Vektorové algebraické vztahy - Vector algebra relations

Níže uvedené vztahy se vztahují na vektory v trojrozměrném Euklidovský prostor.^[1] Některé, ale ne všechny, se rozšiřují na vektory vyšších dimenzí. Zejména křížový produkt vektorů je definován pouze ve třech rozměrech (ale viz Sedmrozměrný křížový produkt ).

Veličiny

Velikost vektoru A je určena jeho třemi složkami ve třech ortogonálních směrech pomocí Pythagorova věta:

{ displaystyle | mathbf {A} | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ {3} ^ {2}}

Velikost lze také vyjádřit pomocí Tečkovaný produkt:

{ displaystyle | mathbf {A} | ^ {2} = mathbf {A cdot A}}

Nerovnosti

{ displaystyle { frac { mathbf {A cdot B}} { | mathbf {A} | | mathbf {B} |}} leq 1}

; Cauchy – Schwarzova nerovnost ve třech rozměrech

{ displaystyle | mathbf {A + B} | leq | mathbf {A} | + | mathbf {B} |}

; the nerovnost trojúhelníku ve třech rozměrech

{ displaystyle | mathbf {A-B} | geq | mathbf {A} | - | mathbf {B} |}

; the nerovnost obráceného trojúhelníku

Zde je notace (A · B) označuje Tečkovaný produkt vektorů A a B.

Úhly

Vektorový produkt a skalární produkt dvou vektorů definují úhel mezi nimi, řekněme θ:^[1]^[2]

{ displaystyle sin theta = { frac { | mathbf {A krát B} |} { | mathbf {A} | | mathbf {B} |}} (- pi < theta leq pi)}

Uspokojit pravidlo pravé ruky, pro kladné θ, vektor B je proti směru hodinových ručiček od Aa pro záporné θ je ve směru hodinových ručiček.

{ displaystyle cos theta = { frac { mathbf {A cdot B}} { | mathbf {A} | | mathbf {B} |}} (- pi < theta leq pi)}

Tady notace A × B. označuje vektor křížový produkt vektorů A a B.v Pytagorova trigonometrická identita pak poskytuje:

{ displaystyle | mathbf {A krát B} | ^ {2} + ( mathbf {A cdot B}) ^ {2} = | mathbf {A} | ^ {2} | mathbf {B} | ^ {2}}

Pokud vektor A = (A_X, A_y, A_z) vytváří úhly α, β, γ s ortogonální sadou X-, y- a z-osy, pak:

{ displaystyle cos alpha = { frac {A_ {x}} { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}}}} = { frac {A_ {x}} { | mathbf {A} |}} ,}

a analogicky pro úhly β, γ. Tudíž:

{ displaystyle mathbf {A} = | mathbf {A} | left ( cos alpha { hat { mathbf {i}}} + cos beta { hat { mathbf { j}}} + cos gamma { hat { mathbf {k}}} vpravo) ,}

s ${ displaystyle { hat { mathbf {i}}}, { hat { mathbf {j}}}, { hat { mathbf {k}}}}$ jednotkové vektory ve směru os.

Oblasti a objemy

Oblast Σ a rovnoběžník s bočnicemi A a B obsahující úhel θ je:

{ displaystyle Sigma = AB sin theta ,}

který bude rozpoznán jako velikost vektorového křížového součinu vektorů A a B ležící po stranách rovnoběžníku. To je:

{ displaystyle Sigma = | mathbf {A krát B} | = { sqrt { | mathbf {A} | ^ {2} | mathbf {B} | ^ {2} - ( mathbf {A cdot B}) ^ {2}}} .}

(Li A, B jsou dvourozměrné vektory, to se rovná determinantu matice 2 × 2 s řádky A, B.) Čtverec tohoto výrazu je:^[3]

{ displaystyle Sigma ^ {2} = ( mathbf {A cdot A}) ( mathbf {B cdot B}) - ( mathbf {A cdot B}) ( mathbf {B cdot A} ) = Gamma ( mathbf {A}, mathbf {B}) ,}

kde Γ (A, B) je Gram determinant z A a B definován:

{ displaystyle Gamma ( mathbf {A}, mathbf {B}) = { begin {vmatrix} mathbf {A cdot A} & mathbf {A cdot B} mathbf {B cdot A} & mathbf {B cdot B} end {vmatrix}} .}

Podobným způsobem je to čtvercový objem PROTI a rovnoběžnostěn překlenuta třemi vektory A, B, C je dána Gramovým determinantem tří vektorů:^[3]

{ displaystyle V ^ {2} = Gamma ( mathbf {A}, mathbf {B}, mathbf {C}) = { begin {vmatrix} mathbf {A cdot A} & mathbf {A cdot B} & mathbf {A cdot C} mathbf {B cdot A} & mathbf {B cdot B} & mathbf {B cdot C} mathbf {C cdot A} & mathbf {C cdot B} & mathbf {C cdot C} end {vmatrix}} ,}

Od té doby A, PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM jsou trojrozměrné vektory, to se rovná čtverci skalární trojitý produkt ${ displaystyle mathrm {det} [ mathbf {A}, mathbf {B}, mathbf {C}] = | mathbf {A}, mathbf {B}, mathbf {C} |}$ níže.

Tento proces lze rozšířit na n-rozměry.

Sčítání a množení vektorů

Některé z následujících algebraických vztahů odkazují na Tečkovaný produkt a křížový produkt vektorů.^[1]

${ displaystyle mathbf {A} + mathbf {B} = mathbf {B} + mathbf {A}}$ ; komutativita sčítání
${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = mathbf {B} cdot mathbf {A}}$ ; komutativita skalárního součinu
${ displaystyle mathbf {A} times mathbf {B} = mathbf {-B} times mathbf {A}}$ ; antikomutativita vektorového produktu
${ displaystyle c ( mathbf {A} + mathbf {B}) = c mathbf {A} + c mathbf {B}}$ ; distribučnost násobení skalárem nad sčítáním
${ displaystyle left ( mathbf {A} + mathbf {B} right) cdot mathbf {C} = mathbf {A} cdot mathbf {C} + mathbf {B} cdot mathbf {C}}$ ; distribuce skalárního součinu nad sčítáním
${ displaystyle ( mathbf {A} + mathbf {B}) times mathbf {C} = mathbf {A} times mathbf {C} + mathbf {B} times mathbf {C}}$ ; distribuce vektorového produktu nad přidáním
${ displaystyle mathbf {A} cdot ( mathbf {B} times mathbf {C}) = mathbf {B} cdot ( mathbf {C} times mathbf {A}) = mathbf { C} cdot ( mathbf {A} krát mathbf {B})}$ ${ displaystyle = | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} | = left | { begin {array} {ccc} A_ {x} & B_ {x} & C_ {x} A_ {y} & B_ {y} & C_ {y} A_ {z} & B_ {z} & C_ {z} end {array}} right |}$ (skalární trojitý produkt )
${ displaystyle mathbf {A} times ( mathbf {B} times mathbf {C}) = ( mathbf {A} cdot mathbf {C}) mathbf {B} - ( mathbf {A } cdot mathbf {B}) mathbf {C}}$ (vektorový trojitý produkt )
${ displaystyle ( mathbf {A} times mathbf {B}) times mathbf {C} = ( mathbf {A} cdot mathbf {C}) mathbf {B} - ( mathbf {B } cdot mathbf {C}) mathbf {A}}$ (vektorový trojitý produkt )
${ displaystyle mathbf {A} times ( mathbf {B} times mathbf {C}) = ( mathbf {A} times mathbf {B}) times mathbf {C} + mathbf { B} times ( mathbf {A} times mathbf {C})}$ (Jacobi identita )
${ displaystyle mathbf {A} times ( mathbf {B} times mathbf {C}) + mathbf {C} times ( mathbf {A} times mathbf {B}) + mathbf { B} times ( mathbf {C} times mathbf {A}) = 0}$ (Jacobi identita )
${ displaystyle ! ( mathbf {A} cdot ( mathbf {B} krát mathbf {C})) , mathbf {D} = | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} | , mathbf {D} = ( mathbf {A} cdot mathbf {D}) left ( mathbf {B} times mathbf {C} vpravo) + left ( mathbf {B} cdot mathbf {D} right) left ( mathbf {C} times mathbf {A} right) + left ( mathbf {C} cdot mathbf {D } right) left ( mathbf {A} times mathbf {B} right)}$ ^{[Citace je zapotřebí ]}
${ displaystyle mathbf { left (A times B right) cdot} left ( mathbf {C} times mathbf {D} right) = left ( mathbf {A} cdot mathbf {C} right) left ( mathbf {B} cdot mathbf {D} right) - left ( mathbf {B} cdot mathbf {C} right) left ( mathbf {A } cdot mathbf {D} vpravo)}$ ; Binet – Cauchyova identita ve třech rozměrech
${ displaystyle | mathbf {A} times mathbf {B} | ^ {2} = ( mathbf {A} cdot mathbf {A}) ( mathbf {B} cdot mathbf {B}) - ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) ^ {2}}$ ; Lagrangeova identita ve třech rozměrech

${ displaystyle ! ( mathbf {A} times mathbf {B}) times ( mathbf {C} times mathbf {D}) = left ( mathbf {A} cdot ( mathbf { B} times mathbf {D}) right) mathbf {C} - left ( mathbf {A} cdot left ( mathbf {B} times mathbf {C} right) right) mathbf {D}}$ (vektorový čtyřnásobný produkt)^[4]^[5]
${ displaystyle ( mathbf {A} times mathbf {B}) times ( mathbf {C} times mathbf {D}) = | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {D} | , mathbf {C} , - , | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} | , mathbf {D} = | mathbf {A} , mathbf {C} , mathbf {D} | , mathbf {B} , - , | mathbf {B} , mathbf {C} , mathbf {D} | , mathbf {A}}$

Ve 3 rozměrech, vektor D lze vyjádřit jako základ {A,B,C} tak jako:^[6]

{ displaystyle mathbf {D} = { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {B} times mathbf {C})} {| mathbf {A} , mathbf {B } , mathbf {C} |}} mathbf {A} + { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {C} times mathbf {A})} {| mathbf {A } , mathbf {B} , mathbf {C} |}} mathbf {B} + { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {A} times mathbf {B}) } {| mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} |}} mathbf {C} .}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Viz například Lyle Frederick Albright (2008). „§2.5.1 Vektorová algebra“. Příručka Albrightova chemického inženýrství. CRC Press. str. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7.
^ Francis Begnaud Hildebrand (1992). Metody aplikované matematiky (Dotisk Prentice-Hall 1965, 2. vydání.). Publikace Courier Dover. str. 24. ISBN 0-486-67002-3.
^ ^A ^b Richard Courant, Fritz John (2000). "Plochy rovnoběžníků a objemy rovnoběžnostěn ve vyšších rozměrech". Úvod do kalkulu a analýzy, svazek II (Dotisk originálu 1974 Interscience ed.). Springer. 190–195. ISBN 3-540-66569-2.
^ Vidwan Singh Soni (2009). „§1.10.2 Vektorový čtyřnásobný produkt“. Mechanika a relativita. PHI Learning Pvt. Ltd. str. 11–12. ISBN 978-81-203-3713-8.
^ Tento vzorec se použije na sférickou trigonometrii pomocí Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs (1901). „§42 v Přímé a šikmé produkty vektorů". Vektorová analýza: učebnice pro studenty matematiky. Scribner. str.77ff.
^ Joseph George Coffin (1911). Vektorová analýza: úvod do vektorových metod a jejich různých aplikací ve fyzice a matematice (2. vyd.). Wiley. str.56.

[Albright-1] A ^b ^C Viz například Lyle Frederick Albright (2008). „§2.5.1 Vektorová algebra“. Příručka Albrightova chemického inženýrství. CRC Press. str. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7.

[Hildebrand-2] Francis Begnaud Hildebrand (1992). Metody aplikované matematiky (Dotisk Prentice-Hall 1965, 2. vydání.). Publikace Courier Dover. str. 24. ISBN 0-486-67002-3.

[Courant-3] A ^b Richard Courant, Fritz John (2000). "Plochy rovnoběžníků a objemy rovnoběžnostěn ve vyšších rozměrech". Úvod do kalkulu a analýzy, svazek II (Dotisk originálu 1974 Interscience ed.). Springer. 190–195. ISBN 3-540-66569-2.

[Soni-4] Vidwan Singh Soni (2009). „§1.10.2 Vektorový čtyřnásobný produkt“. Mechanika a relativita. PHI Learning Pvt. Ltd. str. 11–12. ISBN 978-81-203-3713-8.

[Gibbs-5] Tento vzorec se použije na sférickou trigonometrii pomocí Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs (1901). „§42 v Přímé a šikmé produkty vektorů". Vektorová analýza: učebnice pro studenty matematiky. Scribner. str.77ff.

[Coffin-6] Joseph George Coffin (1911). Vektorová analýza: úvod do vektorových metod a jejich různých aplikací ve fyzice a matematice (2. vyd.). Wiley. str.56.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]