Celkové zakřivení - Total curvature

Tato křivka má celkové zakřivení 6

π

, a index / otáčení číslo 3, ačkoli to má jen číslo vinutí 2 o

p

.

v matematický studium diferenciální geometrie křivek, celkové zakřivení z ponořený rovinná křivka je integrální z zakřivení podél křivky s ohledem na délka oblouku:

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} k (s) , ds.}

Celkové zakřivení uzavřené křivky je vždy celočíselný násobek 2 $π$ , volal index křivky, nebo otočné číslo - to je číslo vinutí jednotky tečný vektor o původu nebo ekvivalentním stupni mapy k jednotkový kruh přiřazení každému bodu křivky jednotkový rychlostní vektor v tomto bodě. Tato mapa je podobná mapě Gaussova mapa pro povrchy.

Srovnání s povrchy

Tento vztah mezi lokálním geometrickým invariantem, zakřivením a globálním topologický invariant, index, je charakteristický pro výsledky ve vícerozměrném Riemannova geometrie tak jako Věta o Gauss-Bonnetovi.

Invariance

Podle Whitney – Grausteinova věta, celkové zakřivení je neměnné pod a běžná homotopy křivky: je to stupeň Gaussova mapa. Při homotopii to však není neměnné: průchod zalomením (hrotem) změní číslo otáčení o 1.

Naproti tomu číslo vinutí o bodu je neměnný pod homotopy, které neprocházejí bodem, a změní se o 1, pokud jeden prochází bodem.

Zobecnění

Uzavřený polygonální řetěz, s celkovým zakřivením 2

π

.

Konečným zobecněním je, že vnější úhly trojúhelníku, nebo obecněji libovolného jednoduchý mnohoúhelník, přidat až 360 ° = 2 $π$ radiány, což odpovídá počtu otáčení 1. Obecněji řečeno, polygonální řetězce které se nevracejí samy k sobě (žádné úhly 180 °), mají dobře definované celkové zakřivení, interpretující zakřivení jako bodové hmoty v úhlech.

The celkové absolutní zakřivení křivky je definována téměř stejným způsobem jako celková zakřivení, ale s použitím absolutní hodnoty zakřivení namísto podepsané zakřivení. $π$ pro konvexní křivky v rovině a větší pro nekonvexní křivky.^[1] Lze jej také zobecnit na křivky ve vyšších dimenzionálních prostorech zploštěním tečna rozvinutelná na $y$ do roviny a výpočet celkového zakřivení výsledné křivky. To znamená celkové zakřivení křivky v $n$ -dimenzionální prostor je

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} left | gamma '' (s) right | operatorname {sgn} kappa _ {n-1} (s) , ds}

kde $κ n -1$ je poslední Frenetovo zakřivení ( kroucení křivky) a $sgn$ je funkce signum.

Minimální celkové absolutní zakřivení jakékoli trojrozměrné křivky představující danou hodnotu uzel je neměnný uzlu. Tento invariant má hodnotu 2 $π$ pro unknot, ale Fary-Milnorova věta to je minimálně 4 $π$ pro jakýkoli jiný uzel.^[2]

Reference

^ Chen, Bang-Yen (2000), "Riemannian submanifolds", Příručka diferenciální geometrie, sv. Já, Severní Holandsko, Amsterdam, s. 187–418, doi:10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0, PAN 1736854. Viz zejména oddíl 21.1, „Index otáčení a celkové zakřivení křivky“, str. 359–360.
^ Milnor, John W. (1950), „O celkovém zakřivení uzlů“, Annals of Mathematics, Druhá série, 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467, JSTOR 1969467

Kuhnel, Wolfgang (2005), Diferenciální geometrie: Křivky - Povrchy - Rozdělovače (2. vyd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (přeložil Bruce Hunt)
Sullivan, John M. (2008), „Křivky konečné konečné křivosti“, Diskrétní diferenciální geometrie, Oberwolfach Semin., 38, Birkhäuser, Basilej, s. 137–161, arXiv:matematika / 0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, PAN 2405664

[1] Chen, Bang-Yen (2000), "Riemannian submanifolds", Příručka diferenciální geometrie, sv. Já, Severní Holandsko, Amsterdam, s. 187–418, doi:10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0, PAN 1736854. Viz zejména oddíl 21.1, „Index otáčení a celkové zakřivení křivky“, str. 359–360.

[2] Milnor, John W. (1950), „O celkovém zakřivení uzlů“, Annals of Mathematics, Druhá série, 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467, JSTOR 1969467

[1]

[2]