Neurčitý (variabilní) - Indeterminate (variable)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Proměnná „neurčitá“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosinec 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a / nebo zejména formální algebra, an neurčitý je symbol, s nímž se zachází jako s proměnnou, který nestojí za ničím jiným než sám sebou a často se používá jako zástupný symbol v objektech, jako jsou polynomy a formální mocenské řady.^[1][2][3] Zejména:

• Neoznačuje konstantu nebo a parametr problému.
• Není to neznámá věc, kterou by bylo možné vyřešit.
• Není to proměnná označení argumentu funkce nebo proměnné, která je sečtena nebo integrována.
• Není to žádný typ vázaná proměnná.
• Je to jen symbol používaný zcela formálním způsobem.^[4]

Polynomy

Polynom v neurčitém ${ displaystyle X}$ je výrazem formy ${ displaystyle a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + ldots + a_ {n} X ^ {n}}$, Kde ${ displaystyle a_ {i}}$ se nazývají koeficienty polynomu. Dva takové polynomy jsou si rovny, pouze pokud jsou odpovídající koeficienty stejné.^[5] Naproti tomu dvě polynomické funkce v proměnné ${ displaystyle x}$ mohou být stejné nebo ne při konkrétní hodnotě ${ displaystyle x}$.

Například funkce

${ displaystyle f (x) = 2 + 3x, quad g (x) = 5 + 2x}$

jsou stejné, když ${ displaystyle x = 3}$ a nerovná se jinak. Ale dva polynomy

${ displaystyle 2 + 3X, quad 5 + 2X}$

jsou nerovné, protože 2 se nerovná 5 a 3 se nerovná 2. Ve skutečnosti

${ displaystyle 2 + 3X = a + bX}$

nedrží ledaže ${ displaystyle a = 2}$ a ${ displaystyle b = 3}$. To je proto, že ${ displaystyle X}$ není a neoznačuje číslo.

Rozdíl je subtilní, protože polynom v ${ displaystyle X}$ lze změnit na funkci v ${ displaystyle x}$ substitucí. Rozdíl je ale důležitý, protože při této substituci může dojít ke ztrátě informací. Například při práci v modulo 2, máme to:

${ displaystyle 0-0 ^ {2} = 0, quad 1-1 ^ {2} = 0,}$

takže polynomiální funkce ${ displaystyle x-x ^ {2}}$ se shodně rovná 0 pro ${ displaystyle x}$ mít jakoukoli hodnotu v systému modulo-2. Polynom ${ displaystyle X-X ^ {2}}$ není nulový polynom, protože koeficienty 0, 1 a -1 nejsou všechny nulové.

Formální výkonová řada

A formální mocenské řady v neurčitém ${ displaystyle X}$ je výrazem formy ${ displaystyle a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + ldots}$, kde symbolu není přiřazena žádná hodnota ${ displaystyle X}$.^[6] To je podobné definici polynomu, až na to, že nekonečný počet koeficientů může být nenulový. Na rozdíl od výkonová řada se setkal v počtu, otázky konvergence jsou irelevantní (protože ve hře není žádná funkce). Takže výkonové řady, které by se rozcházely pro hodnoty ${ displaystyle x}$, jako ${ displaystyle 1 + x + 2x ^ {2} + 6x ^ {3} + ldots + n! x ^ {n} + ldots ,}$, jsou povoleny.

Jako generátory

Neurčité jsou užitečné v abstraktní algebra pro generování matematické struktury. Například vzhledem k pole ${ displaystyle K}$, množina polynomů s koeficienty v ${ displaystyle K}$ je polynomiální kruh s polynomiální sčítání a násobení jako operace. Zejména pokud jsou neurčité dva ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou použity polynomiální kruh ${ displaystyle K [X, Y]}$ také používá tyto operace a konvence to tvrdí ${ displaystyle XY = YX}$.

Neurčité členy lze také použít ke generování a bezplatná algebra přes komutativní prsten ${ displaystyle A}$. Například se dvěma neurčitými ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, volná algebra ${ displaystyle A langle X, Y rangle}$ zahrnuje součty řetězců v ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, s koeficienty v ${ displaystyle A}$as pochopením toho ${ displaystyle XY}$ a ${ displaystyle YX}$ nemusí být nutně identické (protože volná algebra je ze své podstaty nekomutativní).

Viz také

• Neurčitá rovnice
• Neurčitá forma
• Neurčitý systém
• Polynomiální
• Formální výkonová řada

Poznámky

Reference

• Herstein, I.N. (1975). Témata v algebře. Wiley.
• McCoy, Neal H. (1973), Úvod do moderní algebry, revidované vydání, Boston: Allyn a Bacon, LCCN  68015225

Tento článek včlení materiál od neurčitého dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.