Třetí základní forma - Third fundamental form

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Třetí základní forma“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v diferenciální geometrie, třetí základní forma je povrchová metrika označená ${ displaystyle mathrm {já ! já ! já}}$. Na rozdíl od druhá základní forma, je nezávislý na povrch normální.

Definice

Nechat S být operátor tvaru a M být hladký povrch. Také nechte u_p a proti_p být prvky tečného prostoru T_p(M). Třetí základní forma je pak dána

${ displaystyle mathrm {I ! I ! I} ( mathbf {u} _ {p}, mathbf {v} _ {p}) = S ( mathbf {u} _ {p}) cdot S ( mathbf {v} _ {p}) ,.}$

Vlastnosti

Třetí základní forma je zcela vyjádřitelná ve smyslu první základní forma a druhá základní forma. Pokud to necháme H být střední zakřivení povrchu a K. být Gaussovo zakřivení povrchu, máme

${ displaystyle mathrm {I ! I ! I} -2H mathrm {I ! I} + K mathrm {I} = 0 ,.}$

Protože operátor tvaru je samočinný, pro u,proti ∈ T_p(M), shledáváme

${ displaystyle mathrm {I ! I ! I} (u, v) = langle Su, Sv rangle = langle u, S ^ {2} v rangle = langle S ^ {2} u, v rangle ,.}$

Viz také

• Metrický tenzor
• První základní forma
• Druhá základní forma
• Tautologická jedna forma

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.