Bochnerův vzorec - Bochners formula - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Bochnerův vzorec je prohlášení týkající se harmonické funkce na Riemannovo potrubí ${ displaystyle (M, g)}$ do Ricciho zakřivení. Vzorec je pojmenován po americký matematik Salomon Bochner.

Formální prohlášení

Li ${ displaystyle u colon M rightarrow mathbb {R}}$ je tedy plynulá funkce

${ displaystyle Delta { bigg (} { frac {| nabla u | ^ {2}} {2}} { bigg)} = langle nabla Delta u, nabla u rangle + | nabla ^ {2} u | ^ {2} + { mbox {Ric}} ( nabla u, nabla u)}$,

kde ${ displaystyle nabla u}$ je spád z ${ displaystyle u}$ s ohledem na ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle { mbox {Ric}}}$ je Ricciho tenzor zakřivení.^[1] Li ${ displaystyle u}$ je harmonický (tj. ${ displaystyle Delta u = 0}$, kde ${ displaystyle Delta = Delta _ {g}}$ je Laplacian s ohledem na metriku ${ displaystyle g}$), Stává se Bochnerův vzorec

${ displaystyle Delta { frac {1} {2}} | nabla u | ^ {2} = | nabla ^ {2} u | ^ {2} + { mbox {Ric}} ( nabla u , nabla u)}$.

Bochner použil tento vzorec k prokázání Bochnerova mizející věta.

Jako důsledek, pokud ${ displaystyle (M, g)}$ je Riemannovo potrubí bez hranice a ${ displaystyle u colon M rightarrow mathbb {R}}$ je tedy plynulá, kompaktně podporovaná funkce

${ displaystyle int _ {M} ( Delta u) ^ {2} , d { mbox {vol}} = int _ {M} { Big (} | nabla ^ {2} u | ^ {2} + { mbox {Ric}} ( nabla u, nabla u) { Big)} d { mbox {vol}}}$.

Toto bezprostředně vyplývá z první identity s tím, že integrál levé strany zmizí (pomocí věta o divergenci ) a integrace po částech prvního členu na pravé straně.

Variace a zevšeobecnění

• Bochnerova identita
• Weitzenböck identita

Reference