Afinní zakřivení

Speciální afinní zakřivení, také známý jako zakřivení equiaffinu nebo afinní zakřivení, je konkrétní typ zakřivení která je definována v rovině křivka která se nezmění pod a speciální afinní transformace (an afinní transformace který zachovává plocha ). Křivky konstantního zakřivení equiaffinu $k$ jsou přesně všechny jiné než singulární rovinné kuželosečky. Ti s $k > 0$ jsou elipsy, ti s $k = 0$ jsou paraboly a ti s $k < 0$ jsou hyperboly.

Obvyklé euklidovské zakřivení křivky v bodě je její zakřivení oscilační kruh, jedinečný kruh tvořící kontakt druhého řádu (mající tříbodový kontakt) s křivkou v bodě. Stejným způsobem speciální afinní zakřivení křivky v bodě $P$ je jeho speciální afinní zakřivení hyperoskulační kuželovitý, což je jedinečný kuželovitý tvar čtvrtého řádu Kontakt (s pětibodovým kontaktem) s křivkou v $P$ . Jinými slovy se jedná o mezní polohu (jedinečného) kuželosečky $P$ a čtyři body $P 1, P 2, P 3, P 4$ jak se každý z bodů blíží $P$ :

{displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4} o P.}

V některých kontextech afinní zakřivení odkazuje na diferenciální invariant $κ$ z obecná afinní skupina, které lze snadno získat ze speciálního afinního zakřivení $k$ podle $κ = k - 3 / 2 dk / ds$ , kde $s$ je speciální afinní délka oblouku. Pokud není použita obecná afinní skupina, speciální afinní zakřivení $k$ se někdy také nazývá afinní zakřivení (Širokov 2001b ).

Formální definice

Speciální afinní délka

Chcete-li definovat speciální afinní zakřivení, je třeba nejprve definovat speciální afinní délka (nazývané také equiaffine arclength). Zvažte křivku afinní roviny $β (t)$ . Zvolte souřadnice afinní roviny tak, aby oblast rovnoběžníku překlenula dvěma vektory $A = (A 1, A 2)$ a $b = (b 1, b 2)$ je dán určující

{displaystyle det {egin {bmatrix} a & bend {bmatrix}} = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}

Zejména determinant

{displaystyle det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {dt}} & {dfrac {d ^ {2} eta} {dt ^ {2}}} end {bmatrix}}}

je dobře definovaný invariant speciální afinní skupiny a dává podepsanou oblast rovnoběžníku překlenutou rychlostí a zrychlením křivky $β$ . Zvažte změnu parametrů křivky $β$ řekněme novým parametrem $s$ související s $t$ prostřednictvím pravidelné reparameterizace $s = s (t)$ . Tento determinant prochází potom transformací následujícího druhu pomocí řetězové pravidlo:

{displaystyle {egin {aligned} det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {dt}} & {dfrac {d ^ {2} eta} {dt ^ {2}}} end {bmatrix}} & = det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {ds}} {dfrac {ds} {dt}} a vlevo ({dfrac {d ^ {2} eta} {ds ^ {2}}} vlevo ({dfrac {ds } {dt}} ight) ^ {2} + {dfrac {d eta} {ds}} {dfrac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} ight) end {bmatrix}} & = left ({frac {ds} {dt}} ight) ^ {3} det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {ds}} & {dfrac {d ^ {2} eta} {ds ^ {2} }} konec {bmatrix}}. konec {zarovnáno}}}

Přeparametrizaci lze zvolit tak, aby

{displaystyle det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {ds}} & {dfrac {d ^ {2} eta} {ds ^ {2}}} end {bmatrix}} = 1}

za předpokladu, že rychlost a zrychlení, $dβ / dt$ a $d 2 β / dt 2$ jsou lineárně nezávislé. Existence a jedinečnost takové parametrizace následuje integrací:

{displaystyle s (t) = int _ {a} ^ {t} {sqrt [{3}] {det {egin {bmatrix} {dfrac {d eta} {dt}} & {dfrac {d ^ {2} eta } {dt ^ {2}}} konec {bmatrix}}}} ,, dt.}

Tento integrál se nazývá speciální afinní délkaa o křivce nesoucí tuto parametrizaci se říká, že je parametrizována s ohledem na svou speciální afinní obloukovou délku.

Speciální afinní zakřivení

Předpokládejme to $β (s)$ je křivka parametrizovaná svou speciální afinní délkou. Pak speciální afinní zakřivení (nebo zakřivení equiaffinu) darováno

{displaystyle k (s) = det {egin {bmatrix} eta '' (s) & eta '' '(s) end {bmatrix}}.}

Tady $β'$ označuje derivát $β$ s ohledem na $s$ .

Obecněji (Guggenheimer 1977, §7.3; Blaschke 1923, §5), pro rovinnou křivku s libovolnou parametrizací

{displaystyle tmapsto {igl (} x (t), y (t) {igr)},}

speciální afinní zakřivení je:

{displaystyle {egin {aligned} k (t) & = {frac {x''y '' '- x' '' y ''} {left (x'y '' - x''y'ight) ^ { frac {5} {3}}}} - {frac {1} {2}} vlevo ({frac {1} {vlevo (x'y '' - x''y'ight) ^ {frac {2} { 3}}}} ight) '' [6px] & = {frac {4left (x''y '' '- x' '' y''ight) + vlevo (x'y '' '' - x ' '' 'y'ight)} {3left (x'y' '- x''y'ight) ^ {frac {5} {3}}}} - {frac {5left (x'y' '' - x '' 'y'ight) ^ {2}} {9left (x'y' '- x''y'ight) ^ {frac {8} {3}}}} konec {zarovnáno}}}

za předpokladu, že první a druhá derivace křivky jsou lineárně nezávislé. Ve zvláštním případě grafu $y = y (X)$ , tyto vzorce se redukují na

{displaystyle k = - {frac {1} {2}} vlevo ({frac {1} {left (y''ight) ^ {frac {2} {3}}}} ight) '' = {frac {y '' '}} {3left (y''ight) ^ {frac {5} {3}}}} - {frac {5left (y' ''ight) ^ {2}} {9left (y''ight) ^ {frac {8} {3}}}}}

kde prvočíslo označuje diferenciaci vzhledem k $X$ (Blaschke 1923, §5; Širokov 2001a).

Předpokládejme, jak je uvedeno výše $β (s)$ je křivka parametrizovaná speciální afinní délkou. Existuje pár invariantů křivky, které jsou neměnné pod celou obecnou afinní skupinou (Širokov 2001b ) - skupina všech afinních pohybů letadla, nejen těch, které chrání oblast. První z nich je

{displaystyle sigma = int {sqrt {k (s)}}, ds,}

někdy nazývaný afinní délka (i když to riskuje záměnu se speciální afinní sílou popsanou výše). Druhý je označován jako afinní zakřivení:

{displaystyle kappa = k ^ {- {frac {3} {2}}} {frac {dk} {ds}}.}

Kuželosečka

Předpokládejme to $β (s)$ je křivka parametrizovaná speciální afinní arclength s konstantním afinním zakřivením $k$ . Nechat

{displaystyle C_ {eta} (s) = {egin {bmatrix} eta '(s) & eta' '(s) end {bmatrix}}.}

Všimněte si, že $det (C β) = 1$ od té doby $β$ Předpokládá se, že nese speciální afinní parametrizaci obloukové délky, a to

{displaystyle k = det left (C_ {eta}'ight).,}

Vyplývá to z formy $C β$ že

{displaystyle C_ {eta} '= C_ {eta} {egin {bmatrix} 0 & -k 1 & 0end {bmatrix}}.}

Použitím vhodné speciální afinní transformace to můžeme zajistit $C β (0) = Já$ je matice identity. Od té doby $k$ je konstantní, z toho vyplývá $C β$ je dán exponenciální matice

{displaystyle {egin {aligned} C_ {eta} (s) & = exp left {scdot {egin {bmatrix} 0 & -k 1 & 0end {bmatrix}} ight} & = {egin {bmatrix} cos {sqrt {k} }, s & {sqrt {k}} sin {sqrt {k}}, s - {frac {1} {sqrt {k}}} sin {sqrt {k}}, s & cos {sqrt {k}}, odeslat { bmatrix}}. konec {zarovnáno}}}

Tyto tři případy jsou nyní následující.

$k = 0$

Pokud zakřivení zmizí shodně, pak při průchodu k limitu

{displaystyle C_ {eta} (s) = {egin {bmatrix} 1 & 0 s & 1end {bmatrix}}}

tak

β'(s) = (1, s)

, a tak integrace dává

{displaystyle eta (s) = left (s, {frac {s ^ {2}} {2}} ight),}

až do celkového konstantního překladu, což je speciální afinní parametrizace paraboly

y = X 2 / 2

.

$k > 0$

Pokud je speciální afinní zakřivení kladné, pak z toho vyplývá

{displaystyle eta '(s) = left (cos {sqrt {k}}, s, {frac {1} {sqrt {k}}} sin {sqrt {k}}, zrak)}

aby

{displaystyle eta (s) = left ({frac {1} {sqrt {k}}} sin {sqrt {k}}, s, - {frac {1} {k}} cos {sqrt {k}}, zrak )}

až po překlad, což je speciální afinní parametrizace elipsy

kx 2 + k 2 y 2 = 1

.

$k < 0$

Li

k

je záporné, pak trigonometrické funkce v

C β

nechat projít hyperbolické funkce:

{displaystyle C_ {eta} (s) = {egin {bmatrix} cosh {sqrt {| k |}}, s & {sqrt {| k |}} sinh {sqrt {| k |}}, s {frac {1 } {sqrt {| k |}}} sinh {sqrt {| k |}}, s & cosh {sqrt {| k |}}, odeslat {bmatrix}}.}

Tím pádem

{displaystyle eta (s) = left ({frac {1} {sqrt {| k |}}} sinh {sqrt {| k |}}, s, {frac {1} {| k |}} cosh {sqrt { | k |}}, zrak)}

až do překladu, což je speciální afinní parametrizace hyperboly

{displaystyle - | k | x ^ {2} + | k | ^ {2} y ^ {2} = 1.}

Charakterizace až afinní shody

Speciální afinní zakřivení ponořené křivky je jediným (lokálním) invariantem křivky v následujícím smyslu:

Pokud mají dvě křivky v každém bodě stejnou speciální afinní křivku, pak se jedna křivka získá od druhé pomocí speciální afinní transformace.

Ve skutečnosti platí o něco silnější prohlášení:

Vzhledem k jakékoli spojité funkci $k : [A, b] \to R$ , existuje křivka $β$ jehož první a druhá derivace jsou lineárně nezávislé, takže speciální afinní zakřivení $β$ relativní ke speciální afinní parametrizaci se rovná dané funkci $k$ . Křivka $β$ je jednoznačně určen až po speciální afinní transformaci.

To je analogické se základní větou o křivkách v klasické euklidovské diferenciální geometrie křivek, ve kterém úplná klasifikace rovinných křivek až do euklidovského pohybu závisí na jediné funkci $κ$ , zakřivení křivky. Z toho v podstatě vyplývá použití Picard – Lindelöfova věta do systému

{displaystyle C_ {eta} '= C_ {eta} {egin {bmatrix} 0 & -k 1 & 0end {bmatrix}}}

kde $C β = [β' β ″]$ . Alternativní přístup, zakořeněný v teorii pohyblivé rámečky, je použít existenci primitivu pro Derivát Darboux.

Odvození zakřivení afinní invariantností

Speciální afinní zakřivení lze odvodit výslovně technikami invariantní teorie. Pro zjednodušení předpokládejme, že křivka afinní roviny je dána ve formě grafu $y = y (X)$ . Speciální afinní skupina působí na kartézskou rovinu prostřednictvím transformací formy

{displaystyle {egin {aligned} x & mapsto ax + by + alpha y & mapsto cx + dy + eta, end {aligned}}}

s $inzerát - před naším letopočtem = 1$ . Následující vektorová pole překlenout Lež algebra nekonečně malých generátorů speciální afinní skupiny:

{displaystyle {egin {aligned} T_ {1} & = částečný _ {x}, & quad T_ {2} & = částečný _ {y} X_ {1} & = xpartial _ {y}, & quad X_ {2} & = ypartial _ {x}, & H & = xpartial _ {x} -ypartial _ {y} .end {aligned}}}

Afinní transformace působí nejen na body, ale také na tečny k grafům formuláře $y = y (X)$ . To znamená, že existuje akce speciální afinní skupiny na trojité souřadnice $(X, y, y')$ . Skupinová akce je generována vektorovými poli

{displaystyle T_ {1} ^ {(1)}, T_ {2} ^ {(1)}, X_ {1} ^ {(1)}, X_ {2} ^ {(1)}, H ^ {( 1)}}

definována na prostoru tří proměnných $(X, y, y')$ . Tato vektorová pole lze určit podle následujících dvou požadavků:

Pod projekcí na $xy$ - letadlo, musí promítnout na odpovídající původní generátory akce $T 1, T 2, X 1, X 2, H$ , resp.
Vektory musí zachovat až do měřítka kontaktní struktura z proudový prostor

{displaystyle heta _ {1} = dy-y ', dx.}

Konkrétně to znamená, že generátory

X (1)

musí uspokojit

{displaystyle L_ {X ^ {(1)}} heta _ {1} ekvivalent 0 {pmod {heta _ {1}}}}

kde

L

je Derivát lži.

Podobně lze akci skupiny rozšířit na prostor libovolného počtu derivátů $(X, y, y', y ″,\dots, y (k))$ .

Prodloužená vektorová pole generující působení speciální afinní skupiny pak musí pro každý generátor induktivně uspokojit $X \in {T 1, T 2, X 1, X 2, H}$ :

Projekce $X (k)$ do prostoru proměnných $(X, y, y',\dots, y (k -1))$ je $X (k -1)$ .
$X (k)$ zachovává ideální kontakt:

{displaystyle L_ {X ^ {(k)}} heta _ {k} ekvivalent 0 {pmod {heta _ {1}, tečky, heta _ {k}}}}

kde

{displaystyle heta _ {i} = dy ^ {(i-1)} - y ^ {(i)} dx.}

Provedení indukční konstrukce až na objednávku 4 dává

{displaystyle {egin {aligned} T_ {1} ^ {(4)} & = částečný _ {x}, qquad T_ {2} ^ {(4)} = částečný _ {y} X_ {1} ^ {( 4)} & = xpartial _ {y} + částečný _ {y '} X_ {2} ^ {(4)} & = ypartial _ {x} -y' ^ {2} částečný _ {y '} - 3 roky 'y''partial _ {y' '} - vlevo (3r' '^ {2} + 4r'y' '' ight) částečný _ {y '' '} - {igl (} 10r''y' '' + 5y'y '' '{igr)} částečné _ {y' ''}} H ^ {(4)} & = xpartial _ {x} -ypartial _ {y} -2y'partial _ {y ' } -3 roky '' částečný _ {y ''} - 4 roky '' 'částečný _ {y' ''} - 5 let '' '' částečný _ {y '' ''}. Konec {zarovnaný}}}

Zvláštní afinní zakřivení

{displaystyle k = {frac {y '' ''} {3left (y''ight) ^ {frac {5} {3}}}} - {frac {5left (y '''ight) ^ {2}} {9left (y''ight) ^ {frac {8} {3}}}}}

nezávisí výslovně na $X$ , $y$ nebo $y'$ , a tak uspokojuje

{displaystyle T_ {1} ^ {(4)} k = T_ {2} ^ {(4)} k = X_ {1} ^ {(4)} k = 0.}

Vektorové pole $H$ působí diagonálně jako upravený operátor homogenity a je to snadno ověřitelné $H (4) k = 0$ . Konečně,

{displaystyle X_ {2} ^ {(4)} k = {frac {1} {2}} vlevo [H, X_ {1} ight] ^ {(4)} k = {frac {1} {2}} left [H ^ {(4)}, X_ {1} ^ {(4)} ight] k = 0.}

Pět vektorových polí

{displaystyle T_ {1} ^ {(4)}, T_ {2} ^ {(4)}, X_ {1} ^ {(4)}, X_ {2} ^ {(4)}, H ^ {( 4)}}

tvoří involutivní distribuci na (otevřená podmnožina) $R 6$ tak, že Frobeniova věta o integraci, integrují se místně, aby poskytly foliaci $R 6$ pětidimenzionálními listy. Konkrétně je každý list místní orbitou speciální afinní skupiny. Funkce $k$ parametrizuje tyto listy.

Systém lidského motoru

Lidské křivočaré dvourozměrné kreslicí pohyby mají tendenci sledovat parametrizaci ekviaffinu.^[1] Toto je více obyčejně známé jako dvě třetiny mocenský zákon, podle kterého je rychlost ruky úměrná euklidovskému zakřivení zvýšenému na mínus třetí sílu.^[2] A to,

{displaystyle v = gamma kappa ^ {- {frac {1} {3}}},}

kde $proti$ je rychlost ruky, $κ$ je euklidovské zakřivení a $y$ je konstanta označovaná jako faktor rychlostního zisku.

Viz také

Reference

Blaschke, Wilhelm (1923), Afinní diferenciální geometrie, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, II, Berlín: Springer-Verlag OHG
Guggenheimer, Heinrich (1977), Diferenciální geometrie, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-63433-3
Shirokov, A.P. (2001a) [1994], "Afinní zakřivení", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Shirokov, A.P. (2001b) [1994], "Afinní diferenciální geometrie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 2), Houston, TX: Publikovat nebo zahynout, ISBN 978-0-914098-71-3

^ Flash, Tamar; Handzel, Amir A (2007). „Afinní diferenciální geometrická analýza pohybů lidské paže“. Biologická kybernetika. 96 (6): 577–601. doi:10.1007 / s00422-007-0145-5. PMC 2799626. PMID 17406889.
^ Lacquaniti, Francesco; Terzuolo, Carlo; Viviani, Paolo (1983). "Zákon týkající se kinematických a figurálních aspektů kreslících pohybů". Acta Psychologica. 54 (1–3): 115–130. doi:10.1016/0001-6918(83)90027-6. PMID 6666647.

[flashHandzel-1] Flash, Tamar; Handzel, Amir A (2007). „Afinní diferenciální geometrická analýza pohybů lidské paže“. Biologická kybernetika. 96 (6): 577–601. doi:10.1007 / s00422-007-0145-5. PMC 2799626. PMID 17406889.

[lacquaniti-2] Lacquaniti, Francesco; Terzuolo, Carlo; Viviani, Paolo (1983). "Zákon týkající se kinematických a figurálních aspektů kreslících pohybů". Acta Psychologica. 54 (1–3): 115–130. doi:10.1016/0001-6918(83)90027-6. PMID 6666647.

[1]

[2]