Vnější identita kalkulu - Exterior calculus identities

v matematika, vnější algebra má bohatou algebraickou strukturu. Vnější algebra vektorová pole na rozdělovače má ještě bohatší strukturu poháněnou souhrou diferenciace na potrubí s vlastnostmi vnější algebry. Tento článek shrnuje několik identity v vnější počet.^{[1][2][3][4][5]}

Zápis

Následující text shrnuje krátké definice a notace použité v tomto článku.

Rozdělovač

${ displaystyle M}$, ${ displaystyle N}$ jsou ${ displaystyle n}$-rozměrné hladké potrubí, kde ${ displaystyle n in mathbb {N}}$. To znamená, diferencovatelné potrubí které lze dostatečně odlišit pro účely na této stránce.

${ displaystyle p v M}$, ${ displaystyle q v N}$ označte jeden bod na každém z potrubí.

Hranice a potrubí ${ displaystyle M}$ je potrubí ${ displaystyle částečné M}$, který má rozměr ${ displaystyle n-1}$. Orientace na ${ displaystyle M}$ vyvolá orientaci na ${ displaystyle částečné M}$.

Obvykle označujeme a podmanifold podle ${ displaystyle Sigma podmnožina M}$.

Tečný svazek

${ displaystyle TM}$ je tečný svazek hladkého potrubí ${ displaystyle M}$.

${ displaystyle T_ {p} M}$, ${ displaystyle T_ {q} N}$ označit tečné mezery z ${ displaystyle M}$, ${ displaystyle N}$ v bodech ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle q}$, resp.

Sekce tangenta svazků, také známý jako vektorová pole, jsou obvykle označovány jako ${ displaystyle X, Y, Z v Gamma (TM)}$ tak, že v určitém okamžiku ${ displaystyle p v M}$ my máme ${ displaystyle X | _ {p}, Y | _ {p}, Z | _ {p} v T_ {p} M}$.

Vzhledem k tomu, nedgenerovaná bilineární forma ${ displaystyle g_ {p} ( cdot, cdot)}$ na každém ${ displaystyle T_ {p} M}$ to je nepřetržité ${ displaystyle M}$, potrubí se stává a pseudo-Riemannovo potrubí. Označujeme metrický tenzor ${ displaystyle g}$, definováno bodově pomocí ${ displaystyle g (X, Y) | _ {p} = g_ {p} (X | _ {p}, Y | _ {p})}$. Voláme ${ displaystyle s = operatorname {znamení} (g)}$ the podpis metriky. A Riemannovo potrubí má ${ displaystyle s = 1}$, zatímco Minkowského prostor má ${ displaystyle s = -1}$.

k-formuláře

${ displaystyle k}$-formy jsou diferenciální formy definováno dne ${ displaystyle TM}$. Označujeme množinu všech ${ displaystyle k}$-formuje jako ${ displaystyle Omega ^ {k} (M)}$. Pro ${ displaystyle 0 leq k, l, m leq n}$ obvykle píšeme ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$, ${ displaystyle beta in Omega ^ {l} (M)}$, ${ displaystyle gamma v Omega ^ {m} (M)}$.

${ displaystyle 0}$-formuláře ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$ jsou jen skalární funkce ${ displaystyle C ^ { infty} (M)}$ na ${ displaystyle M}$. ${ displaystyle mathbf {1} in Omega ^ {0} (M)}$ označuje konstantu ${ displaystyle 0}$-forma rovná se ${ displaystyle 1}$ všude.

Vynechané prvky sekvence

Když jsme dostali ${ displaystyle (k + 1)}$ vstupy ${ displaystyle X_ {0}, ldots, X_ {k}}$ a a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$ označujeme opomenutí ${ displaystyle i}$tého zápisu

${ displaystyle alpha (X_ {0}, ldots, { hat {X}} _ {i}, ldots, X_ {k}): = alpha (X_ {0}, ldots, X_ {i -1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {k}).}$

Vnější produkt

The vnější produkt je také známý jako klínový produkt. Označuje to ${ Displaystyle wedge: Omega ^ {k} (M) krát Omega ^ {l} (M) rightarrow Omega ^ {k + l} (M)}$. Vnější produkt a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$ a ${ displaystyle l}$-formulář ${ displaystyle beta in Omega ^ {l} (M)}$ vyrobit a ${ displaystyle (k + l)}$-formulář ${ displaystyle alpha klín beta in Omega ^ {k + l} (M)}$. Lze jej zapsat pomocí sady ${ displaystyle S (k, k + l)}$ všech permutací ${ displaystyle sigma}$ z ${ displaystyle {1, ldots, n }}$ takhle ${ Displaystyle sigma (1) < ldots < sigma (k), sigma (k + 1) < ldots < sigma (k + l)}$ tak jako

${ displaystyle ( alpha wedge beta) (X_ {1}, ldots, X_ {k + l}) = sum _ { sigma v S (k, k + l)} { text {znak }} ( sigma) alpha (X _ { sigma (1)}, ldots, X _ { sigma (k)}) beta (X _ { sigma (k + 1)}, ldots, X _ { sigma (k + l)}).}$

Ležící závorka

The Ležící závorka částí ${ displaystyle X, Y in Gamma (TM)}$ je definována jako jedinečná sekce ${ displaystyle [X, Y] v Gamma (TM)}$ to uspokojuje

${ displaystyle forall f in Omega ^ {0} (M) Rightarrow [X, Y] f = XYf-YXf.}$

Vnější derivát

The vnější derivace ${ displaystyle d_ {k}: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k + 1} (M)}$ je definován pro všechny ${ displaystyle 0 leq k leq n}$. Dolní index obecně vynecháme, pokud je to zřejmé z kontextu.

Pro ${ displaystyle 0}$-formulář ${ displaystyle f in Omega ^ {k} (M)}$ my máme ${ displaystyle d_ {0} f in Omega ^ {1} (M)}$ jako směrový derivát ${ displaystyle 1}$-formulář. tj. ve směru ${ displaystyle X v T_ {p} M}$ my máme ${ displaystyle (d_ {0} f) (X) = Xf}$.^[6]

Pro ${ displaystyle 0$,^[6]

${ displaystyle (d_ {k} omega) (X_ {0}, ldots, X_ {k}) = součet _ {0 leq j leq k} (- 1) ^ {j} d_ {k- 1} ( omega (X_ {0}, ldots, { hat {X}} _ {j}, ldots, X_ {k})) (X_ {j}) + sum _ {0 leq i$

Tečné mapy

Li ${ displaystyle phi: M rightarrow N}$ je tedy plynulá mapa ${ displaystyle (d phi) _ {p}: T_ {p} M rightarrow T _ { phi (p)} N}$ definuje tečnou mapu z ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle N}$. Definuje se pomocí křivek ${ displaystyle gamma}$ na ${ displaystyle M}$ s derivací ${ displaystyle gamma '(0) = X v T_ {p} M}$ takhle

${ Displaystyle d phi (X): = ( phi circ gamma) '.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle phi}$ je ${ displaystyle 0}$-formát s hodnotami v ${ displaystyle N}$.

Zarazit

Li ${ displaystyle phi: M rightarrow N}$ je plynulá mapa, pak zarazit a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (N)}$ je definován tak, že pro všechny ${ displaystyle k}$ dimenzionální podmanifold ${ displaystyle Sigma podmnožina M}$

${ displaystyle int _ { Sigma} phi ^ {*} alpha = int _ { phi ( Sigma)} alfa.}$

Vytažení lze také vyjádřit jako

${ displaystyle ( phi ^ {*} alpha) (X_ {1}, ldots, X_ {k}) = alpha (d phi (X_ {1}), ldots, d phi (X_ { k})).}$

Hudební izomorfismy

The metrický tenzor ${ displaystyle g ( cdot, cdot)}$ indukuje dualitní mapování mezi vektorovými poli a jednoformami: to jsou hudební izomorfismy byt ${ displaystyle plochý}$ a ostré ${ displaystyle ostrý}$. Vektorové pole ${ displaystyle A in Gamma (TM)}$ odpovídá jedinečnému jednomu formuláři ${ displaystyle A ^ { flat} in Omega ^ {1} (M)}$ takové, že pro všechny tangenciální vektory ${ displaystyle X v T_ {p} M}$, my máme:

${ displaystyle A ^ { flat} (X) = g (A, X).}$

To sahá přes multilinearitu k mapování z ${ displaystyle k}$-vektorová pole do ${ displaystyle k}$-formuje se

${ displaystyle (A_ {1} klín A_ {2} klín cdots klín A_ {k}) ^ { plochý} = A_ {1} ^ { plochý} klín A_ {2} ^ { plochý } klín cdots klín A_ {k} ^ { plochý}.}$

Jedna forma ${ displaystyle alpha in Omega ^ {1} (M)}$ odpovídá jedinečnému vektorovému poli ${ displaystyle alpha ^ { sharp} in Gamma (TM)}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle X v T_ {p} M}$, my máme:

${ displaystyle alpha (X) = g ( alpha ^ { sharp}, X).}$

Toto mapování se podobně rozšiřuje na mapování z ${ displaystyle k}$-formuje se ${ displaystyle k}$-vektorová pole skrz

${ displaystyle ( alpha _ {1} klín alfa _ {2} klín cdots klín alfa _ {k}) ^ { ostrý} = alfa _ {1} ^ { ostrý} klín alpha _ {2} ^ { sharp} wedge cdots wedge alpha _ {k} ^ { sharp}.}$

Interiérový produkt

Také známý jako derivát interiéru, vnitřní produkt daný oddíl ${ displaystyle Y in Gamma (TM)}$ je mapa ${ displaystyle iota _ {Y}: Omega ^ {k + 1} (M) rightarrow Omega ^ {k} (M)}$ který účinně nahradí první vstup a ${ displaystyle (k + 1)}$-formovat s ${ displaystyle Y}$. Li ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k + 1} (M)}$ a ${ displaystyle X_ {i} in Gamma (TM)}$ pak

${ displaystyle ( iota _ {Y} alpha) (X_ {1}, ldots, X_ {k}) = alpha (Y, X_ {1}, ldots, X_ {k}).}$

Produkt Clifford

The Produkt Clifford kombinuje produkty interiéru a exteriéru. Vzhledem k sekci ${ displaystyle Y v Gamma (T ^ {*} M)}$ a a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$, produkt Clifford vytváří formu v ${ displaystyle Omega ^ {k + 1} (M) oplus Omega ^ {k-1} (M)}$ definováno jako

${ displaystyle Y alpha = Y klín alpha + iota _ {Y ^ { flat}} alpha}$

Produkt Clifford se zvedne k celé algebře, takže pro ${ displaystyle m}$-formulář ${ displaystyle beta in Omega ^ {m} (M)}$, produkt Clifford vytváří formu v ${ displaystyle Omega ^ {k + m} (M) oplus Omega ^ {k-m} (M)}$ definováno jako

${ displaystyle beta alpha = beta klín alpha + (- 1) ^ {m (m-1) / 2} iota _ { beta ^ { plochý}} alfa}$

Produkt Clifford se používá ke konstrukci spinor pole na ${ displaystyle M}$ prostřednictvím bodové aplikace Cliffordova algebra. Odpovídající operátor rozdílu uchovávající tento produkt je Provozovatel Atiyah – Singer – Dirac.

Hodge hvězda

Pro n- potrubí M, the Operátor hvězd Hodge ${ displaystyle { star}: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {n-k} (M)}$ je mapování duality a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$ do ${ displaystyle (n {-} k)}$-formulář ${ displaystyle ({ star} alfa) in Omega ^ {n-k} (M)}$.

Lze jej definovat z hlediska orientovaného rámečku ${ displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ pro ${ displaystyle TM}$, ortonormální vzhledem k danému metrickému tenzoru ${ displaystyle g}$:

${ displaystyle ({ star} alpha) (X_ {1}, ldots, X_ {n-k}) = alpha (X_ {n-k + 1}, ldots, X_ {n}).}$

Provozovatel společného diferenciálu

The ko-diferenciální operátor ${ displaystyle delta: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k-1} (M)}$ na ${ displaystyle n}$ dimenzionální potrubí ${ displaystyle M}$ je definováno

${ displaystyle delta: = (- 1) ^ {k} { star} ^ {- 1} d { star} = (- 1) ^ {nk + n + 1} { star} d { star }.}$

Součet ${ displaystyle d + delta}$ je Operátor Hodge – Dirac, studoval operátor typu Dirac Cliffordova analýza.

Orientované potrubí

An ${ displaystyle n}$-dimenzionální orientovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ je potrubí, které může být vybaveno výběrem z ${ displaystyle n}$-formulář ${ displaystyle mu in Omega ^ {n} (M)}$ to je nepřetržité a nenulové všude ${ displaystyle M}$.

Objemová forma

Na orientovatelném potrubí ${ displaystyle M}$ kanonická volba a objemová forma daný metrický tenzor ${ displaystyle g}$ a orientace je ${ displaystyle mathbf {det}: = { sqrt {| det g |}} ; dX_ {1} ^ { plochý} klín ldots klín dX_ {n} ^ { plochý}}$ pro jakýkoli základ ${ displaystyle dX_ {1}, ldots, dX_ {n}}$ nařízeno, aby odpovídalo orientaci.

Plošný formulář

Vzhledem k objemové formě ${ displaystyle mathbf {det}}$ a jednotkový normální vektor ${ displaystyle N}$ můžeme také definovat plošný tvar ${ displaystyle sigma: = iota _ {N} { textbf {det}}}$ na hranice ${ displaystyle částečné M.}$

Bilineární forma na k-formuláře

Zobecnění metrického tenzoru, symetrická bilineární forma mezi dvěma ${ displaystyle k}$-formuláře ${ displaystyle alpha, beta in Omega ^ {k} (M)}$, je definováno bodově na ${ displaystyle M}$ podle

${ displaystyle langle alpha, beta rangle | _ {p}: = { star} ( alpha wedge { star} beta) | _ {p}.}$

The ${ displaystyle L ^ {2}}$-bilineární forma pro prostor ${ displaystyle k}$-formuláře ${ displaystyle Omega ^ {k} (M)}$ je definováno

${ displaystyle langle ! langle alpha, beta rangle ! rangle: = int _ {M} alpha wedge { star} beta.}$

V případě Riemannova potrubí je každé z nich vnitřní produkt (tj. je kladně definitivní).

Derivát lži

Definujeme Derivát lži ${ displaystyle { mathcal {L}}: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k} (M)}$ přes Cartanův magický vzorec pro danou sekci ${ displaystyle X v Gamma (TM)}$ tak jako

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} = d circ iota _ {X} + iota _ {X} circ d.}$

Popisuje změnu a ${ displaystyle k}$-formovat podél mapy toku ${ displaystyle phi _ {t}}$ přidružené k sekci ${ displaystyle X}$.

Operátor Laplace – Beltrami

The Laplacian ${ displaystyle Delta: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k} (M)}$ je definován jako ${ displaystyle Delta = - (d delta + delta d)}$.

Důležité definice

Definice na Ω^k(M)

${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$ je nazýván...

• Zavřeno -li ${ displaystyle d alpha = 0}$
• přesný -li ${ displaystyle alpha = d beta}$ pro některé ${ displaystyle beta in Omega ^ {k-1}}$
• zakryté -li ${ displaystyle delta alpha = 0}$
• souběžně -li ${ displaystyle alpha = delta beta}$ pro některé ${ displaystyle beta in Omega ^ {k + 1}}$
• harmonický -li Zavřeno a zakryté

Kohomologie

The ${ displaystyle k}$-th kohomologie potrubí ${ displaystyle M}$ a jeho externí derivační operátory ${ displaystyle d_ {0}, ldots, d_ {n-1}}$ darováno

${ displaystyle H ^ {k} (M): = { frac {{ text {ker}} (d_ {k})} {{ text {im}} (d_ {k-1})}}}$

Dvě zavřené ${ displaystyle k}$-formuláře ${ displaystyle alpha, beta in Omega ^ {k} (M)}$ jsou ve stejné třídě kohomologie, pokud je jejich rozdíl přesná forma, tj.

${ displaystyle [ alpha] = [ beta] Longleftrightarrow alpha {-} beta = d eta { text {pro některé}} eta v Omega ^ {k-1} (M)}$

Uzavřený povrch rodu ${ displaystyle g}$ budu mít ${ displaystyle 2g}$ generátory, které jsou harmonické.

Dirichletova energie

Dáno ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$

${ displaystyle { mathcal {E}} _ { text {D}} ( alpha): = { dfrac {1} {2}} langle ! langle d alpha, d alpha rangle ! rangle + { dfrac {1} {2}} langle ! langle delta alpha, delta alpha rangle ! rangle}$

Vlastnosti

Vnější odvozené vlastnosti

${ displaystyle int _ { Sigma} d alpha = int _ { částečné Sigma} alfa}$ ( Stokesova věta )

${ displaystyle d circ d = 0}$ ( komplex řetězců )

${ displaystyle d ( alfa klín beta) = d alfa klín beta + (- 1) ^ {k} alfa klín d beta}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M), beta in Omega ^ {l} (M)}$ ( Leibnizovo pravidlo )

${ displaystyle df (X) = Xf}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M), X in Gamma (TM)}$ ( směrový derivát )

${ displaystyle d alpha = 0}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {n} (M), { text {dim}} (M) = n}$

Vnější vlastnosti produktu

${ displaystyle alpha klín beta = (- 1) ^ {kl} beta klín alfa}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M), beta in Omega ^ {l} (M)}$ ( střídavý )

${ Displaystyle ( alfa klín beta) klín gamma = alfa klín ( beta klín gama)}$ ( asociativita )

${ Displaystyle ( lambda alfa) klín beta = lambda ( alfa klín beta)}$ pro ${ displaystyle lambda v mathbb {R}}$ ( distributivita skalárního násobení )

${ displaystyle alpha wedge ( beta _ {1} + beta _ {2}) = alpha wedge beta _ {1} + alpha wedge beta _ {2}}$ ( distribuce nad sčítáním )

${ displaystyle alpha klín alpha = 0}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$ když ${ displaystyle k}$ je liché nebo ${ displaystyle operatorname {hodnost} alpha leq 1}$. The hodnost a ${ displaystyle k}$-formulář ${ displaystyle alpha}$ znamená minimální počet monomiálních výrazů (vnější produkty jedné formy), které je třeba sečíst ${ displaystyle alpha}$.

Vlastnosti zpětného vytažení

${ displaystyle d ( phi ^ {*} alpha) = phi ^ {*} (d alpha)}$ ( komutativní s ${ displaystyle d}$ )

${ displaystyle phi ^ {*} ( alpha klín beta) = ( phi ^ {*} alfa) klín ( phi ^ {*} beta)}$ ( distribuuje přes ${ displaystyle klín}$ )

${ displaystyle ( phi _ {1} circ phi _ {2}) ^ {*} = phi _ {2} ^ {*} phi _ {1} ^ {*}}$ ( protikladný )

${ displaystyle phi ^ {*} f = f circ phi}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (N)}$ ( složení funkce )

Vlastnosti hudebního izomorfismu

${ displaystyle (X ^ { flat}) ^ { sharp} = X}$

${ displaystyle ( alpha ^ { sharp}) ^ { flat} = alpha}$

Vlastnosti interiérového produktu

${ displaystyle iota _ {X} circ iota _ {X} = 0}$ ( nilpotentní )

${ displaystyle iota _ {X} circ iota _ {Y} = - iota _ {Y} circ iota _ {X}}$

${ displaystyle iota _ {X} ( alpha klín beta) = ( iota _ {X} alfa) klín beta + (- 1) ^ {k} alfa klín ( iota _ { X} beta) = 0}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M), beta in Omega ^ {l} (M)}$ ( Leibnizovo pravidlo )

${ displaystyle iota _ {X} alfa = alfa (X)}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {1} (M)}$

${ displaystyle iota _ {X} f = 0}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$

${ displaystyle iota _ {X} (f alfa) = f iota _ {X} alfa}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$

Vlastnosti Hodgeovy hvězdy

${ displaystyle { star} ( lambda _ {1} alpha + lambda _ {2} beta) = lambda _ {1} ({ star} alpha) + lambda _ {2} ({ star} beta)}$ pro ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2} in mathbb {R}}$ ( linearita )

${ displaystyle { star} { star} alpha = s (-1) ^ {k (n-k)} alpha}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$, ${ displaystyle n = dim (M)}$, a ${ displaystyle s = operatorname {znamení} (g)}$ znaménko metriky

${ displaystyle { star} ^ {(- 1)} = s (-1) ^ {k (n-k)} { star}}$ ( inverze )

${ displaystyle { star} (f alfa) = f ({ star} alfa)}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$ ( komutativní s ${ displaystyle 0}$-formuláře )

${ displaystyle langle ! langle alpha, alpha rangle ! rangle = langle ! langle { star} alpha, { star} alpha rangle ! rangle}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {1} (M)}$ ( Hvězda Hodge zachovává ${ displaystyle 1}$-formní norma )

${ displaystyle { star} mathbf {1} = mathbf {det}}$ ( Hodgeův duální konstantní funkce 1 je objemová forma )

Vlastnosti společného diferenciálního operátoru

${ displaystyle delta circ delta = 0}$ ( nilpotentní )

${ displaystyle { star} delta = (- 1) ^ {k} d { star}}$ a ${ displaystyle { star} d = (- 1) ^ {k + 1} delta { star}}$ ( Hodge se připojil k ${ displaystyle d}$ )

${ displaystyle langle ! langle d alpha, beta rangle ! rangle = langle ! langle alpha, delta beta rangle ! rangle}$ -li ${ displaystyle částečné M = 0}$ ( ${ displaystyle delta}$ sousedit s ${ displaystyle d}$ )

${ displaystyle delta f = 0}$ pro ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$

Vlastnosti derivace lži

${ displaystyle d circ { mathcal {L}} _ {X} = { mathcal {L}} _ {X} circ d}$ ( komutativní s ${ displaystyle d}$ )

${ displaystyle iota _ {X} circ { mathcal {L}} _ {X} = { mathcal {L}} _ {X} circ iota _ {X}}$ ( komutativní s ${ displaystyle iota _ {X}}$ )

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} ( iota _ {Y} alpha) = iota _ {[X, Y]} alpha + iota _ {Y} { mathcal {L} } _ {X} alpha}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} ( alpha wedge beta) = ({ mathcal {L}} _ {X} alpha) wedge beta + alpha wedge ({ mathcal {L}} _ {X} beta)}$ ( Leibnizovo pravidlo )

Vnější počet identit

${ displaystyle iota _ {X} ({ star} mathbf {1}) = { star} X ^ { flat}}$ -li ${ displaystyle f in Omega ^ {0} (M)}$

${ displaystyle iota _ {X} ({ star} alpha) = (- 1) ^ {k} { star} (X ^ { flat} klín alfa)}$ -li ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k} (M)}$

${ displaystyle iota _ {X} ( phi ^ {*} alpha) = phi ^ {*} ( iota _ {d phi (X)} alfa)}$

${ displaystyle nu, mu in Omega ^ {n} (M), mu { text {nenulový}} Rightarrow existuje f in Omega ^ {0} (M) : nu = f mu}$

${ displaystyle X ^ { flat} wedge { star} Y ^ { flat} = g (X, Y) ({ star} mathbf {1})}$ ( bilineární forma )

${ displaystyle [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0}$ ( Jacobi identita )

Rozměry

Li ${ displaystyle n = dim M}$

${ displaystyle dim Omega ^ {k} (M) = { binom {n} {k}}}$ pro ${ displaystyle 0 leq k leq n}$

${ displaystyle dim Omega ^ {k} (M) = 0}$ pro ${ displaystyle k <0, k> n}$

Li ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n} in Gamma (TM)}$ je základem, pak základem ${ displaystyle Omega ^ {k} (M)}$ je

${ displaystyle {X _ { sigma (1)} ^ { plochý} klín ldots klín X _ { sigma (k)} ^ { plochý} : sigma v S (k, n) }}$

Vnější produkty

Nechat ${ displaystyle alpha, beta, gamma, alpha _ {i} v Omega ^ {1} (M)}$ a ${ displaystyle X, Y, Z, X_ {i}}$ být vektorová pole.

${ displaystyle alpha (X) = det { začátek {bmatrix} alpha (X) konec {bmatrix}}}$

${ displaystyle ( alpha wedge beta) (X, Y) = det { begin {bmatrix} alpha (X) & alpha (Y) beta (X) & beta (Y) end {bmatrix}}}$

${ displaystyle ( alpha wedge beta wedge gamma) (X, Y, Z) = det { begin {bmatrix} alpha (X) & alpha (Y) & alpha (Z) beta (X) & beta (Y) & beta (Z) gamma (X) & gamma (Y) & gamma (Z) end {bmatrix}}}$

${ displaystyle ( alpha _ {1} wedge ldots wedge alpha _ {l}) (X_ {1}, ldots, X_ {l}) = det { begin {bmatrix} alpha _ { 1} (X_ {1}) & alpha _ {1} (X_ {2}) & dots & alpha _ {1} (X_ {l}) alpha _ {2} (X_ {1} ) & alpha _ {2} (X_ {2}) & dots & alpha _ {2} (X_ {l}) vdots & vdots & ddots & vdots alpha _ {l } (X_ {1}) & alpha _ {l} (X_ {2}) & dots & alpha _ {l} (X_ {l}) end {bmatrix}}}$

Projekce a odmítnutí

${ displaystyle (-1) ^ {k} iota _ {X} { star} alpha = { star} (X ^ { flat} klín alfa)}$ ( vnitřní produkt ${ displaystyle iota _ {X} { star}}$ dvojitý klín ${ displaystyle X ^ { plochý} klín}$ )

${ displaystyle ( iota _ {X} alfa) klín { star} beta = alfa klín { star} (X ^ { plochý} klín beta)}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k + 1} (M), beta in Omega ^ {k} (M)}$

Li ${ displaystyle | X | = 1, alfa v Omega ^ {k} (M)}$, pak

• ${ displaystyle iota _ {X} circ (X ^ { flat} klín): Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k} (M)}$ je projekce z ${ displaystyle alpha}$ na ortogonální doplněk ${ displaystyle X}$.
• ${ displaystyle (X ^ { plochý} klín) circ iota _ {X}: Omega ^ {k} (M) rightarrow Omega ^ {k} (M)}$ je odmítnutí z ${ displaystyle alpha}$, zbytek projekce.
• tím pádem ${ displaystyle iota _ {X} circ (X ^ { flat} klín) + (X ^ { flat} klín) circ iota _ {X} = { text {id}}}$ ( projekce – odmítnutí rozklad )

Vzhledem k hranici ${ displaystyle částečné M}$ s jednotkovým normálním vektorem ${ displaystyle N}$

• ${ displaystyle mathbf {t}: = iota _ {N} circ (N ^ { flat} klín)}$ extrahuje tangenciální složka hranice.
• ${ displaystyle mathbf {n}: = ({ text {id}} - mathbf {t})}$ extrahuje normální součást hranice.

Součet výrazů

${ displaystyle (d alpha) (X_ {0}, ldots, X_ {k}) = součet _ {0 leq j leq k} (- 1) ^ {j} d ( alpha (X_ { 0}, ldots, { hat {X}} _ {j}, ldots, X_ {k})) (X_ {j}) + sum _ {0 leq i$

${ displaystyle (d alpha) (X_ {1}, ldots, X_ {k}) = součet _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} ( nabla _ { X_ {i}} alpha) (X_ {1}, ldots, { hat {X}} _ {i}, ldots, X_ {k})}$

${ displaystyle ( delta alfa) (X_ {1}, ldots, X_ {k-1}) = - součet _ {i = 1} ^ {n} ( iota _ {E_ {i}} ( nabla _ {E_ {i}} alpha)) (X_ {1}, ldots, { hat {X}} _ {i}, ldots, X_ {k})}$ vzhledem k pozitivně orientovanému ortonormálnímu rámci ${ displaystyle E_ {1}, ldots, E_ {n}}$.

${ displaystyle ({ mathcal {L}} _ {Y} alfa) (X_ {1}, ldots, X_ {k}) = ( nabla _ {Y} alfa) (X_ {1}, ldots, X_ {k}) - sum _ {i = 1} ^ {k} alpha (X_ {1}, ldots, nabla _ {X_ {i}} Y, ldots, X_ {k}) }$

Hodgeův rozklad

Li ${ displaystyle částečné M = emptyset}$, ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (M) Rightarrow existuje alpha v Omega ^ {k-1}, beta v Omega ^ {k + 1}, gamma in Omega ^ {k} (M), d gamma = 0, delta gamma = 0}$ takhle^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle omega = d alpha + delta beta + gamma}$

Poincaré lemma

Je-li bezhraniční potrubí ${ displaystyle M}$ má triviální kohomologii ${ displaystyle H ^ {k} (M) = {0 }}$, pak pro všechny uzavřené ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (M)}$, tady existuje ${ displaystyle alpha in Omega ^ {k-1} (M)}$ takhle ${ displaystyle omega = d alfa}$. To je případ, pokud M je smluvní.

Vztahy k vektorovému počtu

Totožnosti v euklidovském 3prostoru

Nechat Euklidovská metrika ${ displaystyle g (X, Y): = langle X, Y rangle = X cdot Y}$.

Používáme $}$ operátor diferenciálu ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$

${ displaystyle iota _ {X} alpha = g (X, alpha ^ { sharp}) = X cdot alpha ^ { sharp}}$ pro ${ displaystyle alpha in Omega ^ {1} (M)}$.

${ displaystyle operatorname {det} (X, Y, Z) = langle X, Y krát Z rangle = langle X krát Y, Z rangle}$ ( křížový produkt )

${ displaystyle { star} ( alpha wedge beta) = alpha ^ { sharp} times beta ^ { sharp}}$

${ displaystyle iota _ {X} alpha = - (X krát A) ^ { flat}}$ -li ${ displaystyle alpha in Omega ^ {2} (M), A = ({ star} alpha) ^ { sharp}}$

${ displaystyle X cdot Y = { star} (X ^ { flat} wedge { star} Y ^ { flat})}$ ( Tečkovaný produkt )

${ displaystyle nabla f = (df) ^ { sharp}}$ ( spád ${ displaystyle 1}$-formulář )

${ displaystyle X cdot nabla f = df (X)}$ ( směrový derivát )

${ displaystyle nabla cdot X = { star} d { star} X ^ { flat} = delta X ^ { flat}}$ ( divergence )

${ displaystyle nabla times X = ({ star} dX ^ { flat}) ^ { sharp}}$ ( kučera )

${ displaystyle langle X, N rangle sigma = { star} X ^ { flat}}$ kde ${ displaystyle N}$ je jednotkový normální vektor ${ displaystyle částečné M}$ a ${ displaystyle sigma = iota _ {N} mathbf {det}}$ je oblastní forma na ${ displaystyle částečné M}$.

${ displaystyle int _ { Sigma} d { star} X ^ { flat} = int _ { částečné Sigma} { star} X ^ { flat} = int _ { částečné Sigma } langle X, N rangle sigma}$ ( věta o divergenci )

Lživé deriváty

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} f = X cdot nabla f}$ ( ${ displaystyle 0}$-formuláře )

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} alpha = ( nabla _ {X} alpha ^ { sharp}) ^ { flat} + g ( alpha ^ { sharp}, nabla X)}$ ( ${ displaystyle 1}$-formuláře )

${ displaystyle { star} { mathcal {L}} _ {X} beta = left ( nabla _ {X} B- nabla _ {B} X + ({ text {div}} X) B right) ^ { flat}}$ -li ${ displaystyle B = ({ star} beta) ^ { sharp}}$ ( ${ displaystyle 2}$-formuje se ${ displaystyle 3}$- rozdělovače )

${ displaystyle { star} { mathcal {L}} _ {X} rho = dq (X) + ({ text {div}} X) q}$ -li ${ displaystyle rho = { star} q in Omega ^ {0} (M)}$ ( ${ displaystyle n}$-formuláře )

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} ( mathbf {det}) = ({ text {div}} (X)) mathbf {det}}$

Reference