Věta o hlavní ose - Principal axis theorem

V matematický pole geometrie a lineární algebra, a hlavní osa je určitý řádek v a Euklidovský prostor spojené s elipsoid nebo hyperboloid, zevšeobecňující major a minor sekery z elipsa nebo hyperbola. The věta o hlavní ose uvádí, že hlavní osy jsou kolmé, a poskytuje konstruktivní postup pro jejich nalezení.

Matematicky je věta o hlavní ose zobecněním metody dokončení náměstí z elementární algebra. v lineární algebra a funkční analýza, věta o hlavní ose je geometrický protějšek spektrální věta. Má aplikace pro statistika z analýza hlavních komponent a rozklad singulární hodnoty. v fyzika, věta je základem pro studium moment hybnosti a dvojlom.

Motivace

Rovnice v Kartézské letadlo R²:

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {9}} + {frac {y ^ {2}} {25}} = 1}$

${displaystyle {} {frac {x ^ {2}} {9}} - {frac {y ^ {2}} {25}} = 1}$

definovat elipsu a hyperbolu. V obou případech X a y osy jsou hlavní osy. To je snadno vidět, vzhledem k tomu, že neexistují žádné křížové podmínky zahrnující produkty xy v obou výrazech. U rovnic jako je situace komplikovanější

${displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = 1.}$

Zde je zapotřebí určitá metoda k určení, zda se jedná o elipsa nebo a hyperbola. Základní pozorování spočívá v tom, že pokud lze pomocí kvadratického výrazu zmenšit kvadratický výraz na součet dvou čtverců, pak rovnice definuje elipsu, zatímco pokud se sníží na rozdíl dvou čtverců, pak rovnice představuje hyperbolu:

${displaystyle u (x, y) ^ {2} + v (x, y) ^ {2} = 1qquad {ext {(elipsa)}}}$

${displaystyle u (x, y) ^ {2} -v (x, y) ^ {2} = 1qquad {ext {(hyperbola)}}.}$

V našem příkladu je tedy problém, jak absorbovat koeficient příčného termínu 8xy do funkcí u a proti. Formálně je tento problém podobný problému maticová diagonalizace kde se pokusíme najít vhodný souřadný systém, ve kterém je matice lineární transformace diagonální. Prvním krokem je nalezení matice, ve které lze použít techniku ​​diagonalizace.

Trik spočívá v napsání kvadratické formy jako

${displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = {egin {bmatrix} x & yend {bmatrix}} {egin {bmatrix} 5 & 4 4 & 5end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} = mathbf {x} ^ {T} Amathbf {x}}$

kde byl příčný termín rozdělen na dvě stejné části. Matice A ve výše uvedeném rozkladu je a symetrická matice. Zejména tím, že spektrální věta, má to nemovitý vlastní čísla a je úhlopříčně podle ortogonální matice (ortogonálně úhlopříčně).

Ortogonálně diagonalizovat A, musíte nejprve najít jeho vlastní hodnoty a pak najít ortonormální vlastní základna. Výpočet ukazuje, že vlastní hodnoty A jsou

${displaystyle lambda _ {1} = 1, quad lambda _ {2} = 9}$

s odpovídajícími vlastními vektory

${displaystyle mathbf {v} _ {1} = {egin {bmatrix} 1 -1end {bmatrix}}, quad mathbf {v} _ {2} = {egin {bmatrix} 1 1end {bmatrix}}.}$

Jejich vydělením příslušnou délkou se získá ortonormální vlastní základ:

${displaystyle mathbf {u} _ {1} = {egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} - 1 / {sqrt {2}} end {bmatrix}}, quad mathbf {u} _ {2} = {egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} 1 / {sqrt {2}} konec {bmatrix}}.}$

Nyní matice S = [u₁ u₂] je ortogonální matice, protože má ortonormální sloupce, a A je diagonalizován:

${displaystyle A = SDS ^ {- 1} = SDS ^ {T} = {egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} a 1 / {sqrt {2}} - 1 / {sqrt {2}} & 1 / {sqrt {2}} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} 1 & 0 0 & 9end {bmatrix}} {egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} & - 1 / {sqrt {2}} 1 / { sqrt {2}} a 1 / {sqrt {2}} konec {bmatrix}}.}$

To platí pro současný problém „diagonalizace“ kvadratické formy prostřednictvím pozorování toho

${displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = mathbf {x} ^ {T} Amathbf {x} = mathbf {x} ^ {T} (SDS ^ {T}) mathbf {x} = ( S ^ {T} mathbf {x}) ^ {T} D (S ^ {T} mathbf {x}) = 1left ({frac {xy} {sqrt {2}}} ight) ^ {2} + 9left ( {frac {x + y} {sqrt {2}}} ight) ^ {2}.}$

Tedy rovnice ${displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = 1}$ je elipsa, protože levá strana může být zapsána jako součet dvou čtverců.

Je lákavé tento výraz zjednodušit vytažením faktorů 2. Je to však důležité ne udělat toto. Množství

${displaystyle c_ {1} = {frac {x-y} {sqrt {2}}}, quad c_ {2} = {frac {x + y} {sqrt {2}}}}$

mají geometrický význam. Určují ortonormální souřadnicový systém na R². Jinými slovy, získávají se z původních souřadnic aplikací rotace (a případně odrazu). V důsledku toho lze použít C₁ a C₂ souřadnice, o kterých lze učinit prohlášení délka a úhly (zejména délka), což by jinak bylo obtížnější při jiné volbě souřadnic (například změnou jejich měřítka). Například maximální vzdálenost od počátku na elipsě C₁² + 9C₂² = 1 nastane, když C₂= 0, tedy v bodech C₁= ± 1. Podobně je minimální vzdálenost kde C₂=±1/3.

Nyní je možné odečíst hlavní a vedlejší osu této elipsy. Jedná se přesně o jednotlivce vlastní prostory matice A, protože tam jsou kde C₂ = 0 nebo C₁= 0. Symbolicky jsou hlavní osy

${displaystyle E_ {1} = {ext {span}} left ({egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} - 1 / {sqrt {2}} end {bmatrix}} ight), quad E_ {2 } = {ext {span}} left ({egin {bmatrix} 1 / {sqrt {2}} 1 / {sqrt {2}} end {bmatrix}} ight).}$

Shrnout:

• Rovnice platí pro elipsu, protože obě vlastní čísla jsou kladná. (Jinak, pokud by jeden byl pozitivní a druhý negativní, byla by to hyperbola.)
• Hlavní osy jsou čáry překlenuté vlastními vektory.
• Minimální a maximální vzdálenosti od počátku lze odečíst z rovnice v diagonálním tvaru.

Pomocí těchto informací je možné dosáhnout jasného geometrického obrazu elipsy: například ji nakreslit do grafu.

Formální prohlášení

The věta o hlavní ose obavy kvadratické formy v Rⁿ, což jsou homogenní polynomy stupně 2. Libovolná kvadratická forma může být reprezentována jako

${displaystyle Q (mathbf {x}) = mathbf {x} ^ {T} Amathbf {x}}$

kde A je symetrická matice.

První část věty je obsažena v následujících výrokech zaručených spektrální větou:

• Vlastní čísla A jsou skutečné.
• A je diagonalizovatelný a vlastní prostory A jsou vzájemně kolmé.

Zejména, A je ortogonálně úhlopříčně, protože jeden může vzít základ každého vlastního prostoru a použít Gram-Schmidtův proces samostatně v rámci vlastního prostoru, aby získal ortonormální vlastní základ.

U druhé části předpokládejme, že vlastní hodnoty A jsou λ₁, ..., λ_n (možná opakované podle jejich algebraických multiplicit) a odpovídající ortonormální eigenbáza je u₁,...,u_n. Pak

• ${displaystyle Q (mathbf {x}) = lambda _ {1} c_ {1} ^ {2} + lambda _ {2} c_ {2} ^ {2} + tečky + lambda _ {n} c_ {n} ^ {2},}$

Kde C_i jsou souřadnice vzhledem k danému vlastnímu základu. Dále

• The i-th hlavní osa je čára určená znakem n-1 rovnice C_j = 0, j ≠ i. Tato osa je rozpětí vektoru u_i.

Viz také

• Sylvestrov zákon setrvačnosti

Reference

• Strang, Gilbert (1994). Úvod do lineární algebry. Wellesley-Cambridge Press. ISBN  0-9614088-5-5.