Kählerův diferenciál - Kähler differential

v matematika, Kählerovy diferenciály poskytnout adaptaci diferenciální formy libovolně komutativní prsteny nebo schémata. Pojem představil Erich Kähler ve 30. letech. To bylo přijato jako standard v komutativní algebra a algebraická geometrie o něco později, jakmile byla pociťována potřeba přizpůsobit metody počet a geometrie nad komplexní čísla do kontextů, kde takové metody nejsou k dispozici.

Definice

Nechat R a S být komutativními kruhy a φ : R → S být kruhový homomorfismus. Důležitým příkladem je pro R A pole a S jednotný algebra přes R (tak jako souřadnicový kruh z afinní odrůda ). Kählerovy diferenciály formalizují pozorování, že deriváty polynomů jsou opět polynomy. V tomto smyslu je diferenciace pojmem, který lze vyjádřit čistě algebraicky. Toto pozorování lze proměnit v definici modulu

${ displaystyle Omega _ {S / R}}$

rozdílů různými, ale rovnocennými způsoby.

Definice pomocí derivací

An R-lineární derivace na S je R-homomorfismus modulu ${ displaystyle d: S až M}$ do S-modul M s obrazem R ve svém jádře, uspokojující Leibnizovo pravidlo ${ displaystyle d (fg) = f , dg + g , df}$. The modul Kählerových diferenciálů je definován jako S-modul ${ displaystyle Omega _ {S / R}}$ pro které existuje univerzální derivace ${ displaystyle d: S až Omega _ {S / R}}$. Stejně jako u ostatních univerzální vlastnosti, tohle znamená tamto d je nejlepší možné derivace v tom smyslu, že z ní lze získat jakoukoli jinou derivaci složením s S- homomorfismus modulů. Jinými slovy složení s d poskytuje pro každého S-modul M, an S-izomorfismus modulu

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {S} ( Omega _ {S / R}, M) { xrightarrow { cong}} operatorname {Der} _ {R} (S, M).}$

Jedna konstrukce Ω_S/R a d postupuje vytvořením bezplatného S-modul s jedním formálním generátorem ds pro každého s v Sa uložení vztahů

• dr = 0,
• d(s + t) = ds + dt,
• d(Svatý) = s dt + t ds,

pro všechny r v R a všechno s a t v S. Univerzální odvození odešle s na ds. Vztahy naznačují, že univerzální derivace je homomorfismus R- moduly.

Definice pomocí ideálního augmentace

Další stavba probíhá pronajímáním Já být ideální v tenzorový produkt ${ displaystyle S otimes _ {R} S}$ definován jako jádro multiplikační mapy

${ displaystyle { begin {cases} S otimes _ {R} S to S součet s_ {i} otimes t_ {i} mapsto sum s_ {i} cdot t_ {i} end {případy}}}$

Pak modul Kählerových diferenciálů z S lze ekvivalentně definovat pomocí^[1]

${ displaystyle Omega _ {S / R} = I / I ^ {2},}$

a univerzální derivace je homomorfismus d definován

${ displaystyle ds = 1 mnohokrát s krát 1.}$

Tato konstrukce je ekvivalentní té předchozí, protože Já je jádro projekce

${ displaystyle { begin {cases} S otimes _ {R} S to S otimes _ {R} R součet s_ {i} otimes t_ {i} mapsto sum s_ {i} cdot t_ {i} další 1 end {případů}}}$

Máme tedy:

${ displaystyle S otimes _ {R} S equiv I oplus S otimes _ {R} R.}$

Pak ${ displaystyle S otimes _ {R} S / S otimes _ {R} R}$ lze identifikovat pomocí Já mapou vyvolanou doplňkovou projekcí

${ displaystyle sum s_ {i} otimes t_ {i} mapsto sum s_ {i} otimes t_ {i} - sum s_ {i} cdot t_ {i} otimes 1.}$

To identifikuje Já s S-modul generovaný formálními generátory ds pro s v S, s výhradou d být homomorfismem R-moduly, které posílají každý prvek R na nulu. Vezmeme kvocient Já² přesně ukládá Leibnizovo pravidlo.

Příklady a základní fakta

Pro jakýkoli komutativní kruh R, Kählerovy diferenciály polynomiální kruh ${ displaystyle S = R [t_ {1}, dots, t_ {n}]}$ jsou zdarma S- modul hodnosti n generované diferenciály proměnných:

${ displaystyle Omega _ {R [t_ {1}, tečky, t_ {n}] / R} ^ {1} = bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R [t_ {1}, tečky t_ {n}] , dt_ {i}.}$

Diferenciály Kähler jsou kompatibilní s rozšíření skalárů, v tom smyslu, že na vteřinu R-algebra R′ a pro ${ displaystyle S '= R' otimes _ {R} S}$, existuje izomorfismus

${ displaystyle Omega _ {S / R} další _ {S} S ' cong Omega _ {S' / R '}.}$

V tomto konkrétním případě jsou diferenciály Kähler kompatibilní s lokalizace, což znamená, že pokud Ž je multiplikativní sada v S, pak existuje izomorfismus

${ displaystyle W ^ {- 1} Omega _ {S / R} cong Omega _ {W ^ {- 1} S / R}.}$

Vzhledem k dvěma prstencovým homomorfismům ${ displaystyle R to S to T}$, tady je krátká přesná sekvence z T- moduly

${ displaystyle Omega _ {S / R} další _ {S} T k Omega _ {T / R} k Omega _ {T / S} k 0.}$

Li ${ displaystyle T = S / I}$ pro nějaký ideální Já, termín ${ displaystyle Omega _ {T / S}}$ zmizí a sekvence může pokračovat vlevo následujícím způsobem:

${ displaystyle I / I ^ {2} { xrightarrow {[f] mapsto df otimes 1}} Omega _ {S / R} otimes _ {S} T na Omega _ {T / R} do 0.}$

Zobecnění těchto dvou krátkých přesných sekvencí poskytuje kotangensový komplex.

Druhá posloupnost a výše uvedený výpočet polynomiálního kruhu umožňuje výpočet Kählerových diferenciálů konečně generovaných R-algebry ${ displaystyle T = R [t_ {1}, ldots, t_ {n}] / (f_ {1}, ldots, f_ {m})}$. Stručně řečeno, tyto jsou generovány diferenciály proměnných a mají vztahy vycházející z diferenciálů rovnic. Například pro jeden polynom v jedné proměnné

${ Displaystyle Omega _ {(R [t] / (f)) / R} cong (R [t] , dt otimes R [t] / (f)) / (df) cong R [t ] / (f, df) , dt.}$

Kählerovy diferenciály pro schémata

Protože Kählerovy diferenciály jsou kompatibilní s lokalizací, mohou být konstruovány na obecném schématu provedením jedné ze dvou výše uvedených definic afinních otevřených podsystémů a lepení. Druhá definice má však geometrický výklad, který se globalizuje okamžitě. V této interpretaci Já představuje ideální definování úhlopříčka v vláknitý výrobek z Spec (S) sama sebou Spec (S) → Spec (R). Tato konstrukce má tedy více geometrickou chuť, v tom smyslu, že pojem první nekonečně malé sousedství úhlopříčka je tak zachycena pomocí funkcí mizejících modulo funkce mizející alespoň do druhého řádu (viz kotangensový prostor pro související pojmy). Kromě toho se vztahuje na obecný morfismus schémat ${ displaystyle f: X až Y}$ nastavením ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ být ideálem úhlopříčky ve vláknovém produktu ${ displaystyle X times _ {Y} X}$. The kotangensový svazek ${ displaystyle Omega _ {X / Y} = { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}}$, spolu s odvozením ${ displaystyle d: { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X / Y}}$ definováno analogicky dříve, je univerzální mezi ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {Y}}$-lineární derivace ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$- moduly. Li U je otevřené afinní podsystém X jehož obrázek v Y je obsažen v otevřeném afinním dílčím schématu PROTI, pak kotangensový svazek omezuje snop na U který je podobně univerzální. Jedná se tedy o svazek spojený s modulem Kählerových diferenciálů pro podkladové prstence U a PROTI.

Podobně jako v případě komutativní algebry existují přesné sekvence spojené s morfismem schémat. Vzhledem k morfismům ${ displaystyle f: X až Y}$ a ${ displaystyle g: Y až Z}$ schémat je přesná sekvence snopů ${ displaystyle X}$

${ displaystyle f ^ {*} Omega _ {Y / Z} až Omega _ {X / Z} až Omega _ {X / Y} až 0}$

Také pokud ${ displaystyle Z podmnožina X}$ je uzavřený podsystém daný ideálním svazkem ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je tam přesná sekvence snopů ${ displaystyle Z}$

${ displaystyle { frac { mathcal {I}} {{ mathcal {I}} ^ {2}}} to Omega _ {X / Y} otimes { mathcal {O}} _ {Z} to Omega _ {Z / Y} to 0}$

Příklady

Konečná oddělitelná rozšíření pole

Li ${ displaystyle K / k}$ je tedy rozšíření konečného pole ${ displaystyle Omega _ {K / k} ^ {1} = 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle K / k}$ je oddělitelný. V důsledku toho, pokud ${ displaystyle K / k}$ je konečné oddělitelné rozšíření pole a ${ displaystyle pi: Y na operatorname {Spec} (K)}$ je plynulá odrůda (nebo schéma), pak relativní kotangensní posloupnost

${ displaystyle pi ^ {*} Omega _ {K / k} ^ {1} až Omega _ {Y / k} ^ {1} až Omega _ {Y / K} ^ {1} do 0}$

dokazuje ${ displaystyle Omega _ {Y / k} ^ {1} cong Omega _ {Y / K} ^ {1}}$.

Cotangentové moduly projektivní odrůdy

Vzhledem k projektivnímu schématu ${ displaystyle X in operatorname {Sch} / mathbb {k}}$, jeho kotangensový svazek lze vypočítat z sheafifikace kotangensového modulu na podkladové gradované algebře. Zvažte například složitou křivku

${ displaystyle { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, z]} {(x ^ {n} + y ^ {n} -z ^ {n}) }} right) = { text {Proj}} (R)}$

pak můžeme vypočítat kotangensový modul jako

${ displaystyle Omega _ {R / mathbb {C}} = { frac {R cdot dx oplus R cdot dy oplus R cdot dz} {nx ^ {n-1} dx + ny ^ { n-1} dy-nz ^ {n-1} dz}}}$

Pak,

${ displaystyle Omega _ {X / mathbb {C}} = { widetilde { Omega _ {R / mathbb {C}}}}}$

Morfismy schémat

Zvažte morfismus

${ displaystyle X = operatorname {Spec} left ({ frac { mathbb {C} [t, x, y]} {(xy-t)}} right) = operatorname {Spec} (R) to operatorname {Spec} ( mathbb {C} [t]) = Y}$

v ${ displaystyle operatorname {Sch} / mathbb {C}}$. Potom pomocí první sekvence to vidíme

${ displaystyle { widetilde {R cdot dt}} to { widetilde { frac {R cdot dt oplus R cdot dx oplus R cdot dy} {ydx + xdy-dt}}} to Omega _ {X / Y} na 0}$

proto

${ displaystyle Omega _ {X / Y} = { widetilde { frac {R cdot dx oplus R cdot dy} {ydx + xdy}}}}$

Vyšší diferenciální formy a algebraická de Rhamova kohomologie

komplex de Rham

Stejně jako dříve opravte mapu ${ displaystyle X až Y}$. Diferenciální formy vyššího stupně jsou definovány jako vnější síly (přes ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$),

${ displaystyle Omega _ {X / Y} ^ {n}: = bigwedge ^ {n} Omega _ {X / Y}.}$

Odvození ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X / Y}}$ přirozeným způsobem zasahuje do posloupnosti map

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {X} { xrightarrow {d}} Omega _ {X / Y} ^ {1} { xrightarrow {d}} Omega _ {X / Y } ^ {2} { xrightarrow {d}} cdots}$

uspokojující ${ displaystyle d circ d = 0.}$ Tohle je komplex řetězců známý jako komplex de Rham.

Komplex de Rham má další multiplikativní strukturu, klínový produkt

${ displaystyle Omega _ {X / Y} ^ {n} mnohokrát Omega _ {X / Y} ^ {m} až Omega _ {X / Y} ^ {n + m}.}$

Tím se komplex de Rham změní v komutativní diferenciálně odstupňovaná algebra. Má také a uhlígebra struktura zděděná od struktury na vnější algebře.^[2]

de Rhamova kohomologie

The hyperkohomologie komplexu snopů de Rham se nazývá algebraická de Rhamova kohomologie z X přes Y a je označen ${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {n} (X / Y)}$ nebo prostě ${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {n} (X)}$ -li Y je zřejmé z kontextu. (V mnoha situacích Y je spektrum pole charakteristický nula.) Algebraic de Rham cohomology byl představen Grothendieck (1966) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFGrothendieck1966 (Pomoc). Je to úzce spjato s krystalická kohomologie.

Jak je známo z koherentní kohomologie jiných kvazi-koherentních snopů je výpočet de Rhamovy kohomologie zjednodušený, když X = Spec S a Y = Spec R jsou afinní schémata. V tomto případě, protože afinní schémata nemají vyšší kohomologii, ${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {n} (X / Y)}$ lze vypočítat jako cohomologii komplexu abelianských skupin

${ displaystyle 0 to S { xrightarrow {d}} Omega _ {S / R} ^ {1} { xrightarrow {d}} Omega _ {S / R} ^ {2} { xrightarrow {d }} cdots}$

což jsou termíny globální části snopů ${ displaystyle Omega _ {X / Y} ^ {r}}$.

Vezmeme-li velmi konkrétní příklad, předpokládejme to ${ displaystyle X = operatorname {Spec} mathbb {Q} left [x, x ^ {- 1} right]}$ je multiplikativní skupina ${ displaystyle mathbb {Q}.}$ Protože se jedná o afinní schéma, hyperkohomologie se redukuje na obyčejnou kohomologii. Algebraický de Rhamův komplex je

${ displaystyle mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] { xrightarrow {d}} mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] , dx.}$

Diferenciál d dodržuje obvyklá pravidla počtu, význam ${ displaystyle d (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} , dx.}$ Jádro a jádro počítají algebraickou de Rhamovu kohomologii

${ displaystyle { begin {aligned} H _ { text {dR}} ^ {0} (X) & = mathbb {Q} H _ { text {dR}} ^ {1} (X) & = mathbb {Q} cdot x ^ {- 1} dx end {zarovnáno}}}$

a všechny ostatní algebraické de Rhamovy kohomologické skupiny jsou nulové. Pro srovnání, algebraické de Rhamovy kohomologické skupiny ${ displaystyle Y = operatorname {Spec} mathbb {F} _ {p} left [x, x ^ {- 1} right]}$ jsou mnohem větší, jmenovitě

${ displaystyle { begin {aligned} H _ { text {dR}} ^ {0} (Y) & = bigoplus _ {k in mathbb {Z}} mathbb {F} _ {p} cdot x ^ {kp} H _ { text {dR}} ^ {1} (Y) & = bigoplus _ {k in mathbb {Z}} mathbb {F} _ {p} cdot x ^ {kp-1} , dx end {zarovnáno}}}$

Jelikož betti počty těchto kohomologických skupin nejsou takové, jaké se očekávají, krystalická kohomologie byl vyvinut k nápravě tohoto problému; definuje a Weil-cohomology theory přes konečná pole.

Grothendieckova věta o srovnání

Li X je hladký ${ displaystyle Y = operatorname {Spec} mathbb {C},}$ existuje přirozená srovnávací mapa

${ displaystyle Omega _ {X / mathbb {C}} ^ {r} (X) až Omega _ {X ^ { text {an}}} ^ {r} (X ^ { text {an }})}$

mezi Kählerovými (tj. algebraickými) diferenciálními formami X a hladké (tj. mít deriváty všech objednávek) diferenciální formy ${ displaystyle X ^ { text {an}}}$, komplexní potrubí spojené s X. Tato mapa nemusí být izomorfismem. Kdy však X je afinní odrůda, indukovaná mapa

${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {r} (X / mathbb {C}) až H _ { text {dR}} ^ {r} (X ^ { text {an}})}$

mezi algebraickými a hladkými de Rhamova kohomologie je izomorfismus, jak poprvé ukázal Grothendieck (1966) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFGrothendieck1966 (Pomoc). U hladkých, ale ne nutně afinních odrůd existuje isomorfismus vztahující se k hyperkohomologie algebraického komplexu de Rham k singulární kohomologii. Důkaz tohoto výsledku srovnání pomocí konceptu a Weilova kohomologie byl dán Cisinski & Déglise (2013).

Protiklady v singulárním případě lze najít s singularitami jiných než Du Bois, jako je odstupňovaný prsten ${ displaystyle k [x, y] / (y ^ {2} -x ^ {3})}$ s ${ displaystyle y}$ kde ${ displaystyle deg (y) = 3}$ a ${ displaystyle deg (x) = 2}$.^[3] Další protipříklady lze najít v algebraických rovinných křivkách s izolovanými singularitami, jejichž čísla Milnor a Tjurina jsou nerovná.^[4]

Aplikace

Kanonický dělitel

Li X je hladká odrůda na poli k,^{[je zapotřebí objasnění ]} pak ${ displaystyle Omega _ {X / k}}$ je vektorový svazek (tj. místně zdarma ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-module) hodnosti rovnající se dimenze z X. Z toho zejména vyplývá, že

${ displaystyle omega _ {X / k}: = bigwedge ^ { dim X} Omega _ {X / k}}$

je svazek řádků nebo ekvivalentně a dělitel. Je označován jako kanonický dělitel. Kanonický dělitel je, jak se ukázalo, a komplexizace a proto se objevuje v různých důležitých větách v algebraické geometrii, jako je Serre dualita nebo Vernější dualita.

Klasifikace algebraických křivek

The geometrický rod hladkého algebraická rozmanitost X z dimenze d přes pole k je definována jako dimenze

${ displaystyle g: = dim H ^ {0} (X, Omega _ {X / k} ^ {d}).}$

U křivek tato čistě algebraická definice souhlasí s topologickou definicí (pro ${ displaystyle k = mathbb {C}}$) jako "počet úchytů" Riemannův povrch spojené s X. Existuje poměrně ostrá trichotomie geometrických a aritmetických vlastností v závislosti na rodu křivky, pro G být 0 (racionální křivky ), 1 (eliptické křivky ) a větší než 1 (hyperbolické Riemannovy povrchy, včetně hyperelliptické křivky ), v uvedeném pořadí.

Tečný svazek a Riemann – Rochova věta

The tečný svazek hladké odrůdy X je, podle definice, duální kotangensového svazu ${ displaystyle Omega _ {X / k}}$. The Riemann – Rochova věta a jeho dalekosáhlé zobecnění, Grothendieck – Riemann – Rochova věta, obsahují jako zásadní přísadu Toddova třída tangenta svazku.

Unramified a hladké morfismy

Svazek diferenciálů souvisí s různými algebro-geometrickými pojmy. Morfismus ${ displaystyle f: X až Y}$ schémat je unramified kdyby a jen kdyby ${ displaystyle Omega _ {X / Y}}$ je nula.^[5] Zvláštní případ tohoto tvrzení je pro pole k, ${ displaystyle K: = k [t] / f}$ je oddělitelný přes k iff ${ displaystyle Omega _ {K / k} = 0}$, který lze také odečíst z výše uvedeného výpočtu.

Morfismus F konečného typu je a hladký morfismus Pokud to je byt a pokud ${ displaystyle Omega _ {X / Y}}$ je místně zdarma ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul odpovídající pozice. Výpočet ${ displaystyle Omega _ {R [t_ {1}, ldots, t_ {n}] / R}}$ výše ukazuje, že projekce z afinní prostor ${ displaystyle mathbb {A} _ {R} ^ {n} na operatorname {Spec} (R)}$ je hladký.

Období

Období jsou, obecně řečeno, integrály určitých, aritmeticky definovaných diferenciálních forem.^[6] Nejjednodušší příklad období je ${ displaystyle 2 pi i}$, který vzniká jako

${ displaystyle int _ {S ^ {1}} { frac {dz} {z}} = 2 pi i.}$

Algebraická de Rhamova kohomologie se používá ke konstrukci období takto:^[7] Pro algebraickou odrůdu X definováno přes ${ displaystyle mathbb {Q},}$ výše zmíněná kompatibilita se změnami bází přináší přirozený izomorfismus

${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {n} (X / mathbb {Q}) otimes _ { mathbb {Q}} mathbb {C} = H _ { text {dR}} ^ { n} (X otimes _ { mathbb {Q}} mathbb {C} / mathbb {C}).}$

Na druhé straně je pravá kohomologická skupina izomorfní k de Rhamově kohomologii komplexní potrubí ${ displaystyle X ^ { text {an}}}$ spojené s X, označeno zde ${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {n} (X ^ { text {an}}).}$ Ještě další klasický výsledek, de Rhamova věta, tvrdí izomorfismus druhé kohomologické skupiny s singulární kohomologie (nebo svazek kohomologie) se složitými koeficienty, ${ displaystyle H ^ {n} (X ^ { text {an}}, mathbb {C})}$, který věta o univerzálním koeficientu je zase izomorfní s ${ displaystyle H ^ {n} (X ^ { text {an}}, mathbb {Q}) otimes _ { mathbb {Q}} mathbb {C}.}$ Skládáním těchto izomorfismů se získají dva Racionální vektorové prostory, které po tenzorování pomocí ${ displaystyle mathbb {C}}$ stát se izomorfní. Při výběru základen těchto racionálních podprostorů (nazývaných také mřížky) je determinantem matice základních změn komplexní číslo, dobře definované až po násobení racionálním číslem. Taková čísla jsou období.

Algebraická teorie čísel

v algebraická teorie čísel, Kählerovy diferenciály lze použít ke studiu rozvětvení v prodloužení algebraické číselné pole. Li L / K. je konečné rozšíření s kroužky celých čísel Ó a Ó respektive pak jiný ideál δ_{L / K.}, který kóduje data rozvětvení, je ničitelem Ó-modul Ω_Ó/Ó:^[8]

${ displaystyle delta _ {L / K} = {x v O: x , dy = 0 { text {pro všechny}} y v O }.}$

Související pojmy

Hochschildova homologie je teorie homologie pro asociativní prstence, která se ukazuje být úzce spjata s Kählerovými diferenciály. Je tomu tak proto, že Hoschild-Kostant-Rosenbergova věta uvádí, že Hochschildova homologie ${ displaystyle HH _ { bullet} (R)}$ algebry hladké odrůdy je izomorfní s de-Rhamovým komplexem ${ displaystyle Omega _ {R / k} ^ { odrážka}}$ pro ${ displaystyle k}$ pole charakteristik ${ displaystyle 0}$. Existuje odvozené vylepšení této věty, které uvádí, že Hochschildova homologie dga je isomorfní s odvozeným de-Rhamovým komplexem.

The komplex de Rham – Witt je velmi hrubým vyjádřením vylepšení komplexu de Rham pro kruh Wittovy vektory.

Reference

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), „Mixed Weil cohomologies“, Pokroky v matematice, 230 (1): 55–130, arXiv:0712.3291, doi:10.1016 / j.aim.2011.10.021
• Grothendieck, Alexander (1966), „O de Rhamově kohomologii algebraických odrůd“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 29 (29): 95–103, doi:10.1007 / BF02684807, ISSN  0073-8301, PAN  0199194 (dopis pro Michael Atiyah, 14. října 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966), Dopis Johnu Tateovi (PDF).
• Grothendieck, Alexander (1968), „Krystaly a de Rhamova kohomologie schémat“ (PDF)v Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L.; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Pokročilé studium čisté matematiky, 3, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 306–358, PAN  0269663
• Johnson, James (1969), „Kählerovy diferenciály a diferenciální algebra“, Annals of Mathematics, 89 (1): 92–98, doi:10.2307/1970810, JSTOR  1970810, Zbl  0179.34302
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1986), Komutativní prstencová teorie, Cambridge University Press
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
• Rosenlicht, M. (1976), „K Liouvilleově teorii elementárních funkcí“ (PDF), Pacific Journal of Mathematics, 65 (2): 485–492, doi:10,2140 / pjm.1976,65,485, Zbl  0318.12107
• Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), „Několik poznámek o Kählerových diferenciálech a běžných diferenciálech v nelineárních řídicích systémech“, Systémy a kontrolní dopisy, 60: 699–703, doi:10.1016 / j.sysconle.2011.05.006

externí odkazy

• Poznámky na p-adické algebraické de-Rhamově kohomologii - poskytuje mnoho výpočtů nad charakteristikou 0 jako motivaci
• A vlákno věnovaný vztahu na algebraických a analytických diferenciálních formách
• Diferenciály (projekt Stacks)