Einstein potrubí - Einstein manifold

v diferenciální geometrie a matematická fyzika, an Einstein potrubí je Riemannian nebo pseudo-Riemannian diferencovatelné potrubí jehož Ricciho tenzor je úměrná metrický. Jsou pojmenovány po Albert Einstein protože tato podmínka je ekvivalentní s tím, že metrika je řešením vakuum Einsteinovy ​​rovnice pole (s kosmologická konstanta ), i když jak dimenze, tak podpis metriky mohou být libovolné, takže se neomezují pouze na čtyřrozměrný Lorentzian potrubí obvykle studoval v obecná relativita. Einsteinova potrubí ve čtyřech euklidovských dimenzích jsou studována jako gravitační okamžiky.

Li M je podklad n-dimenzionální potrubí a G je jeho metrický tenzor Einsteinova podmínka to znamená

${ displaystyle mathrm {Ric} = kg}$

pro nějakou konstantu k, kde Ric označuje Ricciho tenzor z G. Einstein potrubí s k = 0 jsou nazývány Ploché potrubí Ricci.

Einsteinova podmínka a Einsteinova rovnice

V místních souřadnicích podmínka, že (M, G) být Einsteinovým potrubím je prostě

${ displaystyle R_ {ab} = kg_ {ab}.}$

Sledování obou stran ukazuje, že konstanta proporcionality k pro Einsteinova potrubí souvisí s skalární zakřivení R podle

${ displaystyle R = nk,}$

kde n je rozměr M.

v obecná relativita, Einsteinova rovnice s kosmologická konstanta Λ je

${ displaystyle R_ {ab} - { frac {1} {2}} g_ {ab} R + g_ {ab} Lambda = kappa T_ {ab},}$

kde κ je Einsteinova gravitační konstanta.^[1] The tenzor napětí a energie T_ab dává hmotu a energetický obsah podkladového časoprostoru. v vakuum (oblast časoprostoru bez hmoty) T_ab = 0a Einsteinovu rovnici lze přepsat ve formě (za předpokladu, že n > 2):

${ displaystyle R_ {ab} = { frac {2 Lambda} {n-2}} , g_ {ab}.}$

Proto jsou vakuová řešení Einsteinovy ​​rovnice (Lorentzian) Einsteinova potrubí s k přímo úměrný kosmologické konstantě.

Příklady

Jednoduché příklady Einsteinových potrubí zahrnují:

• Jakékoli potrubí s konstantní zakřivení řezu je Einsteinovo potrubí - zejména:
  • Euklidovský prostor, který je plochý, je jednoduchým příkladem Ricciho bytu, tedy Einsteinovy ​​metriky.
  • The n-koule, ${ displaystyle S ^ {n}}$, s kulatou metrikou je Einstein ${ displaystyle k = n-1}$.
  • Hyperbolický prostor s kanonickou metrikou je Einstein s ${ displaystyle k = - (n-1)}$.
• Složitý projektivní prostor, ${ displaystyle mathbf {CP} ^ {n}}$, s Fubini – metrika studia, mít ${ displaystyle k = n + 1.}$
• Rozdělovače Calabi – Yau přiznat Einsteinovu metriku, která také je Kähler, s Einsteinovou konstantou ${ displaystyle k = 0}$. Takové metriky nejsou jedinečné, ale spíše pocházejí z rodin; v každé třídě Kähler existuje metrika Calabi – Yau a metrika také závisí na volbě složité struktury. Například existuje 60parametrická rodina takových metrik K3, Jejichž 57 parametrů vede k Einsteinovým metrikám, které nesouvisí s izometrií nebo změnami měřítka.

Nutná podmínka pro Zavřeno, orientované, 4 rozdělovače být Einsteinem uspokojuje Hitchin – Thorpe nerovnost.

Aplikace

Čtyřrozměrné Riemannian Einstein potrubí jsou také důležité v matematické fyzice jako gravitační okamžiky v kvantové teorie gravitace. Termín „gravitační okamžik“ se obvykle používá pouze pro Einsteinovy ​​4-varietá Weylův tenzor je sebe-duální a obvykle se předpokládá, že metrika je asymptotická ke standardní metrice euklidovského 4-prostoru (a proto kompletní ale nekompaktní ). V diferenciální geometrii jsou self-dual Einstein 4-potrubí také známé jako (4-dimenzionální) hyperkähler rozdělovače v případě Ricci-flat a čtveřice Kähler potrubí v opačném případě.

Vyšší dimenze Lorentzian Einstein potrubí jsou používány v moderních teorií gravitace, jako je teorie strun, M-teorie a supergravitace. Hyperkähler a kvaternion Kählerova potrubí (což jsou speciální druhy Einsteinových potrubí) mají také aplikace ve fyzice jako cílové prostory pro nelineární σ-modely s supersymetrie.

Kompaktní Einsteinovy ​​potrubí byly hodně studovány v diferenciální geometrii a je známo mnoho příkladů, i když jejich konstrukce je často náročná. Obzvláště obtížné je najít kompaktní Ricciho ploché potrubí: v monografii na toto téma od pseudonymního autora Arthur Besse, čtenářům je nabídnuto jídlo v a restaurace s hvězdičkou výměnou za nový příklad.

Viz také

• Einstein – hermitovský vektorový svazek

Poznámky a odkazy

• Besse, Arthur L. (1987). Rozdělovače Einstein. Klasika z matematiky. Berlín: Springer. ISBN  3-540-74120-8.