Jedna forma - One-form

Lineární funkcionály (1-formy) α, β a jejich součet σ a vektory u, proti, w, v 3d Euklidovský prostor. Počet (1-formulář) hyperplanes protnutý vektorem se rovná vnitřní produkt.^[1]

v lineární algebra, a jeden formulář na vektorový prostor je stejný jako a lineární funkční v prostoru. Využití jeden formulář v této souvislosti obvykle odlišuje jednoformy od vyššího stupně multilineární funkcionály v prostoru. Podrobnosti viz lineární funkční.

v diferenciální geometrie, a jeden formulář na diferencovatelné potrubí je hladký sekce z kotangenský svazek. Ekvivalentně jedna forma na potrubí M je plynulé mapování celkový prostor z tečný svazek z M na ${ displaystyle mathbb {R}}$ jehož omezení na každé vlákno je lineární funkce v tečném prostoru. Symbolicky,

{ displaystyle alpha: TM rightarrow { mathbb {R}}, quad alpha _ {x} = alpha | _ {T_ {x} M}: T_ {x} M rightarrow { mathbb {R }},}

kde α_X je lineární.

Často jsou popsány jednoformáty lokálně, zejména v lokální souřadnice. V místním souřadnicovém systému je jeden formulář lineární kombinací diferenciály souřadnic:

{ displaystyle alpha _ {x} = f_ {1} (x) , dx_ {1} + f_ {2} (x) , dx_ {2} + cdots + f_ {n} (x) , dx_ {n},}

Kde F_i jsou plynulé funkce. Z tohoto pohledu má jedna forma a kovariantní transformační zákon o přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého. Jednoformátový je tedy kovariant řádu 1 tenzorové pole.

Příklady

Aplikace

Mnoho konceptů v reálném světě lze popsat jako jednu formu:

Indexování do vektoru: Druhý prvek tří vektoru je dán jednoformátovým [0, 1, 0]. To znamená, že druhý prvek [X, y, z] je

[0, 1, 0] · [X, y, z] = y.

Znamenat: Střední prvek n-vector je dán jednoformátem [1 /n, 1/n, ..., 1/n]. To znamená

{ displaystyle operatorname {průměr} (v) = [1 / n, 1 / n, tečky, 1 / n] cdot v.}

Vzorkování: Vzorkování s jádrem lze považovat za jeden formulář, kde jeden formulář je jádro přesunuté na příslušné místo.
Čistá současná hodnota sítě tok peněz, R(t), je dán jedním formulářem w(t) := (1 + i)^−t kde i je diskontní sazba. To znamená

{ displaystyle mathrm {NPV} (R ​​(t)) = langle w, R rangle = int _ {t = 0} ^ { infty} { frac {R (t)} {(1 + i ) ^ {t}}} , dt.}

Rozdíl

Nejzákladnější netriviální diferenciální jednou formou je forma „změny úhlu“ ${ displaystyle d theta.}$ To je definováno jako derivace úhlu „funkce“ ${ displaystyle theta (x, y)}$ (který je definován pouze do aditivní konstanty), kterou lze explicitně definovat z hlediska atan2 funkce ${ displaystyle operatorname {atan2} (y, x) = operatorname {arctan} (y / x).}$ Vezmeme-li derivát, získáme následující vzorec pro celková derivace:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} d theta & = částečné _ {x} left ( operatorname {atan2} (y, x) right) dx + částečné _ {y} left ( operatorname {atan2 } (y, x) right) dy & = - { frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + { frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy end {zarovnáno}}}

Zatímco úhel „funkce“ nelze definovat spojitě - funkce atan2 je nespojitá podél negativu y-osi - což odráží skutečnost, že úhel nelze definovat nepřetržitě, tento derivát je definován průběžně s výjimkou počátku, což odráží skutečnost, že nekonečně malý (a skutečně lokální) Změny v úhlu lze definovat všude kromě počátku. Integrace této derivace podél cesty dává celkovou změnu úhlu přes cestu a integrace přes uzavřenou smyčku dává číslo vinutí krát $2 π$ .

V jazyce diferenciální geometrie, tento derivát je v jedné formě a je Zavřeno (jeho derivát je nula), ale ne přesný (není to derivát formy 0, tj. funkce) a ve skutečnosti generuje první de Rhamova kohomologie z propíchnuté letadlo. Toto je nejzákladnější příklad takové formy a má zásadní význam v diferenciální geometrii.

Diferenciál funkce

Nechat ${ displaystyle U subseteq mathbb {R}}$ být otevřeno (např. interval ${ displaystyle (a, b)}$ ), a zvážit a diferencovatelná funkce ${ displaystyle f: U to mathbb {R}}$ , s derivát F'. Diferenciál df z F, v určitém okamžiku ${ displaystyle x_ {0} v U}$ , je definován jako určitý lineární mapa proměnné dx. Konkrétně ${ displaystyle df (x_ {0}, cdot): dx mapsto f '(x_ {0}) dx}$ . (Význam symbolu dx je tedy odhaleno: je to prostě argument nebo nezávislá proměnná lineární funkce ${ displaystyle df (x_ {0}, cdot)}$ .) Proto mapa ${ displaystyle x mapsto df (x)}$ pošle každý bod X na lineární funkční ${ displaystyle df (x, cdot)}$ . Toto je nejjednodušší příklad diferenciální (jedno-) formy.