Triviální topologie - Trivial topology

v topologie, a topologický prostor s triviální topologie je jediný, kde je jediný otevřené sady jsou prázdná sada a celý prostor. Takové prostory se běžně nazývají neurčitý, anti-diskrétnínebo codiscrete. Intuitivně to má za následek, že všechny body prostoru jsou „soustředěny dohromady“ a nemohou být význačný topologickými prostředky. Každý neurčitý prostor je a pseudometrický prostor ve kterém vzdálenost mezi libovolnými dvěma body je nula.

Detaily

Triviální topologie je topologie s nejmenším možným počtem otevřené sady, jmenovitě prázdná množina a celý prostor, protože definice topologie vyžaduje, aby byly tyto dvě množiny otevřené. Navzdory své jednoduchosti prostor X s více než jeden prvek a triviální topologie postrádá klíčovou žádoucí vlastnost: není to T₀ prostor.

Další vlastnosti neurčitého prostoru X- z nichž mnohé jsou zcela neobvyklé - patří:

• Jediný uzavřené sady jsou prázdná množina a X.
• Jediné možné základ z X je {X}.
• Li X má tedy více než jeden bod, protože tomu tak není T₀, neuspokojuje žádné z vyšších T axiomy buď. Zejména to není Hausdorffův prostor. Nebýt Hausdorff, X není topologie objednávky, ani to není měřitelný.
• X je však pravidelný, úplně normální, normální, a úplně normální; vše však poněkud prázdným způsobem, protože jediné uzavřené množiny jsou ∅ a X.
• X je kompaktní a proto paracompact, Lindelöf, a místně kompaktní.
• Každý funkce jehož doména je topologický prostor a codomain X je kontinuální.
• X je spojeno s cestou a tak připojeno.
• X je druhý spočetný, a proto je nejdříve spočítatelné, oddělitelný a Lindelöf.
• Všechno podprostory z X mít triviální topologii.
• Všechno kvocientové prostory z X mít triviální topologii
• Libovolný produkty triviálních topologických prostorů, buď s topologie produktu nebo topologie pole, mít triviální topologii.
• Všechno sekvence v X konvergovat do každého bodu X. Zejména má každá sekvence konvergentní subsekvenci (celou sekvenci nebo jakoukoli jinou subsekvenci) X je postupně kompaktní.
• The interiér každé sady kromě X je prázdný.
• The uzavření každé neprázdné podmnožiny X je X. Jinými slovy: každá neprázdná podmnožina X je hustý, vlastnost charakterizující triviální topologické prostory.
  • V důsledku toho došlo k uzavření každé otevřené podmnožiny U z X je buď ∅ (pokud U = ∅) nebo X (v opačném případě). Zejména uzavření každé otevřené podskupiny X je opět otevřená množina, a proto X je extrémně odpojen.
• Li S je libovolná podmnožina X s více než jedním prvkem, pak se všemi prvky z X jsou mezní body z S. Li S je jedináček, pak každý bod X \ S je stále mezním bodem S.
• X je Baireův prostor.
• Dva topologické prostory nesoucí triviální topologii jsou homeomorfní iff mají stejné mohutnost.

Opakem triviální topologie je v určitém smyslu diskrétní topologie, ve kterém je otevřena každá podmnožina.

Triviální topologie patří do a jednotný prostor ve kterém je celý kartézský součin X × X je jediný doprovod.

Nechat Horní být kategorie topologických prostorů s průběžnými mapami a Soubor být kategorie sad s funkcemi. Li G : Horní → Soubor je funktor který každému topologickému prostoru přiřadí jeho základní množinu (tzv zapomnětlivý funktor ), a H : Soubor → Horní je funktor, který vloží triviální topologii na danou množinu H (takzvaný cofree funktor ) je pravý adjoint na G. (Takzvaný volný funktor F : Soubor → Horní to dává diskrétní topologie na dané množině je vlevo adjoint na G.)^[1][2]

Viz také

• Seznam topologií
• Maličkost (matematika)

Poznámky

Reference

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, PAN  0507446