můžeme definovat funktor H_T od abelian kategorie všech vlevo R- moduly na Ab pomocí tenzorový produkt přes R: H_T(X) = T ⊗ X. Toto je kovariantní pravý přesný funktor; je přesný právě tehdy T je byt. Jinými slovy, vzhledem k přesné posloupnosti A→B→C→0 vlevo R moduly, posloupnost abelianských skupin T ⊗ A→T ⊗ B→T ⊗ C.→0 je přesný.

Například, ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je byt ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -modul. Proto tenzorování s ${ displaystyle mathbb {Q}}$ jako ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -module je přesný funktor. Důkaz: Postačí ukázat, že pokud i je injektivní mapa ${ displaystyle mathbb {Z}}$ - moduly ${ displaystyle i: M až N}$ , pak odpovídající mapa mezi tenzorovými produkty ${ displaystyle M otimes mathbb {Q} až N otimes mathbb {Q}}$ je injekční. Jeden to může ukázat ${ displaystyle m otimes q = 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle m}$ je torzní prvek nebo ${ displaystyle q = 0}$ . Dané tenzorové produkty mají pouze čisté tenzory. Proto stačí ukázat, že pokud je to čistý tenzor ${ displaystyle m otimes q}$ je v jádře, pak je nula. Předpokládejme to ${ displaystyle m otimes q}$ je nenulový prvek jádra. Pak, ${ displaystyle i (m)}$ je kroucení. Od té doby ${ displaystyle i}$ je injekční, ${ displaystyle m}$ je kroucení. Proto, ${ displaystyle m otimes q = 0}$ , což je rozpor. Proto, ${ displaystyle M otimes mathbb {Q} až N otimes mathbb {Q}}$ je také injekční.

Obecně, pokud T není plochý, pak tenzorový produkt nezůstává přesný. Zvažte například krátkou přesnou posloupnost ${ displaystyle mathbf {Z}}$ - moduly ${ displaystyle 5 mathbf {Z} ; ; { hookrightarrow} ; ; mathbf {Z} twoheadrightarrow mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ . Tenzorování skončilo ${ displaystyle mathbf {Z}}$ s ${ displaystyle mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ dává posloupnost, která již není přesná, protože ${ displaystyle mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ není torzní a proto není plochý.

Li A je abelianská kategorie a C je libovolný malá kategorie, můžeme uvažovat o kategorie funktorů A^C skládající se ze všech funktorů z C na A; je to abelian. Li X je daný objekt C, pak dostaneme funktor E_X z A^C na A hodnocením funktorů na X. Tento funktor E_X je přesný.

Zatímco tenzorování nemusí být ponecháno přesné, lze ukázat, že tenzorování je správný přesný funktor:

Věta: Nechť A, B, C a P být R moduly pro komutativní kruh R s multiplikativní identitou. Nechat ${ displaystyle A { stackrel {f} { to}} B { stackrel {g} { to}} C až 0}$

být krátká přesná sekvence z R moduly

{ displaystyle A otimes _ {R} P { stackrel {f otimes P} { to}} B otimes _ {R} P { stackrel {g otimes P} { to}} C otimes _ {R} P to 0}

je také a krátká přesná sekvence z R moduly. (Od té doby R je komutativní, tato posloupnost je posloupností R modulů a nejen abelianských skupin). Zde definujeme:

{ Displaystyle f otimes P (a otimes p): = f (a) otimes p, g otimes P (b otimes p): = g (b) otimes p}

.

To má užitečný důsledek: Pokud Já je ideál R a P je tedy výše ${ displaystyle P otimes _ {R} (R / I) cong P / IP}$

Důkaz:: ${ displaystyle I { stackrel {f} { to}} R { stackrel {g} { to}} R / I na 0}$ , kde F je zahrnutí a G je projekce, je přesná sekvence R moduly. Z výše uvedeného dostaneme, že: ${ displaystyle I otimes _ {R} P { stackrel {f otimes P} { to}} R otimes _ {R} P { stackrel {g otimes P} { to}} R / I otimes _ {R} P to 0}$ je také a krátká přesná sekvence z R moduly. Přesností, ${ Displaystyle R / I otimes _ {R} P cong (R otimes _ {R} P) / Image (f otimes P) = (R otimes _ {R} P) / (I otimes _ {R} P)}$ , od té doby F je zahrnutí. Nyní zvažte R homomorfismus modulu z ${ displaystyle R otimes _ {R} P rightarrow P}$ dána R lineárně rozšiřující mapu definovanou na čistých tenzorech: ${ displaystyle r otimes p mapsto rp.rp = 0}$ to naznačuje ${ displaystyle 0 = rp otimes 1 = r otimes p}$ . Takže jádro této mapy nemůže obsahovat žádné nenulové čisté tenzory. ${ displaystyle R otimes _ {R} P}$ se skládá pouze z čistých tenzorů: Pro ${ displaystyle x_ {i} v R, sum _ {i} x_ {i} (r_ {i} otimes p_ {i}) = sum _ {i} 1 otimes (r_ {i} x_ { i} p_ {i}) = 1 otimes ( sum _ {i} r_ {i} x_ {i} p_ {i})}$ . Tato mapa je tedy injektivní. Je to jasně na. Tak, ${ displaystyle R otimes _ {R} P cong P}$ . Podobně, ${ displaystyle I otimes _ {R} P cong IP}$ . To dokazuje důsledek.

Jako další aplikaci ukážeme, že pro ${ displaystyle P = mathbf {Z} [1/2]: = {a / 2 ^ {k}: a, k in mathbf {Z} }, P otimes mathbf {Z} / m mathbf {Z} cong P / k mathbf {Z} P}$ kde ${ displaystyle k = m / 2 ^ {n}}$ a n je nejvyšší síla 2 dělení m. Dokazujeme speciální případ: m = 12.

Důkaz: Zvažte čistý tenzor ${ displaystyle (12z) otimes (a / 2 ^ {k}) in (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P). (12z) otimes (a / 2 ^ {k}) = (3z) mnohokrát (a / 2 ^ {k-2})}$ . Také pro ${ displaystyle (3z) otimes (a / 2 ^ {k}) in (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P), (3z) otimes (a / 2 ^ {k}) = (12z) mnohokrát (a / 2 ^ {k + 2})}$ To ukazuje ${ displaystyle (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) = (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P)}$ . Pronájem ${ displaystyle P = mathbf {Z} [1/2], A = 12 mathbf {Z}, B = mathbf {Z}, C = mathbf {Z} / 12 mathbf {Z}}$ , A, B, C, P jsou R = Z moduly obvyklou multiplikační akcí a splňují podmínky hlavní věty. Přesností naznačenou větou a výše uvedenou poznámkou to získáme ${ displaystyle: mathbf {Z} / 12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P cong ( mathbf {Z} otimes _ {Z} P) / (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) = ( mathbf {Z} otimes _ {Z} P) / (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) cong mathbf {Z} P / 3 mathbf {Z } P}$ . Poslední kongruence následuje podobným argumentem jako v důkazu z toho vyplývajícího ${ displaystyle I otimes _ {R} P cong IP}$ .

Vlastnosti a věty

Funktor je přesný právě tehdy, je-li levý přesný i pravý přesný.

Kovariantní (ne nutně aditivní) funktor je ponechán přesný tehdy a jen tehdy, pokud se ukáže konečným limity do limitů; kovariantní funktor je přesný právě tehdy a jen tehdy, když se ukáže konečný kolimiti do kolimit; kontravariantní funktor je ponechán přesný právě tehdy, když je konečný kolimiti do limitů; kontravariantní funktor je přesný přesně tehdy a jen tehdy, když se ukáže konečný limity do kolimitů.

Míru, do jaké levý přesný funktor není přesný, lze měřit pomocí jeho správné odvozené funktory; míra, do jaké pravý přesný funktor není přesný, lze měřit pomocí jeho levé odvozené funktory.

Levý a pravý přesný funktor jsou všudypřítomné hlavně kvůli následující skutečnosti: pokud je funktor F je vlevo adjoint na G, pak F je správné přesné a G je ponecháno přesné.

Zobecnění

v SGA4, článek I, oddíl 1, pojem levých (pravých) přesných funktorů je definován pro obecné kategorie, nejen pro abelianské. Definice je následující:

Nechat C být kategorií s konečným projektivním (resp. indukčním) limity. Pak funktor z C do jiné kategorie C' je vlevo (resp. vpravo) přesný, pokud dojíždí s konečnými projektivními (resp. indukčními) limity.

Přes svou abstrakci má tato obecná definice užitečné důsledky. Například v oddíle 1.8 Grothendieck dokazuje, že funktor je reprezentativní právě tehdy, je-li ponechán přesný, za určitých mírných podmínek v kategorii C.

Přesné funktory mezi Quillenovými přesné kategorie zobecnit přesné funktory mezi abelianskými kategoriemi zde diskutovanými.

Pravidelné funktory mezi pravidelné kategorie se někdy nazývají přesné funktory a zobecňují přesné funktory zde diskutované.

Poznámky

^ Jacobson (2009), s. 98, Věta 3.1.
^ Jacobson (2009), s. 149, Prop. 3.9.
^ Jacobson (2009), s. 99, Věta 3.1.
^ Jacobson (2009), s. 156.

Reference

Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra. 2 (2. vyd.). Doveru. ISBN 978-0-486-47187-7.

[1] Jacobson (2009), s. 98, Věta 3.1.

[2] Jacobson (2009), s. 149, Prop. 3.9.

[3] Jacobson (2009), s. 99, Věta 3.1.

[4] Jacobson (2009), s. 156.

[1]

[2]

[3]

[4]