Multilineární mapa - Multilinear map - Wikipedia

v lineární algebra, a multilineární mapa je funkce několika proměnných, které jsou lineární samostatně v každé proměnné. Přesněji řečeno, multilineární mapa je funkce

${ displaystyle f colon V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}$

kde ${ displaystyle V_ {1}, ldots, V_ {n}}$ a ${ displaystyle W}$ jsou vektorové prostory (nebo moduly přes komutativní prsten ), s následující vlastností: pro každou ${ displaystyle i}$, pokud všechny proměnné kromě ${ displaystyle v_ {i}}$ jsou tedy konstantní ${ displaystyle f (v_ {1}, ldots v_ {i}, ldots v_ {n})}$ je lineární funkce z ${ displaystyle v_ {i}}$.^[1]

Víceřádková mapa jedné proměnné je a lineární mapa, a ze dvou proměnných je a bilineární mapa. Obecněji řečeno, multilineární mapa k proměnné se nazývá a k-lineární mapa. Pokud codomain multilineární mapy je pole skalárů, nazývá se a multilineární forma. Multilineární mapy a multilineární formy jsou základními objekty studia v multilineární algebra.

Pokud všechny proměnné patří do stejného prostoru, lze uvažovat symetrický, antisymetrický a střídavý k-lineární mapy. Ten druhý se shoduje, pokud je podkladový prsten (nebo pole ) má charakteristický odlišné od dvou, jinak se první dva shodují.

Příklady

• Žádný bilineární mapa je multilineární mapa. Například jakýkoli vnitřní produkt na vektorovém prostoru je multilineární mapa, stejně jako křížový produkt vektorů v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.
• The určující matice je střídavý multilineární funkce sloupců (nebo řádků) a čtvercová matice.
• Li ${ displaystyle F colon mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R} ^ {n}}$ je C^k funkce, pak ${ displaystyle k !}$th derivát ${ displaystyle F !}$ v každém bodě ${ displaystyle p}$ v jeho doméně lze zobrazit jako symetrický ${ displaystyle k}$-lineární funkce ${ displaystyle D ^ {k} ! F colon mathbb {R} ^ {m} times cdots times mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R} ^ {n}}$.
• The projekce tenzor na vektor v multilineární podprostorové učení je také multilineární mapa.

Znázornění souřadnic

Nechat

${ displaystyle f colon V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}$

být multilineární mapa mezi konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory, kde ${ displaystyle V_ {i} !}$ má rozměr ${ displaystyle d_ {i} !}$, a ${ displaystyle W !}$ má rozměr ${ displaystyle d !}$. Pokud zvolíme a základ ${ displaystyle {{ textbf {e}} _ {i1}, ldots, { textbf {e}} _ {id_ {i}} }}$ pro každého ${ displaystyle V_ {i} !}$ a základ ${ displaystyle {{ textbf {b}} _ {1}, ldots, { textbf {b}} _ {d} }}$ pro ${ displaystyle W !}$ (pomocí tučně pro vektory), pak můžeme definovat kolekci skalárů ${ displaystyle A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k}}$ podle

${ displaystyle f ({ textbf {e}} _ {1j_ {1}}, ldots, { textbf {e}} _ {nj_ {n}}) = A_ {j_ {1} cdots j_ {n }} ^ {1} , { textbf {b}} _ {1} + cdots + A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {d} , { textbf {b}} _ {d}.}$

Pak skaláry ${ displaystyle {A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k} mid 1 leq j_ {i} leq d_ {i}, 1 leq k leq d }}$ zcela určit multilineární funkci ${ displaystyle f !}$. Zejména pokud

${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d_ {i}} v_ {ij} { textbf {e}} _ {ij} !}$

pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n !}$, pak

${ displaystyle f ({ textbf {v}} _ {1}, ldots, { textbf {v}} _ {n}) = suma _ {j_ {1} = 1} ^ {d_ {1} } cdots sum _ {j_ {n} = 1} ^ {d_ {n}} sum _ {k = 1} ^ {d} A_ {j_ {1} cdots j_ {n}} ^ {k} v_ {1j_ {1}} cdots v_ {nj_ {n}} { textbf {b}} _ {k}.}$

Příklad

Vezměme si trilineární funkci

${ displaystyle g dvojtečka R ^ {2} krát R ^ {2} krát R ^ {2} do R,}$

kde PROTI_i = R², d_i = 2, i = 1,2,3, a Ž = R, d = 1.

Základ pro každého PROTI_i je ${ displaystyle {{ textbf {e}} _ {i1}, ldots, { textbf {e}} _ {id_ {i}} } = {{ textbf {e}} _ {1} , { textbf {e}} _ {2} } = {(1,0), (0,1) }.}$ Nechat

${ displaystyle g ({ textbf {e}} _ {1i}, { textbf {e}} _ {2j}, { textbf {e}} _ {3k}) = f ({ textbf {e} } _ {i}, { textbf {e}} _ {j}, { textbf {e}} _ {k}) = A_ {ijk},}$

kde ${ displaystyle i, j, k in {1,2 }}$. Jinými slovy konstanta ${ displaystyle A_ {ijk}}$ je hodnota funkce na jednom z osmi možných trojic základních vektorů (protože pro každý ze tří existují dvě možnosti ${ displaystyle V_ {i}}$), jmenovitě:

${ displaystyle {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e }} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2} }, {{ textbf {e }} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1} }, {{ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} }.}$

Každý vektor ${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} ve V_ {i} = R ^ {2}}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci bazických vektorů

${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {2} v_ {ij} { textbf {e}} _ {ij} = v_ {i1} krát { textbf {e}} _ {1} + v_ {i2} times { textbf {e}} _ {2} = v_ {i1} times (1,0) + v_ {i2} times (0, 1).}$

Hodnota funkce v libovolné kolekci tří vektorů ${ displaystyle { textbf {v}} _ {i} v R ^ {2}}$ lze vyjádřit jako

${ displaystyle g ({ textbf {v}} _ {1}, { textbf {v}} _ {2}, { textbf {v}} _ {3}) = součet _ {i = 1} ^ {2} sum _ {j = 1} ^ {2} sum _ {k = 1} ^ {2} A_ {ijk} v_ {1i} v_ {2j} v_ {3k}.}$

Nebo v rozšířené formě jako

${ displaystyle { begin {align}} g ((a, b), (c, d) &, (e, f)) = eso krát g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}) + acf times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1 }, { textbf {e}} _ {2}) & + ade times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}) + adf times g ({ textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2} ) + bce times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {1}) + bcf times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}, { textbf {e}} _ {2}) & + bde times g ({ textbf {e} } _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {1}) + bdf times g ({ textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}, { textbf {e}} _ {2}). end {zarovnáno}}}$

Vztah k tenzorovým produktům

Mezi multilineárními mapami existuje přirozená vzájemná korespondence

${ displaystyle f colon V_ {1} times cdots times V_ {n} to W { text {,}}}$

a lineární mapy

${ displaystyle F colon V_ {1} otimes cdots otimes V_ {n} na W { text {,}}}$

kde ${ displaystyle V_ {1} otimes cdots otimes V_ {n} !}$ označuje tenzorový produkt z ${ displaystyle V_ {1}, ldots, V_ {n}}$. Vztah mezi funkcemi ${ displaystyle f !}$ a ${ displaystyle F !}$ je dáno vzorcem

${ displaystyle F (v_ {1} otimes cdots otimes v_ {n}) = f (v_ {1}, ldots, v_ {n}).}$

Multilineární funkce zapnuta n×n matice

Jeden může uvažovat o multilineárních funkcích na n×n matice nad a komutativní prsten K. s identitou, jako funkce řádků (nebo ekvivalentně sloupců) matice. Nechat A být taková matice a A_i, 1 ≤ i ≤ n, být řádky A. Pak multilineární funkce D lze psát jako

${ displaystyle D (A) = D (a_ {1}, ldots, a_ {n}),}$

uspokojující

${ displaystyle D (a_ {1}, ldots, ca_ {i} + a_ {i} ', ldots, a_ {n}) = cD (a_ {1}, ldots, a_ {i}, ldots , a_ {n}) + D (a_ {1}, ldots, a_ {i} ', ldots, a_ {n}).}$

Pokud to necháme ${ displaystyle { hat {e}} _ {j}}$ představují jth řádek matice identity, můžeme vyjádřit každý řádek A_i jako součet

${ displaystyle a_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {n} A (i, j) { hat {e}} _ {j}.}$

Pomocí multilineárnosti D přepíšeme D(A) tak jako

${ displaystyle D (A) = D left ( sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) { hat {e}} _ {j}, a_ {2}, ldots, a_ {n} right) = sum _ {j = 1} ^ {n} A (1, j) D ({ hat {e}} _ {j}, a_ {2}, ldots, a_ { n}).}$

Pokračování v této substituci pro každého A_i dostaneme, pro 1 ≤ i ≤ n,

${ displaystyle D (A) = součet _ {1 leq k_ {i} leq n} A (1, k_ {1}) A (2, k_ {2}) tečky A (n, k_ {n }) D ({ hat {e}} _ {k_ {1}}, dots, { hat {e}} _ {k_ {n}}),}$

kde, protože v našem případě 1 ≤ i ≤ n,

${ displaystyle sum _ {1 leq k_ {i} leq n} = sum _ {1 leq k_ {1} leq n} ldots sum _ {1 leq k_ {i} leq n } ldots sum _ {1 leq k_ {n} leq n}}$

je řada vnořených součtů.

Proto, D(A) je jednoznačně určeno tím, jak D pracuje dál ${ displaystyle { hat {e}} _ {k_ {1}}, dots, { hat {e}} _ {k_ {n}}}$.

Příklad

V případě matic 2 × 2 dostaneme

${ displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,1} D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {1}) + A_ {1 , 1} A_ {2,2} D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {2}) + A_ {1,2} A_ {2,1} D ( { hat {e}} _ {2}, { hat {e}} _ {1}) + A_ {1,2} A_ {2,2} D ({ hat {e}} _ {2} , { hat {e}} _ {2}) ,}$

Kde ${ displaystyle { hat {e}} _ {1} = [1,0]}$ a ${ displaystyle { hat {e}} _ {2} = [0,1]}$. Pokud omezíme ${ displaystyle D}$ být tedy střídavou funkcí ${ displaystyle D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e}} _ {1}) = D ({ hat {e}} _ {2}, { hat {e} } _ {2}) = 0}$ a ${ displaystyle D ({ hat {e}} _ {2}, { hat {e}} _ {1}) = - D ({ hat {e}} _ {1}, { hat {e }} _ {2}) = - D (I)}$. Pronájem ${ displaystyle D (I) = 1}$ dostaneme determinantní funkci na matice 2 × 2:

${ displaystyle D (A) = A_ {1,1} A_ {2,2} -A_ {1,2} A_ {2,1}.}$

Vlastnosti

• Víceřádková mapa má hodnotu nula, kdykoli je jeden z jejích argumentů nula.

Viz také

• Algebraická forma
• Multilineární forma
• Homogenní polynom
• Homogenní funkce
• Tenzory
• Multilineární podprostorové učení

Reference