Frenet-Serretovy vzorce - Frenet–Serret formulas

Prostorová křivka; vektory T, N a B; a oscilační rovina překlenul T a N

v diferenciální geometrie, Frenet-Serretovy vzorce Popiš kinematický vlastnosti částice pohybující se podél spojité, diferencovatelné křivka v trojrozměrném Euklidovský prostor ℝ³nebo geometrické vlastnosti samotné křivky bez ohledu na jakýkoli pohyb. Konkrétněji vzorce popisují deriváty tzv tečna, normální a binormální jednotkové vektory navzájem. Vzorce jsou pojmenovány podle dvou francouzských matematiků, kteří je nezávisle objevili: Jean Frédéric Frenet ve své tezi z roku 1847 a Joseph Alfred Serret v roce 1851. Vektorová notace a lineární algebra, které se v současné době používají k psaní těchto vzorců, se v době jejich objevení ještě nepoužívaly.

Tečna, normální a binormální jednotkové vektory, často nazývané T, N, a Bnebo společně Frenet – Serretův rám nebo TNB rám, společně tvoří ortonormální základ klenout se ℝ³ a jsou definovány takto:

• T je jednotkový vektor tečna na křivku směřující ve směru pohybu.
• N je normální jednotkový vektor, derivace T s respektem k parametr arclength křivky děleno její délkou.
• B je vektor binormální jednotky, křížový produkt z T a N.

Frenet-Serretovy vzorce jsou:

${ displaystyle { begin {seřazeno} { dfrac {d mathbf {T}} {ds}} & = kappa mathbf {N}, { dfrac {d mathbf {N}} {ds} } & = - kappa mathbf {T} + tau mathbf {B}, { dfrac {d mathbf {B}} {ds}} & = - tau mathbf {N}, end {zarovnaný}}}$

kde d/ds je derivát s ohledem na arclength, κ je zakřivení, a τ je kroucení křivky. Dva skaláry κ a τ efektivně definovat zakřivení a kroucení prostorové křivky. Přidružená kolekce, T, N, B, κ, a τ, se nazývá Frenet – Serretův přístroj. Intuitivně zakřivení měří selhání křivky jako přímku, zatímco torze měří selhání křivky jako rovinné.

Definice

The T a N vektory ve dvou bodech na rovinné křivce, přeložená verze druhého snímku (tečkovaná) a změna v T: δT '. δs je vzdálenost mezi body. V limitu ${ displaystyle { tfrac {d mathbf {T}} {ds}}}$ bude ve směru N a zakřivení popisuje rychlost otáčení rámu.

Nechat r(t) být a křivka v Euklidovský prostor, představující vektor polohy částice jako funkce času. Vzorce Frenet – Serret platí pro křivky, které jsou nedegenerovaný, což zhruba znamená, že mají nenulovou hodnotu zakřivení. Více formálně, v této situaci rychlost vektor r′(t) a akcelerace vektor r′′(t) nemusí být přiměřené.

Nechat s(t) představují délka oblouku kterým se částice pohybovala podél křivka včas t. Množství s se používá k poskytnutí křivky vysledované trajektorií částice a přirozená parametrizace délkou oblouku, protože mnoho různých cest částic může vystopovat stejnou geometrickou křivku tím, že ji bude procházet různými rychlostmi. Podrobně, s darováno

${ displaystyle s (t) = int _ {0} ^ {t} | mathbf {r} '( sigma) | d sigma.}$

Navíc, protože jsme to předpokládali r′ ≠ 0, z toho vyplývá s(t) je přísně monotónně rostoucí funkce. Proto je možné vyřešit pro t jako funkce s, a tedy psát r(s) = r(t(s)). Křivka je tak upřednostňována parametrizována délkou oblouku.

S nedegenerovanou křivkou r(s), parametrizovaný délkou oblouku, je nyní možné definovat Frenet – Serretův rám (nebo TNB rám):

• Vektor tečné jednotky T je definován jako

${ displaystyle mathbf {T} = { frac {d mathbf {r}} {ds}} qquad qquad (1)}$

• Normální jednotkový vektor N je definován jako

${ displaystyle mathbf {N} = {{ frac {d mathbf {T}} {ds}} nad vlevo | { frac {d mathbf {T}} {ds}} vpravo | }. qquad qquad (2)}$

Všimněte si, že voláním zakřivení ${ displaystyle kappa = vlevo | { frac {d mathbf {T}} {ds}} vpravo |}$ automaticky získáme první vztah.

• Vektor binormální jednotky B je definován jako křížový produkt z T a N:

${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {T} krát mathbf {N}. qquad qquad (3)}$

Frenet-Serretův snímek pohybující se podél a spirála. The T je reprezentována modrou šipkou, N je reprezentována červenou šipkou, zatímco B je reprezentována černou šipkou.

Z rovnice (2) vyplývá, protože T vždy má jednotku velikost, že N (změna T) je vždy kolmá na T, protože nedojde ke změně délky T. Z rovnice (3) vyplývá, že B je vždy na obě kolmé T a N. Tedy tři jednotkové vektory T, N, a B jsou navzájem kolmé.

The Frenet-Serretovy vzorce jsou:

${ displaystyle { begin {matrix} { frac {d mathbf {T}} {ds}} & = && kappa mathbf {N} & &&&& { frac {d mathbf {N} } {ds}} & = & - kappa mathbf {T} && + , tau mathbf {B} &&&& { frac {d mathbf {B}} {ds}} & = && - tau mathbf {N} & end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle kappa}$ je zakřivení a ${ displaystyle tau}$ je kroucení.

Frenet-Serretovy vzorce jsou také známé jako Frenet-Serretova věta, a lze jej stručněji uvést pomocí maticového zápisu:^[1]

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {T '} mathbf {N'} mathbf {B '} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & kappa & 0 - kappa & 0 & tau 0 & - tau & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {T} mathbf {N} mathbf {B} end {bmatrix}} .}$

Tato matice je šikmo symetrický.

Vzorce v n rozměry

Frenet-Serretovy vzorce byly zobecněny na euklidovské prostory s vyšší dimenzí Camille Jordan v roce 1874.

Předpokládejme to r(s) je hladká křivka v Rⁿ, a to první n deriváty r jsou lineárně nezávislé.^[2] Vektory v rámci Frenet – Serret jsou ortonormální základ vytvořeno použitím Gram-Schmidtův proces k vektorům (r′(s), r′′(s), ..., r⁽ⁿ⁾(s)).

Podrobně je jednotkovým tečným vektorem první Frenetův vektor E₁(s) a je definován jako

${ displaystyle mathbf {e} _ {1} (s) = { frac {{ overline { mathbf {e} _ {1}}} (s)} { | { overline { mathbf {e } _ {1}}} y |}}}$

kde

${ displaystyle { overline { mathbf {e} _ {1}}} (s) = mathbf {r} (s)}$

The normální vektor, někdy nazývané vektor zakřivení, označuje odchylku křivky od přímky. Je definován jako

${ displaystyle { overline { mathbf {e} _ {2}}} (s) = mathbf {r} '' (s) - langle mathbf {r} '' (s), mathbf {e } _ {1} (y) rangle , mathbf {e} _ {1} (y)}$

Jeho normalizovaná forma, normální vektor jednotky, je druhým Frenetovým vektorem E₂(s) a definováno jako

${ displaystyle mathbf {e} _ {2} (s) = { frac {{ overline { mathbf {e} _ {2}}} (s)} { | { overline { mathbf {e } _ {2}}} y |}}}$

Tečna a normální vektor v bodě s definovat oscilační rovina v bodě r(s).

Zbývající vektory v rámci (binormální, trinormální atd.) Jsou definovány podobně

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} _ {j} (s) = { frac {{ overline { mathbf {e} _ {j}}} (s)} { | { overline { mathbf {e} _ {j}}} (s) |}} { mbox {,}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} { overline { mathbf {e} _ {j}}} (s) = mathbf {r} ^ {(j)} (s) - součet _ {i = 1 } ^ {j-1} langle mathbf {r} ^ {(j)} (s), mathbf {e} _ {i} (s) rangle , mathbf {e} _ {i} ( s). end {zarovnáno}}}$

Skutečné hodnotné funkce použité pod χ_i(s) jsou nazývány generalizované zakřivení a jsou definovány jako

${ displaystyle chi _ {i} (s) = { frac { langle mathbf {e} _ {i} '(s), mathbf {e} _ {i + 1} (s) rangle} { | mathbf {r} 's | |}}}$

The Frenet-Serretovy vzorce, uvedené v maticovém jazyce, jsou

${ displaystyle { begin {aligned} { begin {bmatrix} mathbf {e} _ {1} 's vdots mathbf {e} _ {n}' s) end {bmatrix}} = end {aligned}} | mathbf {r} '(s) | cdot { begin {align}} { begin {bmatrix} 0 & chi _ {1} (s ) && 0 - chi _ {1} (s) & ddots & ddots & & ddots & 0 & chi _ {n-1} (s) 0 && - chi _ {n-1} (s) & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {e} _ {1} (s) vdots mathbf {e} _ {n} (s) end {bmatrix}} end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že jak je zde definováno, zobecněné zakřivení a rám se mohou mírně lišit od konvence nalezené v jiných zdrojích. ${ displaystyle chi _ {n-1}}$ (v této souvislosti se také nazývá torze) a poslední vektor v rámci ${ displaystyle mathbf {e} _ {n}}$, liší se znakem

${ displaystyle operatorname {or} ( mathbf {r} ^ {(1)}, dots, mathbf {r} ^ {(n)})}$

(orientace základny) z obvyklé torze. Vzorce Frenet – Serret jsou neměnné pod převrácením znaménka obou ${ displaystyle chi _ {n-1}}$ a ${ displaystyle mathbf {e} _ {n}}$a tato změna znaménka činí rám pozitivně orientovaným. Jak je definováno výše, rám zdědí svou orientaci z paprsku ${ displaystyle mathbf {r}}$.

Důkaz

Zvažte matici

${ displaystyle Q = left [{ begin {matrix} mathbf {T} mathbf {N} mathbf {B} end {matrix}} right]}$

Řádky této matice jsou vzájemně kolmé jednotkové vektory: an ortonormální základ z ℝ³. V důsledku toho přemístit z Q se rovná inverzní z Q: Q je ortogonální matice. To stačí ukázat

${ displaystyle left ({ frac {dQ} {ds}} right) Q ^ {T} = left [{ begin {matrix} 0 & kappa & 0 - kappa & 0 & tau 0 & - tau & 0 end {matrix}} vpravo]}$

Všimněte si, že první řádek této rovnice již podle definice normálu platí N a zakřivení κ. Stačí tedy ukázat, že (dQ/ ds)Q^T je šikmo symetrická matice. Od té doby Já = QQ^T, přičemž derivát a použití výnosů pravidla produktu

${ displaystyle { begin {aligned} 0 = { frac {dI} {ds}} = left ({ frac {dQ} {ds}} right) Q ^ {T} + Q left ({ frac {dQ} {ds}} right) ^ {T} implikuje left ({ frac {dQ} {ds}} right) Q ^ {T} = - left ( left ({ frac {dQ} {ds}} vpravo) Q ^ {T} vpravo) ^ {T} konec {zarovnáno}}}$

který stanoví požadovanou symetrii zkosení.^[3]

Aplikace a tlumočení

Kinematika rámu

Frenet-Serretův snímek pohybující se podél a spirála ve vesmíru

Rám Frenet – Serret sestávající z tečny Tnormální Na binormální B společně tvoří ortonormální základ 3-prostor. V každém bodě křivky toto připojí A referenční rámec nebo přímočarý souřadnicový systém (viz obrázek).

Frenet-Serretovy vzorce připouštějí a kinematický výklad. Představte si, že se pozorovatel pohybuje po křivce v čase a používá v každém bodě připojený rámeček jako svůj souřadný systém. Frenet-Serretovy vzorce znamenají, že tento souřadný systém se neustále otáčí, když se pozorovatel pohybuje po křivce. Proto je tento souřadnicový systém vždy neinerciální. The moment hybnosti pozorovatelova souřadného systému je úměrná Darboux vektor rámu.

Je pozorováno, že vrchol, jehož osa je umístěna podél binormálu, se otáčí s úhlovou rychlostí κ. Pokud je osa podél tečny, je pozorováno, že se otáčí s úhlovou rychlostí τ.

Konkrétně předpokládejme, že pozorovatel nese (setrvačnou) horní (nebo gyroskop ) s nimi podél křivky. Pokud osa vrcholu směřuje podél tečny ke křivce, bude pozorováno, že se otáčí kolem své osy s úhlovou rychlostí -τ vzhledem k neinerciálnímu souřadnicovému systému pozorovatele. Pokud naopak osa vrcholu ukazuje v binormálním směru, je pozorováno, že se otáčí s úhlovou rychlostí -κ. To lze snadno vizualizovat v případě, že je zakřivení kladná konstanta a torze zmizí. Pozorovatel je poté uvnitř rovnoměrný kruhový pohyb. Pokud vrchol ukazuje ve směru binormálu, pak o zachování momentu hybnosti musí se otáčet v naproti směr kruhového pohybu. V omezujícím případě, kdy zakřivení zmizí, je pozorovatel normální precese o vektoru tečny a podobně se horní část bude otáčet v opačném směru této precese.

Obecný případ je ilustrován níže. Existují další ilustrace na Wikimedia.

Aplikace. Kinematika rámu má mnoho aplikací ve vědách.

• V humanitní vědy, zejména v modelech mikrobiálního pohybu, byly úvahy Frenet-Serretova rámce použity k vysvětlení mechanismu, kterým pohybující se organismus ve viskózním médiu mění svůj směr.^[4]
• Ve fyzice je Frenet-Serretův rám užitečný, když je nemožné nebo nepohodlné přiřadit přirozený souřadný systém pro trajektorii. Tak je tomu často například v teorie relativity. V rámci tohoto nastavení byly rámy Frenet-Serret použity k modelování precese gyroskopu v gravitační studni.^[5]

Grafická ilustrace

1. Příklad pohyblivého základu Frenet (T v modré, N zeleně, B ve fialové) Vivianiho křivka.

2. Na příkladu a uzel torus, tečný vektor T, normální vektor Na binormální vektor B, jsou zobrazeny zakřivení κ (s) a torze τ (s).
   Na vrcholech torzní funkce je rotace Frenet-Serretova rámu (T,N,B) kolem vektoru tečny je jasně viditelný.

3. Kinematický význam zakřivení je nejlépe ilustrován rovinnými křivkami (s konstantní torzí rovnou nule). Podívejte se na stránku na zakřivení rovinných křivek.

Frenet – Serretovy vzorce v počtu

Frenet-Serretovy vzorce jsou často uváděny v kurzech počet proměnných jako společník ke studiu vesmírných křivek, jako je spirála. Spirálu lze charakterizovat výškou 2πh a poloměr r jedné zatáčky. Zakřivení a kroucení šroubovice (s konstantním poloměrem) jsou dány vzorci

${ displaystyle kappa = { frac {r} {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${ displaystyle tau = pm { frac {h} {r ^ {2} + h ^ {2}}}.}$

Dvě šroubovice (slinky) ve vesmíru. (a) Kompaktnější šroubovice s vyšším zakřivením a nižší torzí. (b) Natažená spirála s mírně vyšší torzí, ale nižším zakřivením.

Znaménko torze je určeno pravou nebo levou rukou smysl ve kterém se šroubovice otáčí kolem své středové osy. Výslovně jde o parametrizaci jedné zatáčky šroubovice pro praváky s výškou 2πh a poloměr r je

X = r cos t

y = r hřích t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

a pro spirálu pro leváky

X = r cos t

y = −r hřích t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π).

Všimněte si, že nejde o parametrizace délky oblouku (v takovém případě každá z X, y, a z bude muset být vyděleno ${ displaystyle { sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}$.)

Ve svých výkladových spisech o geometrii křivek Rudy Rucker^[6] zaměstnává model a slinky vysvětlit význam kroucení a zakřivení. Slinky, jak říká, se vyznačuje vlastností, kterou je množství

${ displaystyle A ^ {2} = h ^ {2} + r ^ {2}}$

zůstává konstantní, pokud jsou slinky vertikálně roztaženy podél jeho středové osy. (Zde 2πh je výška jediného zkroucení slinky a r poloměr.) Zejména zakřivení a kroucení se doplňují v tom smyslu, že kroucení může být zvýšeno na úkor zakřivení roztažením slinky.

Taylorova expanze

Opakované rozlišení křivky a použití vzorců Frenet – Serret dává následující Taylorova aproximace na křivku blízko s = 0:^[7]

${ displaystyle mathbf {r} (s) = mathbf {r} (0) + left (s - { frac {s ^ {3} kappa ^ {2} (0)} {6}} vpravo) mathbf {T} (0) + vlevo ({ frac {s ^ {2} kappa (0)} {2}} + { frac {s ^ {3} kappa '(0)} {6}} right) mathbf {N} (0) + left ({ frac {s ^ {3} kappa (0) tau (0)} {6}} right) mathbf {B } (0) + o (s ^ {3}).}$

Pro obecnou křivku s nonvanishing torzí je projekce křivky do různých souřadnicových rovin v T, N, B coordinate system ve společnosti s = 0 mají následující interpretace:

• The oscilační rovina je letadlo obsahující T a N. Projekce křivky na tuto rovinu má tvar:
    ${ displaystyle mathbf {r} (0) + s mathbf {T} (0) + { frac {s ^ {2} kappa (0)} {2}} mathbf {N} (0) + o (s ^ {2}).}$
  Tohle je parabola až do podmínek objednávky Ó(s²), jehož zakřivení na 0 se rovná κ (0).
• The normální letadlo je letadlo obsahující N a B. Projekce křivky do této roviny má tvar:
    ${ displaystyle mathbf {r} (0) + left ({ frac {s ^ {2} kappa (0)} {2}} + { frac {s ^ {3} kappa '(0) } {6}} vpravo) mathbf {N} (0) + vlevo ({ frac {s ^ {3} kappa (0) tau (0)} {6}} vpravo) mathbf { B} (0) + o (s ^ {3})}$
  což je vrcholový krychlový objednat Ó(s³).
• The usměrňovací letadlo je letadlo obsahující T a B. Projekce křivky do této roviny je:
    ${ displaystyle mathbf {r} (0) + left (s - { frac {s ^ {3} kappa ^ {2} (0)} {6}} right) mathbf {T} (0 ) + left ({ frac {s ^ {3} kappa (0) tau (0)} {6}} right) mathbf {B} (0) + o (s ^ {3})}$
  který sleduje graf a kubický polynom objednat Ó(s³).

Stuhy a tuby

Pás definovaný křivkou konstantního kroucení a vysoce oscilačním zakřivením. Parametrizace délky oblouku křivky byla definována integrací Frenet-Serretových rovnic.

Přístroj Frenet – Serret umožňuje určit určité optimální stuhy a trubky soustředěný kolem křivky. Ty mají různé aplikace v věda o materiálech a teorie pružnosti,^[8] stejně jako počítačová grafika.^[9]

The Frenetová stuha^[10] podél křivky C je povrch vysledovaný zametáním úsečky [-N,N] generovaný jednotkou normální podél křivky. Tento povrch je někdy zaměňován s tečna rozvinutelná, který je obálka E oscilačních rovin C. Je to možná proto, že jak stuha Frenet, tak E vykazují podobné vlastnosti C. Jmenovitě tečné roviny obou listů E, v blízkosti singulárního místa C kde se tyto listy protínají, přibližte se k oscilačním rovinám C; tečné roviny Frenetovy pásky C jsou rovny těmto oscilačním rovinám. Frenetova stuha není obecně rozvinutelná.

Shoda křivek

V klasickém Euklidovská geometrie, jednoho zajímá studium vlastností obrazců v rovině, které jsou neměnný ve shodě, takže pokud jsou dvě postavy shodné, musí mít stejné vlastnosti. Přístroj Frenet-Serret představuje zakřivení a kroucení jako numerické invarianty prostorové křivky.

Zhruba řečeno, dvě křivky C a C′ Ve vesmíru jsou shodný jestliže jeden může být pevně přesunut do druhého. Tuhý pohyb se skládá z kombinace překladu a rotace. Překlad posune o jeden bod C do bodu C′. Otočení poté upraví orientaci křivky C vyrovnat se s C′. Taková kombinace překladu a rotace se nazývá a Euklidovský pohyb. Z hlediska parametrizace r(t) definování první křivky C, obecný euklidovský pohyb C je složen z následujících operací:

• (Překlad.) r(t) → r(t) + proti, kde proti je konstantní vektor.
• (Otáčení.) r(t) + proti → M (r(t) + proti), kde M je matice rotace.

Rám Frenet – Serret je obzvláště dobře vychovaný, pokud jde o euklidovské pohyby. Nejprve od té doby T, N, a B lze všechny uvést jako postupné derivace parametrizace křivky, každá z nich je necitlivá na přidání konstantního vektoru k r(t). Intuitivně TNB rám připojený k r(t) je stejný jako TNB rám připojený k nové křivce r(t) + proti.

Toto ponechává na zvážení pouze rotace. Intuitivně, pokud použijeme rotaci M na křivku, pak TNB rám se také otáčí. Přesněji řečeno, matice Q jejichž řádky jsou TNB vektory rámce Frenet-Serret se mění maticí rotace

${ displaystyle Q rightarrow QM.}$

Tím spíše, matice (dQ/ ds)Q^T není ovlivněn rotací:

${ displaystyle left ({ frac {d (QM)} {ds}} right) (QM) ^ {T} = left ({ frac {dQ} {ds}} right) MM ^ {T } Q ^ {T} = doleva ({ frac {dQ} {ds}} doprava) Q ^ {T}}$

od té doby MM^T = Já pro matici rotace.

Proto položky κ a τ z (dQ/ ds)Q^T jsou invarianty křivky pod euklidovskými pohyby: je-li na křivku aplikován euklidovský pohyb, výsledná křivka má stejný zakřivení a kroucení.

Navíc pomocí rámce Frenet – Serret lze dokázat i obrácenost: jakékoli dvě křivky se stejnou křivkou a torzní funkcí musí být shodné s euklidovským pohybem. Zhruba řečeno, vzorce Frenet – Serret vyjadřují Derivát Darboux z TNB rám. Pokud jsou deriváty Darboux dvou rámců stejné, pak verze základní věta o počtu tvrdí, že křivky jsou shodné. Zejména zakřivení a kroucení jsou a kompletní sada invariantů pro křivku ve třech rozměrech.

Další výrazy rámce

Výše uvedené vzorce pro T, N, a B závisí na křivce dané parametrem arclength. Toto je přirozený předpoklad v euklidovské geometrii, protože arclength je euklidovský invariant křivky. V terminologii fyziky je parametrizace obloukové délky přirozenou volbou měřidlo. V praxi však může být nevhodné s ním pracovat. K dispozici je řada dalších ekvivalentních výrazů.

Předpokládejme, že křivka je dána vztahem r(t), kde je parametr t už nemusí být arcength. Potom jednotkový tangensový vektor T lze psát jako

${ displaystyle mathbf {T} (t) = { frac { mathbf {r} '(t)} { | mathbf {r}' (t) |}}.}$

Normální vektor N má formu

${ displaystyle mathbf {N} (t) = { frac { mathbf {T} '(t)} { | mathbf {T}' (t) |}} = { frac { mathbf { r} '(t) times left ( mathbf {r}' '(t) times mathbf {r}' (t) right)} { left | mathbf {r} '(t) right | , left | mathbf {r} '' (t) times mathbf {r} '(t) right |}}.}$

Binormální B je tedy

${ displaystyle mathbf {B} (t) = mathbf {T} (t) krát mathbf {N} (t) = { frac { mathbf {r} '(t) krát mathbf {r } '' (t)} { | mathbf {r} '(t) times mathbf {r}' (t) |}}.}$

Alternativním způsobem, jak dosáhnout stejných výrazů, je vzít první tři derivace křivky r′(t), r′′(t), r′′′(t) a použít Gram-Schmidtův proces. Výsledek objednal ortonormální základ je přesně to TNB rám. Tento postup také generalizuje výrobu Frenetových rámů ve vyšších rozměrech.

Pokud jde o parametr t, vzorce Frenet – Serret získávají další faktor ||r′(t) || kvůli řetězové pravidlo:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { begin {bmatrix} mathbf {T} mathbf {N} mathbf {B} end {bmatrix}} = | mathbf { r} '(t) | { begin {bmatrix} 0 & kappa & 0 - kappa & 0 & tau 0 & - tau & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {T} mathbf {N} mathbf {B} end {bmatrix}}.}$

Mohou být vypočítány explicitní výrazy pro zakřivení a kroucení. Například,

${ displaystyle kappa = { frac { | mathbf {r} '(t) krát mathbf {r}' '(t) |} { | mathbf {r}' (t) | ^ {3}}}.}$

Torzi lze vyjádřit pomocí a skalární trojitý produkt jak následuje,

${ displaystyle tau = { frac {[ mathbf {r} '(t), mathbf {r}' '(t), mathbf {r}' '(t)]} { | mathbf {r} '(t) times mathbf {r}' '(t) | ^ {2}}}.}$

Speciální případy

Pokud je zakřivení vždy nula, bude křivka přímka. Zde vektory N, B a torze nejsou dobře definovány.

Pokud je torze vždy nulová, pak bude křivka ležet v rovině.

Křivka může mít nenulové zakřivení a nulovou torzi. Například kruh poloměru R dána r(t)=(R cos t, R hřích t, 0) v z= 0 rovina má nulové kroucení a zakřivení rovné 1 /R. Konverzace je však falešná. To znamená, že pravidelná křivka s nenulovou torzí musí mít nenulovou křivku. (Toto je jen kontrapositivem skutečnosti, že nulové zakřivení implikuje nulovou torzi.)

A spirála má konstantní zakřivení a konstantní torzi.

Rovinné křivky

Vzhledem ke křivce obsažené na X-y letadlo, jeho tečný vektor T je také obsažen v této rovině. Jeho binormální vektor B lze přirozeně předpokládat, že se shoduje s normálem do letadla (podél z osa). Nakonec lze najít normální křivku doplňující systém pro praváky, N = B × T.^[11] Tato forma je dobře definovaná, i když je zakřivení nulové; například kolmá na přímku v rovině bude kolmá na tečnu, vše koplanární.

Viz také

• Afinní geometrie křivek
• Diferenciální geometrie křivek
• Rám Darboux
• Kinematika
• Pohyblivý rám

Poznámky

Reference

• Crenshaw, H.C .; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientace pomocí Helical Motion II. Změna směru osy pohybu", Bulletin of Mathematical Biology, 55 (1): 213–230, doi:10.1016 / s0092-8240 (05) 80070-9
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Salas a Hilleův počet - jedna a několik proměnných (7. vydání), John Wiley & Sons, str. 896
• Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse. Abstrakt v Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17, 1852.
• Goriely, A .; Robertson-Tessi, M .; Tabor, M .; Vandiver, R. (2006), „Elastic growth models“, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, archivovány z originál (PDF) dne 29. 12. 2006.
• Griffiths, Phillip (1974), „K Cartanově metodě Lieových skupin a pohyblivých rámců, jak jsou aplikovány na otázky jedinečnosti a existence v diferenciální geometrii“, Duke Mathematical Journal, 41 (4): 775–814, doi:10.1215 / S0012-7094-74-04180-5, S2CID  12966544.
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Diferenciální geometrieDover, ISBN  0-486-63433-7
• Hanson, A.J. (2007), „Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves“ (PDF), Technická zpráva univerzity v Indianě
• Iyer, B.R .; Vishveshwara, C.V. (1993), „Frenet-Serretův popis gyroskopické precese“, Phys. Rev., D, 48 (12): 5706–5720, arXiv:gr-qc / 9310019, Bibcode:1993PhRvD..48.5706I, doi:10.1103 / physrevd.48.5706, PMID  10016237
• Jordan, Camille (1874), „Sur la Théorie des Courbes dans l'espace à n Dimensions“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 79: 795–797
• Kühnel, Wolfgang (2002), Diferenciální geometrie, Studentská matematická knihovna, 16„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2656-0, PAN  1882174
• Serret, J. A. (1851), „Sur quelques formuluje příbuzné à la théorie des courbes à double courbure“ (PDF), Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 16.
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek dva), Publish nebo Perish, Inc..
• Sternberg, Shlomo (1964), Přednášky o diferenciální geometrii, Prentice-Hall
• Struik, Dirk J. (1961), Přednášky o klasické diferenciální geometrii, Reading, Mass: Addison-Wesley.

externí odkazy

• Vytvořte si vlastní animované ilustrace pohybujících se Frenet-Serretových rámců, funkcí zakřivení a kroucení (Javor - pracovní list)
• Papír Rudy Ruckera KappaTau.
• Velmi pěkné vizuální znázornění trihedronu