Hom funktor - Hom functor

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, hom-sady, tj. sady morfismy mezi objekty, vznikají důležité funktory do kategorie sad. Tito funktory se nazývají domácí funktory a mají četné aplikace v teorii kategorií a jiných oborech matematiky.

Formální definice

Nechat C být místně malá kategorie (tj kategorie pro které jsou vlastně hom-třídy sady a ne správné třídy ).

Pro všechny objekty A a B v C definujeme dva funktory do kategorie sad jak následuje:

Hom (A,–) : C → Soubor	Hom (-,B) : C → Soubor
Tohle je kovarianční funktor dána: Hom (A,–) mapy každý objekt X v C na soubor morfismy, Hom (A, X) Hom (A, -) mapuje každý morfismus F : X → Y do funkce Hom (A, F): Hom (A, X) → Hom (A, Y) dána ${ displaystyle g mapsto f circ g}$ pro každého G v Hom (A, X).	Tohle je kontravariantní funktor dána: Hom (-,B) mapuje každý objekt X v C na soubor morfismy, Hom (X, B) Hom (-,B) mapuje každý morfismus h : X → Y do funkce Hom (h, B): Hom (Y, B) → Hom (X, B) dána ${ displaystyle g mapsto g circ h}$ pro každého G v Hom (Y, B).

Funktor Hom (-,B) se také nazývá funktor bodů objektu B.

Všimněte si, že oprava prvního argumentu Hom přirozeně vede k kovariantnímu funktoru a oprava druhého argumentu přirozeně dává kontravariantní funktor. Toto je artefakt způsobu, jakým člověk musí skládat morfismy.

Dvojice funktorů Hom (A, -) a Hom (-,B) jsou příbuzní v a přirozeným způsobem. Pro jakoukoli dvojici morfismů F : B → B' a h : A′ → A následující diagram dojíždí:

Odeslat obě cesty G : A → B na F ∘ G ∘ h : A′ → B′.

Z komutativity výše uvedeného diagramu vyplývá, že Hom (-, -) je a bifunktor z C × C na Soubor což je v prvním argumentu kontrariantní a ve druhém kovariantní. Ekvivalentně můžeme říci, že Hom (-, -) je kovariantní bifunktor

Hom (-, -): C^op × C → Soubor

kde C^op je opačná kategorie na C. Zápis Hom_C(-, -) se někdy používá pro Hom (-, -), aby se zdůraznila kategorie tvořící doménu.

Yonedovo lemma

S odkazem na výše uvedený komutativní diagram lze pozorovat, že každý morfismus

h : A′ → A

dává vzniknout a přirozená transformace

Hom (h, -): Hom (A, -) → Hom (A′,–)

a každý morfismus

F : B → B′

vede k přirozené transformaci

Hom (-,F): Hom (-,B) → Hom (-,B′)

Yonedovo lemma to naznačuje každý Přirozená transformace mezi funktory Hom má tuto formu. Jinými slovy, z funktorů Hom vznikne a úplný a věřící vložení kategorie C do kategorie funktorů Soubor^{C^op} (kovariantní nebo kontrariantní podle toho, který Hom funktor je použit)

Interní funktor Hom

Některé kategorie mohou mít funktor, který se chová jako funktor Hom, ale má v kategorii hodnoty C sám, spíše než Soubor. Takový funktor se označuje jako vnitřní Hom funktor, a je často psán jako

{ displaystyle left [- - right]: C ^ {op} krát C to C}

zdůraznit jeho produktovou povahu nebo jako

{ displaystyle Rightarrow: C ^ {op} krát C to C}

zdůraznit jeho funkcionální povahu, nebo někdy pouze malými písmeny:

{ displaystyle { text {hom}} (-, -): C ^ {op} krát C až C.}

Příklady viz kategorie vztahů.

Kategorie, které mají interního funktora Hom, se označují jako uzavřené kategorie. Jeden to má

{ displaystyle { text {Hom}} (I, { text {hom}} (-, -)) simeq { text {Hom}} (-, -)}

,

kde Já je jednotkový objekt uzavřené kategorie. Pro případ a uzavřená monoidní kategorie, rozšiřuje se na pojem kari a sice to

{ displaystyle { text {Hom}} (X, Y Rightarrow Z) simeq { text {Hom}} (X další Y, Z)}

kde ${ displaystyle otimes}$ je bifunktor, interní funktor produktu definování a monoidní kategorie. Izomorfismus je v obou přirozený X a Z. Jinými slovy, v uzavřené monoidální kategorii je vnitřní funktor Hom an adjunkční funktor do interního funktoru produktu. Objekt ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$ se nazývá interní Hom. Když ${ displaystyle otimes}$ je kartézský součin ${ displaystyle times}$ , objekt ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$ se nazývá exponenciální objekt, a je často psán jako ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ .

Když jsou Interní Homové spojeni, tvoří jazyk, kterému se říká interní jazyk kategorie. Nejznámější z nich jsou jednoduše zadaný lambda kalkul, což je vnitřní jazyk jazyka Kartézské uzavřené kategorie a lineární systém, což je vnitřní jazyk jazyka uzavřené symetrické monoidní kategorie.

Vlastnosti

Všimněte si, že funktor formuláře

Hom (-, A): C^op → Soubor

je předheaf; podobně, Hom (A, -) je copresheaf.

Funktor F : C → Soubor to je přirozeně izomorfní do Hom (A, -) pro nějaké A v C, se nazývá a reprezentativní funktor (nebo reprezentativní copresheaf); podobně lze kontraktorariantní funktor ekvivalentní Hom (-, A) nazvat corepresentable.

Všimněte si, že Hom (-, -): C^op × C → Soubor je profesor, a konkrétně je to profunctor identity ${ displaystyle { text {id}} _ {C} dvojtečka C nrightarrow C}$ .

Vnitřní funktor hom zachová limity; to je ${ displaystyle { text {hom}} (X, -): C až C}$ posílá limity na limity, zatímco ${ displaystyle { text {hom}} (-, X): C ^ { text {op}} do C}$ posílá limity dovnitř ${ displaystyle C ^ { text {op}}}$ , to jsou podvody ${ displaystyle C}$ , do limity. V určitém smyslu to lze brát jako definici limitu nebo kolimitu.

Další vlastnosti

Li A je abelianská kategorie a A je předmětem A, pak Hom_A(A, -) je kovariant přesný vlevo funktor z A do kategorie Ab z abelianské skupiny. Je přesný právě tehdy A je projektivní.^[1]

Nechat R být prsten a M vlevo R-modul. Funktor Hom_R(M,–): Mod-R → Ab má pravdu adjoint do tenzorový produkt funktor - ${ displaystyle otimes}$ _R M: Ab → Mod-R.

Viz také

Poznámky

^ Jacobson (2009), s. 149, Prop. 3.9.

Reference

Mac Lane, Saunders (Září 1998). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, kategorická analýza logiky (Přepracované vydání.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Citováno 2009-11-25.
Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra. 2 (2. vyd.). Doveru. ISBN 978-0-486-47187-7.

externí odkazy

Hom funktor v nLab
Internal Hom v nLab

[1] Jacobson (2009), s. 149, Prop. 3.9.

[1]