Nerovnost mezi biskupem a Gromovem - Bishop–Gromov inequality
v matematika, Nerovnost mezi biskupem a Gromovem je věta o srovnání v Riemannově geometrii, pojmenoval podle Richard L. Bishop a Michail Gromov. Je to úzce spjato s Myersova věta, a je klíčovým bodem v dokladu o Gromovova věta o kompaktnosti.[1]
Tvrzení
Nechat být úplný n-dimenzionální Riemannovo potrubí, jehož Ricciho zakřivení uspokojuje dolní mez
pro konstantu . Nechat být úplný n-dimenzionální jednoduše připojeno prostor konstanty řezové zakřivení (a tedy konstantní Ricciho zakřivení ); tím pádem je n-koule poloměru -li nebo n-dimenzionální Euklidovský prostor -li nebo vhodně změněnou verzi n-dimenzionální hyperbolický prostor -li . Označit podle koule o poloměru r kolem bodu p, definované s ohledem na Riemannova funkce vzdálenosti.
Pak pro všechny a , funkce
se nezvyšuje .
Tak jako r jde na nulu, poměr se blíží jedné, takže to spolu s monotónností naznačuje
Toto je verze, kterou poprvé prokázal Bishop.[2][3]
Viz také
Reference
- ^ Petersen, Peter (2016). „Oddíl 11.1.3“. Riemannova geometrie (3. vyd.). Springer. ISBN 978-3-319-26652-7.
- ^ Bishop, R. Vztah mezi objemem, průměrným zakřivením a průměrem.
Oznámení Americké matematické společnosti 10 (1963), str. 364.
- ^ Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometrie potrubí, dodatek 4, s. 256