Torze křivky - Torsion of a curve

V elementárním diferenciální geometrie křivek v tři rozměry, kroucení a křivka měří, jak prudce se vykroutí z roviny zakřivení. Dohromady zakřivení a torze prostorové křivky jsou analogické k zakřivení rovinné křivky. Například jsou to koeficienty v systému diferenciální rovnice pro Frenetový rám dané Frenet-Serretovy vzorce.

Definice

Animace torze a odpovídající rotace binormálního vektoru.

Nechat C být prostorová křivka parametrizováno pomocí délka oblouku s a s jednotkový tangens vektor t. Pokud zakřivení κ z C v určitém bodě není nula, pak hlavní normální vektor a binormální vektor v tomto bodě jsou jednotkové vektory

${ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {t} '} { kappa}}, quad mathbf {b} = mathbf {t} times mathbf {n},}$

kde prvočíslo označuje derivaci vektoru vzhledem k parametru s. The kroucení τ měří rychlost rotace binormálního vektoru v daném bodě. Zjistilo se to z rovnice

${ displaystyle mathbf {b} '= - tau mathbf {n}.}$

což znamená

${ displaystyle tau = - mathbf {n} cdot mathbf {b} '.}$

Poznámka: Derivace binormálního vektoru je kolmá na binormální i tangens, a proto musí být úměrná hlavnímu normálnímu vektoru. Záporné znaménko je jednoduše věcí konvence: je vedlejším produktem historického vývoje subjektu.

Geometrická relevance: Torze τ(s) měří obrat binormálního vektoru. Čím větší je torze, tím rychleji se binormální vektor otáčí kolem osy dané vektorem tečny (viz grafické ilustrace ). Na animovaném obrázku je rotace binormálního vektoru jasně viditelná na vrcholech torzní funkce.

Vlastnosti

• Rovinná křivka s nemizejícím se zakřivením má ve všech bodech nulovou torzi. Naopak, pokud je torze pravidelné křivky s nezmizejícím se zakřivením identicky nulová, pak tato křivka patří do pevné roviny.
• Zakřivení a kroucení a spirála jsou konstantní. Naopak každá prostorová křivka, jejíž zakřivení a torze jsou konstantní i nenulové, je spirála. Torze je pozitivní pro praváka^[1] spirála a pro leváka je negativní.

Alternativní popis

Nechat r = r(t) být parametrická rovnice vesmírné křivky. Předpokládejme, že se jedná o běžnou parametrizaci a že zakřivení křivky nezmizí. Analyticky r(t) je třikrát diferencovatelné funkce z t s hodnotami v R³ a vektory

${ displaystyle mathbf {r '} (t), mathbf {r'}} (t)}$

jsou lineárně nezávislé.

Potom lze torzi vypočítat z následujícího vzorce:

${ displaystyle tau = { frac { det left ({ mathbf {r} ', mathbf {r}' ', mathbf {r}' '}} vpravo)} { left | { mathbf {r} ' times mathbf {r}' '} right | ^ {2}}} = { frac { left ({ mathbf {r}' times mathbf {r} '' } right) cdot mathbf {r} '' '} { left | { mathbf {r}' times mathbf {r} ''} right | ^ {2}}}.}$

Zde prvočísla označují deriváty s ohledem na t a kříž označuje křížový produkt. Pro r = (X, y, z), vzorec v komponentách je

${ displaystyle tau = { frac {x '' ' vlevo (y'z' '- y''z' vpravo) + y '' ' doleva (x''z'-x'z' ' right) + z '' ' left (x'y' '- x''y' right)} { left (y'z '' - y''z ' right) ^ {2} + left (x''z'-x'z '' right) ^ {2} + left (x'y '' - x''y ' right) ^ {2}}}.}$

Poznámky

Reference

• Pressley, Andrew (2001), Elementární diferenciální geometrieSpringerova vysokoškolská matematická série, Springer-Verlag, ISBN  1-85233-152-6