Shiu-Yuen Cheng - Shiu-Yuen Cheng

Shiu-Yuen Cheng v roce 1977
Foto s laskavým svolením George M. Bergman

Shiu-Yuen Cheng (鄭 紹 遠) je a Hongkong matematik. V současné době je profesorem matematiky na Hongkongská univerzita vědy a technologie. Cheng získal titul Ph.D. v roce 1974 pod dohledem Shiing-Shen Chern, z Kalifornská univerzita v Berkeley.[1] Cheng poté strávil několik let jako postdoktorandský kolega a odborný asistent na Univerzita Princeton a Státní univerzita v New Yorku ve Stony Brook. Poté se stal řádným profesorem na Kalifornská univerzita v Los Angeles. Cheng předsedal matematickým oddělením obou Čínská univerzita v Hongkongu a Hongkongská univerzita vědy a technologie v 90. letech. V roce 2004 se stal děkanem vědy na HKUST. V roce 2012 se stal členem Americká matematická společnost.[2]

On je dobře známý pro příspěvky k diferenciální geometrie a parciální diferenciální rovnice, počítaje v to Chengova věta o srovnání vlastních čísel, Chengova věta o maximálním průměru a řada prací s Shing-Tung Yau. Mnoho z Chengových a Yauových děl bylo součástí souboru prací, za který byl Yau oceněn Polní medaile v roce 1982. Od roku 2020 byla Chengova nejnovější výzkumná práce zveřejněna v roce 1996.

Technické příspěvky

Gradientní odhady a jejich aplikace

V roce 1975 Shing-Tung Yau našel nový odhad gradientu pro řešení druhého řádu eliptické parciální diferenciální rovnice na určitých úplných Riemannovských potrubích.[3] Cheng a Yau byli schopni lokalizovat Yauův odhad pomocí metody vyvinuté Eugenio Calabi.[CY75] Výsledek, známý jako odhad gradientu Cheng – Yau, je všudypřítomný v poli geometrická analýza. V důsledku toho Cheng a Yau dokázali ukázat existenci vlastní funkce, odpovídající první vlastní hodnotě, operátora Laplace-Beltrami na úplném Riemannově potrubí.

Cheng a Yau použili stejnou metodiku k pochopení vesmírných hyperplošin Minkowského prostor a geometrie hyperplošin v afinní prostor.[CY76a][CY86] Konkrétní aplikací jejich výsledků je Bernsteinova věta pro uzavřené vesmírné hyperplochy Minkowského prostoru, jejichž střední zakřivení je nulové; každý takový hyperplocha musí být rovina.[CY76a]

V roce 1916 Hermann Weyl našel diferenciální identitu pro geometrická data konvexního povrchu v euklidovském prostoru. Použitím principu maxima byl schopen ovládat vnější geometrii z hlediska vnitřní geometrie. Cheng a Yau to zobecnili na kontext hyperplošin v Riemannovských varietách.[CY77b]

Minkowského problém a Monge-Ampereova rovnice

Jakýkoli přísně konvexní uzavřený hyperplocha v Euklidovský prostor ℝn + 1 lze přirozeně považovat za vložení n-dimenzionální koule, přes Gaussova mapa. The Minkowského problém se ptá, zda je na systému libovolná plynulá a pozitivní funkce n-dimenzionální sféra může být realizována jako skalární zakřivení z Riemannova metrika vyvolané takovým vložením. To bylo vyřešeno v roce 1953 Louis Nirenberg, v případě, že n se rovná dvěma.[4] V roce 1976 Cheng a Yau problém obecně vyřešili.[CY76b]

Použitím Legendární transformace, řešení Monge-Ampereova rovnice také poskytovat konvexní hyperplochy euklidovského prostoru; skalární zakřivení vnitřní metriky je předepsáno pravou stranou Monge-Ampèrovy rovnice. Cheng a Yau jako takové dokázali pomocí svého řešení Minkowského problému získat informace o řešení Monge-Ampereových rovnic.[CY77a] Jako konkrétní aplikaci získali první obecnou existenci a teorii jedinečnosti problému okrajové hodnoty pro rovnici Monge-Ampère. Luis Caffarelli, Nirenberg a Joel Spruck později vyvinul pružnější metody řešení stejného problému.[5]

Hlavní publikace

C75.Shiu-Yuen Cheng. Věty o porovnávání vlastních čísel a jejich geometrické aplikace. Zdarma ke čtení Matematika. Z. 143 (1975), č. 1 3, 289–297. doi:10.1007 / BF01214381 uzavřený přístup
CY75.S.Y. Cheng a S.T. Yau. Diferenciální rovnice na Riemannovských varietách a jejich geometrické aplikace. Comm. Pure Appl. Matematika. 28 (1975), č. 2 3, 333–354. doi:10,1002 / cpa. 3160280303 uzavřený přístup
C76.Shiu-Yuen Cheng. Vlastní funkce a uzlové sady. Zdarma ke čtení Komentář. Matematika. Helv. 51 (1976), č. 5. 1, 43–55. doi:10.1007 / BF02568142 uzavřený přístup
CY76a.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. Maximální vesmírné hyperplochy v Lorentz-Minkowského prostorech. Ann. matematiky. (2) 104 (1976), č. 2. 3, 407–419. doi:10.2307/1970963 uzavřený přístup
CY76b.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. O pravidelnosti řešení n-rozměrný Minkowského problém. Comm. Pure Appl. Matematika. 29 (1976), č. 2. 5, 495–516. doi:10,1002 / cpa. 3160290504 uzavřený přístup
CY77a.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. O pravidelnosti Monge-Ampèrovy rovnice det (∂2u/∂Xi∂Xj) = F(X, u). Comm. Pure Appl. Matematika. 30 (1977), č. 1. 1, 41–68. doi:10,1002 / cpa. 3160300104 uzavřený přístup
CY77b.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. Hyperplochy s konstantním skalárním zakřivením. Matematika. Ann. 225 (1977), č. 2 3, 195–204. doi:10.1007 / BF01425237 uzavřený přístup
CY80.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. O existenci úplné Kählerovy metriky o nekompaktních komplexních varietách a pravidelnosti Feffermanovy rovnice. Comm. Pure Appl. Matematika. 33 (1980), č. 3. 4, 507–544. doi:10,1002 / cpa. 3160330404 uzavřený přístup
CY86.Shiu-Yuen Cheng a Shing-Tung Yau. Kompletní afinní hyperplochy. I. Úplnost afinních metrik. Comm. Pure Appl. Matematika. 39 (1986), č. 3. 6, 839–866. doi:10,1002 / cpa. 3160390606 uzavřený přístup

Reference

  1. ^ Shiu-Yuen Cheng na Matematický genealogický projekt
  2. ^ Seznam členů Americké matematické společnosti, vyvoláno 2012-11-10.
  3. ^ Shing Tung Yau. Harmonické funkce na kompletních Riemannovských potrubích. Comm. Pure Appl. Matematika. 28 (1975), 201–228.
  4. ^ Louis Nirenberg. Weyl a Minkowski problémy v diferenciální geometrii ve velkém. Comm. Pure Appl. Matematika. 6 (1953), 337–394.
  5. ^ L. Caffarelli, L. Nirenberg a J. Spruck. Dirichletova úloha pro nelineární eliptické rovnice druhého řádu. I. Monge-Ampereova rovnice. Comm. Pure Appl. Matematika. 37 (1984), č. 3 3, 369–402.

externí odkazy