Zakřivená forma - Curvature form - Wikipedia

v diferenciální geometrie, zakřivená forma popisuje zakřivení a spojení na hlavní balíček. Lze jej považovat za alternativu nebo zevšeobecnění tenzor zakřivení v Riemannova geometrie.

Definice

Nechat G být Lež skupina s Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, a P → B být ředitel školy G- svazek. Nechť ω je Ehresmann spojení na P (což je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-hodnota jeden formulář na P).

Pak zakřivená forma je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-hodnota 2-forma na P definován

${ displaystyle Omega = d omega + {1 nad 2} [ omega klín omega].}$

Tady ${ displaystyle d}$ znamená vnější derivace a ${ displaystyle [ cdot klín cdot]}$ je definován v článku "Forma s hodnotou lži algebry Jinými slovy,^[1]

${ displaystyle , Omega (X, Y) = d omega (X, Y) + [ omega (X), omega (Y)]}$

kde X, Y jsou tečné vektory k P.

Existuje také další výraz pro Ω: if X, Y jsou vodorovná vektorová pole na P, pak^[2]

${ displaystyle sigma Omega (X, Y) = - omega ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y]}$

kde Hz znamená vodorovnou složku Zvpravo jsme identifikovali svislé vektorové pole a prvek Lieovy algebry, který jej generuje (základní vektorové pole ), a ${ displaystyle sigma v {1,2 }}$ je inverzní hodnota normalizačního faktoru používaného konvencí ve vzorci pro vnější derivace.

Spojení se říká, že je byt pokud jeho zakřivení zmizí: Ω = 0. Ekvivalentně je spojení ploché, pokud lze skupinu struktury redukovat na stejnou podkladovou skupinu, ale s diskrétní topologií. Viz také: plochý vektor svazek.

Zakřivená forma ve vektorovém svazku

Li E → B je vektorový svazek, pak si také můžeme představit ω jako matici 1-forem a výše uvedený vzorec se stane strukturní rovnicí E. Cartana:

${ displaystyle , Omega = d omega + omega klín omega,}$

kde ${ displaystyle klín}$ je klínový produkt. Přesněji řečeno, pokud ${ displaystyle omega _ { j} ^ {i}}$ a ${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i}}$ označte složky ω a Ω odpovídajícím způsobem (tedy každá ${ displaystyle omega _ { j} ^ {i}}$ je obvyklá 1 forma a každá ${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i}}$ je obvyklá 2-forma)

${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i} = d omega _ { j} ^ {i} + součet _ {k} omega _ { k} ^ {i} klín omega _ { j} ^ {k}.}$

Například pro tečný svazek a Riemannovo potrubí, skupina struktury je O (n) a Ω je 2-forma s hodnotami v Lieově algebře O (n), tj antisymetrické matice. V tomto případě je forma Ω alternativním popisem tenzor zakřivení, tj.

${ displaystyle , R (X, Y) = Omega (X, Y),}$

pomocí standardní notace pro Riemannianův tenzor zakřivení.

Bianchi identity

Li ${ displaystyle theta}$ je kanonická vektorová hodnota 1 formy na svazku rámců, kroucení ${ displaystyle Theta}$ z formulář připojení${ displaystyle omega}$ je 2-forma s hodnotou vektoru definovaná strukturní rovnicí

${ displaystyle Theta = d theta + omega klín theta = D theta,}$

kde, jak je uvedeno výše D označuje vnější kovarianční derivace.

První identita Bianchi má podobu

${ displaystyle D Theta = Omega klín theta.}$

Druhá identita Bianchi má podobu

${ displaystyle , D Omega = 0}$

a platí obecněji pro všechny spojení v hlavní balíček.

Poznámky

Reference

• Shoshichi Kobayashi a Katsumi Nomizu (1963) Základy diferenciální geometrie, Svazek I, kapitola 2.5 Rovnice tvaru a struktury zakřivení, str. 75, Wiley Interscience.

Viz také

• Připojení (hlavní balíček)
• Základní úvod do matematiky zakřiveného časoprostoru
• Chern-Simonsova forma
• Zakřivení Riemannovských potrubí
• Teorie měřidla