Geometrizační domněnka - Geometrization conjecture

V matematice Thurstonova domněnka o geometrizaci uvádí, že každý z určitých trojrozměrných topologické prostory má jedinečnou geometrickou strukturu, kterou lze s ní spojit. Jedná se o analogii věta o uniformizaci pro dvourozměrné povrchy, který uvádí, že každý jednoduše připojeno Riemannův povrch lze zadat jednu ze tří geometrií (Euklidovský, sférický nebo hyperbolický Ve třech rozměrech není vždy možné přiřadit jednu geometrii celému topologickému prostoru. Místo toho domněnka geometrizace uvádí, že každý je uzavřen 3-potrubí lze rozložit kanonickým způsobem na části, z nichž každý má jeden z osmi typů geometrické struktury. Domněnku navrhl William Thurston  (1982 ), a implikuje několik dalších domněnek, například Poincarého domněnka a Thurston eliptizační domněnka.

Thurston věta o hyperbolizaci to naznačuje Haken potrubí uspokojit domněnku geometrizace. Thurston oznámil důkaz v 80. letech a od té doby se v tisku objevilo několik úplných důkazů.

Grigori Perelman načrtl důkaz plné domněnky plné geometrizace v roce 2003 pomocí Ricciho tok s chirurgická operace Nyní existuje několik různých rukopisů (viz níže) s podrobnostmi důkazu. Poincarého domněnka a domněnka sférického prostoru jsou důsledky domněnky o geometrizaci, i když existují kratší důkazy o první domněnce, které nevedou k domněnce o geometrizaci.

Domněnka

Volá se 3-potrubí Zavřeno Pokud to je kompaktní a nemá žádné hranice.

Každý uzavřený 3-rozdělovač má a primární rozklad: to znamená, že je připojená suma z primární 3-potrubí (tento rozklad je v zásadě jedinečný, s výjimkou malého problému v případě neorientovatelné rozdělovače ). To redukuje velkou část studia 3-variet na případ hlavních 3-variet: těch, které nelze zapsat jako netriviální spojený součet.

Zde je prohlášení o Thurstonově domněnce:

Každý orientovaný prime uzavřen 3-potrubí lze řezat podél tori, takže vnitřek každého z výsledných potrubí má geometrickou strukturu s konečným objemem.

Existuje 8 možných geometrických struktur ve 3 rozměrech, popsaných v následující části. Existuje jedinečný minimální způsob rozřezání neredukovatelně orientovaného 3-potrubí podél tori na kousky, které jsou Seifert potrubí nebo atoroidní volal JSJ rozklad, což není úplně stejné jako rozklad v domněnce geometrizace, protože některé části rozkladu JSJ nemusí mít geometrické struktury konečného objemu. (Například mapovací torus z Mapa Anosov torus má konečnou objemovou strukturu solu, ale jeho rozklad JSJ jej rozřízne podél jednoho torusu, aby vytvořil produkt torusu a jednotkového intervalu, a jeho vnitřek nemá žádnou konečnou objemovou geometrickou strukturu.)

U neorientovaných potrubí je nejjednodušší způsob, jak uvést geometrizační domněnku, nejprve vzít orientovaný dvojitý kryt. Je také možné pracovat přímo s neorientovatelnými rozdělovači, což však přináší některé další komplikace: může být nutné řezat podél projektivních rovin a Kleinových lahví, stejně jako koulí a tori, a rozdělovače s hraniční složkou projektivní roviny obvykle nemají žádné geometrická struktura.

Ve 2 dimenzích analogické tvrzení říká, že každý povrch (bez ohraničení) má geometrickou strukturu skládající se z metriky s konstantním zakřivením; není nutné nejprve rozřezat potrubí.

Osm Thurstonových geometrií

A geometrie modelu je jednoduše spojené hladké potrubí X společně s tranzitivní akcí a Lež skupina G na X s kompaktními stabilizátory.

Volá se geometrie modelu maximální -li G je maximální mezi skupinami jednajícími plynule a přechodně X s kompaktními stabilizátory. Někdy je tato podmínka zahrnuta do definice geometrie modelu.

A geometrická struktura na potrubí M je difeomorfismus od M na X/ Γ pro nějakou geometrii modelu X, kde Γ je diskrétní podskupina G svobodně jednat X ; toto je speciální případ úplného (G, X) struktura. Pokud dané potrubí připouští geometrickou strukturu, pak připouští takové, jehož model je maximální.

Geometrie trojrozměrného modelu X je relevantní pro domněnku geometrizace, pokud je maximální a pokud existuje alespoň jedno kompaktní potrubí s geometrickou strukturou modelovanou na X. Thurston klasifikoval 8 modelových geometrií splňujících tyto podmínky; jsou uvedeny níže a někdy se jim říká Thurstonovy geometrie. (Existuje také nespočetně mnoho geometrií modelu bez kompaktních kvocientů.)

Existuje určitá souvislost s Bianchi skupiny: trojrozměrné Lieovy skupiny. Většina Thurstonových geometrií může být realizována jako levá invariantní metrika ve skupině Bianchi. nicméně S² × R nemůže být, euklidovský prostor odpovídá dvěma různým Bianchiho skupinám a existuje nespočetné množství řešitelných neimodulárních Bianchiho skupin, z nichž většina dává modelové geometrie bez kompaktních zástupců.

Sférická geometrie S³

Bodový stabilizátor je O (3, R) a skupina G je 6-dimenzionální Lieova skupina O (4, R), se 2 složkami. Odpovídající potrubí jsou přesně uzavřená 3 potrubí s konečnou základní skupinou. Mezi příklady patří 3 koule, Poincarého homologie koule, Prostory objektivu. Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupina typu IX. Rozdělovače s touto geometrií jsou kompaktní, orientovatelné a mají strukturu a Seifertův vláknový prostor (často několika způsoby). Úplný seznam takových potrubí je uveden v článku na Sférické 3-potrubí. Pod Ricciho průtokové potrubí s touto geometrií se zhroutí do bodu v konečném čase.

Euklidovská geometrie E³

Bodový stabilizátor je O (3, R) a skupina G je 6-dimenzionální Lieova skupina R³ × O (3, R), se 2 složkami. Příklady jsou 3-torus a obecněji mapování torusu automatorfismu konečného řádu 2-torusu; vidět svazek torus. Existuje přesně 10 konečných uzavřených 3-potrubí s touto geometrií, 6 orientovatelných a 4 neorientovatelných. Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupiny typu I nebo VII₀. Konečná objemová potrubí s touto geometrií jsou kompaktní a mají strukturu a Seifertův vláknový prostor (někdy dvěma způsoby). Úplný seznam takových potrubí je uveden v článku na Seifert vláknové prostory. Pod Ricciho průtokové potrubí s euklidovskou geometrií zůstávají neměnné.

Hyperbolická geometrie H³

Bodový stabilizátor je O (3, R) a skupina G je 6-dimenzionální Lieova skupina O⁺(1, 3, R), se 2 složkami. Existuje obrovské množství příkladů a jejich klasifikace není zcela pochopena. Příklad s nejmenším objemem je Počet týdnů. Další příklady uvádí Seifert – Weberův prostor, nebo „dostatečně komplikovaný“ Dehnovy operace na odkazech nebo na většině Haken potrubí. Geometrizační domněnka znamená, že uzavřený 3-potrubí je hyperbolický právě tehdy, je-li neredukovatelný, atoroidní, a má nekonečnou základní skupinu. Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupina typu V. V části Ricci se rozšiřují rozdělovače toku s hyperbolickou geometrií.

Geometrie S.² × R.

Bodový stabilizátor je O (2, R) × Z/2Za skupina G je O (3, R) × R × Z/2Z, se 4 složkami. Čtyři konečná objemová potrubí s touto geometrií jsou: S² × S¹, mapovací torus antipodové mapy S², propojený součet dvou kopií trojrozměrného projektivního prostoru a součin S¹ s dvourozměrným projektivním prostorem. První dva jsou mapování tori mapy identity a antipodové mapy 2-sféry a jsou jedinými příklady 3-variet, které jsou primární, ale ne neredukovatelné. Třetí je jediný příklad netriviálního spojeného součtu s geometrickou strukturou. Toto je jediná geometrie modelu, kterou nelze realizovat jako levou invariantní metriku na trojrozměrné Lieově skupině. Konečná objemová potrubí s touto geometrií jsou kompaktní a mají strukturu a Seifertův vláknový prostor (často několika způsoby). Za normalizovaných Ricciho průtokových potrubí s touto geometrií konverguje k 1-dimenzionálnímu potrubí.

Geometrie H² × R.

Bodový stabilizátor je O (2, R) × Z/2Za skupina G je O.⁺(1, 2, R) × R × Z/2Z, se 4 složkami. Mezi příklady patří produkt a hyperbolický povrch s kruhem nebo obecněji s mapovacím torusem izometrie hyperbolického povrchu. Konečná objemová potrubí s touto geometrií mají strukturu a Seifertův vláknový prostor pokud jsou orientovatelné. (Pokud nejsou orientovatelné, přirozená fibrace kruhy nemusí být nutně Seifertovou fibrací: problém spočívá v tom, že některá vlákna mohou „obrácenou orientaci“; jinými slovy jejich okolí vypadají spíše jako vláknité pevné Kleinovy ​​lahve než pevné tori.^[1]) Klasifikace takových (orientovaných) potrubí je uvedena v článku o Seifert vláknové prostory. Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupina typu III. Za normalizovaných průtokových potrubí Ricci s touto geometrií konverguje k 2-dimenzionálnímu potrubí.

Geometrie univerzálního krytu SL (2, „R“)

The univerzální kryt z SL (2, R) je označen ${ displaystyle { widetilde { rm {SL}}} (2, mathbf {R})}$. Vlákna H². Skupina G má 2 komponenty. Jeho složka identity má strukturu ${ displaystyle ( mathbf {R} times { widetilde { rm {SL}}} _ {2} ( mathbf {R})) / mathbf {Z}}$. Bodový stabilizátor je O (2,R).

Mezi příklady těchto potrubí patří: potrubí jednotkových vektorů tečného svazku hyperbolického povrchu a obecněji Brieskornské homologické koule (s výjimkou 3-koule a Poincare dodekahedrální prostor ). Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupina typu VIII. Konečné objemové rozdělovače s touto geometrií jsou orientovatelné a mají strukturu a Seifertův vláknový prostor. Klasifikace těchto potrubí je uvedena v článku o Seifert vláknové prostory. Za normalizovaných Ricciho průtokových potrubí s touto geometrií se sbíhají do 2-dimenzionálního potrubí.

Žádná geometrie

Toto vlákno přes E², a je geometrie Skupina Heisenberg. Bodový stabilizátor je O (2, R). Skupina G má 2 komponenty a je polopřímým produktem trojrozměrné skupiny Heisenberg skupinou O (2, R) izometrií kruhu. Kompaktní rozdělovače s touto geometrií zahrnují mapovací torus a Dehn twist 2-torusu nebo kvocient Heisenbergovy skupiny „integrální Heisenbergovou skupinou“. Tuto geometrii lze modelovat jako levou invariantní metriku na Bianchi skupina typu II. Konečné objemové rozdělovače s touto geometrií jsou kompaktní a orientovatelné a mají strukturu a Seifertův vláknový prostor. Klasifikace takových potrubí je uvedena v článku o Seifert vláknové prostory. Za normalizovaného Ricciho toku se sbíhají kompaktní potrubí s touto geometrií R² s plochou metrikou.

Geometrie solu

Tato geometrie (nazývaná také Solv geometrie) vlákna přes čáru s vláknem v rovině a je to geometrie složky identity skupiny G. Bodový stabilizátor je vzepětí skupina řádu 8. Skupina G má 8 komponent a je to skupina map z 2rozměrného Minkowského prostoru pro sebe, které jsou buď izometrií, nebo vynásobí metriku −1. Komponenta identity má normální podskupinu R² s kvocientem R, kde R jedná R² s 2 (skutečnými) vlastními prostory, s odlišnými skutečnými vlastními hodnotami produktu 1. Toto je Bianchi skupina typu VI₀ a geometrii lze v této skupině modelovat jako levou invariantní metriku. Všechny rozdělovače konečných objemů s geometrií solv jsou kompaktní. Kompaktní rozdělovače s geometrií solv jsou buď mapování torusu z Mapa Anosov 2-torusu (automorfismus 2-torusu daný inverzní maticí 2 x 2, jejíž vlastní čísla jsou skutečná a odlišná, jako například ${ displaystyle left ({ begin {array} {* {20} c} 2 & 1 1 & 1 end {array}} right)}$nebo jejich podíly podle skupin řádů nejvýše 8. Vlastní čísla automorfismu torusu generují řád skutečného kvadratického pole a solvátová potrubí lze v zásadě klasifikovat z hlediska jednotek a ideálních tříd tohoto řádu , i když se zdá, že podrobnosti nejsou nikde zapisovány. Za normálních průtokových kompaktních potrubí Ricci s touto geometrií konverguje (spíše pomalu) k R¹.

Jedinečnost

Uzavřený 3-potrubí má geometrickou strukturu nejvýše jednoho z 8 typů výše, ale nekompaktní 3-potrubí s konečným objemem mohou příležitostně mít více než jeden typ geometrické struktury. (Přesto může mít různá potrubí mnoho různých geometrických struktur stejného typu; například povrch rodu alespoň 2 má kontinuum různých hyperbolických metrik.) Přesněji, pokud M je potrubí s konečnou objemovou geometrickou strukturou, pak je typ geometrické struktury téměř určen následujícím způsobem, pokud jde o základní skupinu π₁(M):

• Pokud π₁(M) je konečný, pak je zapnuta geometrická struktura M je sférický a M je kompaktní.
• Pokud π₁(M) je prakticky cyklický, ale není konečný, než je geometrická struktura M je S²×R, a M je kompaktní.
• Pokud π₁(M) je v podstatě abelian, ale ne prakticky cyklický, než je geometrická struktura M je euklidovský a M je kompaktní.
• Pokud π₁(M) je prakticky nilpotentní, ale není prakticky abelianský než geometrická struktura M je nulová geometrie a M je kompaktní.
• Pokud π₁(M) je prakticky řešitelný, ale není prakticky nilpotentní než geometrická struktura M je geometrie solvátu a M je kompaktní.
• Pokud π₁(M) má nekonečnou normální cyklickou podskupinu, ale není prakticky řešitelná než geometrická struktura M je buď H²×R nebo univerzální kryt SL (2, R). Rozdělovač M mohou být kompaktní nebo nekompaktní. Pokud je kompaktní, pak lze rozlišit 2 geometrie podle toho, zda π₁(M) má konečnou hodnotu index podskupina, která se rozděluje jako polopřímý produkt normální cyklické podskupiny a něco jiného. Pokud je rozdělovač nekompaktní, potom základní skupina nemůže rozlišit dvě geometrie a existují příklady (jako je doplněk trojlístkového uzlu), kde rozdělovač může mít konečnou objemovou geometrickou strukturu obou typů.
• Pokud π₁(M) nemá nekonečnou normální cyklickou podskupinu a není prakticky řešitelná než geometrická struktura M je hyperbolický a M mohou být kompaktní nebo nekompaktní.

Nekonečný objem potrubí může mít mnoho různých typů geometrické struktury: například R³ může mít 6 z různých geometrických struktur uvedených výše, protože 6 z 8 geometrií modelu je pro ni homeomorfních. Navíc, pokud objem nemusí být konečný, existuje nekonečné množství nových geometrických struktur bez kompaktních modelů; například geometrie téměř jakékoli unimodulární 3-dimenzionální Lieovy skupiny.

Existuje více než jeden způsob, jak rozložit uzavřený 3-rozdělovač na kousky s geometrickými strukturami. Například:

• Vezmeme spojené částky s několika kopiemi S³ nemění potrubí.
• Spojený součet dvou projektivních 3prostorů má a S²×R geometrie a je také spojeným součtem dvou kusů s S³ geometrie.
• Produkt povrchu negativního zakřivení a kruhu má geometrickou strukturu, ale může být také řezán podél tori za vzniku menších kousků, které mají také geometrické struktury. Existuje mnoho podobných příkladů pro vláknové prostory Seifert.

Je možné zvolit „kanonický“ rozklad na kusy s geometrickou strukturou, například tak, že rozdělovač nejprve rozřezáte na primární kusy minimálním způsobem a poté je rozřezáte pomocí co nejmenšího počtu tori. Tento minimální rozklad však není nutně ten, který produkuje Ricciho tok; ve skutečnosti může Ricciho tok rozdělit potrubí na geometrické kousky mnoha nerovnocennými způsoby, v závislosti na volbě počáteční metriky.

Dějiny

The Fields Medal byl Thurstonovi udělen v roce 1982 částečně za důkaz domněnky o geometrizaci pro Haken potrubí.

Případ 3-rozdělovače, který by měl být kulovitý, byl pomalejší, ale poskytoval potřebnou jiskru Richard S. Hamilton rozvíjet jeho Ricciho tok. V roce 1982 Hamilton ukázal, že vzhledem k uzavřenému 3-potrubí s metrikou pozitivního Ricciho zakřivení, Ricciho tok by v konečném čase zhroutil potrubí do bodu, což dokazuje domněnku o geometrizaci pro tento případ, protože metrika se těsně před kolapsem „téměř zaokrouhlí“. Později vyvinul program k prokázání geometrizační domněnky Ricciho tok s operací. Myšlenka je, že tok Ricci bude obecně produkovat singularity, ale člověk může být schopen pokračovat v toku Ricci kolem singularity pomocí chirurgického zákroku ke změně topologie potrubí. Zhruba řečeno, tok Ricci smršťuje oblasti pozitivního zakřivení a rozšiřuje oblasti záporného zakřivení, takže by měl zabíjet části rozdělovače pomocí geometrií „pozitivního zakřivení“ S³ a S² × R, zatímco to, co zbylo ve velkých dobách, by mělo mít a hustý-tenký rozklad do „tlustého“ kusu s hyperbolickou geometrií a „tenkého“ graf potrubí.

V roce 2003 Grigori Perelman načrtl důkaz geometrizační domněnky tím, že ukázal, že Ricciho tok může skutečně pokračovat za singularitami a má chování popsané výše. Hlavním problémem při ověřování Perelmanova důkazu o domněnce geometrizace bylo kritické použití jeho věty 7.4 v předtisku „Ricci Flow s chirurgickým zákrokem na třech varietách“. Tuto větu uvedl Perelman bez důkazu. Nyní existuje několik různých důkazů Perelmanovy věty 7.4 nebo jejich variant, které jsou dostatečné k prokázání geometrizace. Tam je papír Shioya a Yamaguchi, který používá Perelmanovu teorém o stabilitě a fibrační teorém pro Alexandrovovy prostory.^[2][3][4] Tuto metodu s úplnými podrobnostmi vedoucími k důkazu geometrizace najdete v expozici podle Bruce Kleiner a John Lott.^[5]

Druhou cestou k poslední části Perelmanova důkazu o geometrizaci je metoda Bessières et al.,^[6][7] který používá Thurstonovu hyperbolizační větu pro Hakenova potrubí a Gromovovu normu pro 3-potrubí.^[8][9] Evropská matematická společnost vydala knihu stejných autorů s úplnými podrobnostmi o jejich verzi důkazu.^[10]

Také obsahuje důkazy Perelmanovy věty 7.4, je tam papír Morgan a Tian,^[11] další příspěvek od Kleinera a Lotta,^[12] a papír od Jianguo Cao a Jian Ge.^[13]

Poznámky

Reference

• L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, svazek 13. Evropská matematická společnost, Curych, 2010. [1]
• M. Boileau Geometrizace 3-potrubí se symetrií
• F. Bonahon Geometrické struktury na 3 potrubích Příručka geometrické topologie (2002) Elsevier.
• Allen Hatcher: Poznámky k základní topologii se 3 potrubími 2000
• J. Isenberg, M. Jackson, Ricciho tok lokálně homogenních geometrií na Riemannově potrubíJ. Diff. Geom. 35 (1992) č. 3 723–741.
• G. Perelman, Entropický vzorec pro tok Ricci a jeho geometrické aplikace, 2002
• G. Perelman, Ricciho tok s chirurgickým zákrokem na třech potrubích, 2003
• G. Perelman, Konečný čas vyhynutí pro řešení toku Ricci na určitých třech potrubích, 2003
• Bruce Kleiner a John Lott, Poznámky k Perelmanovým dokumentům (Květen 2006) (vyplňuje podrobnosti Perelmanova důkazu o domněnce geometrizace).
• Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (červen 2006). „Kompletní důkaz domněnek Poincaré a Geometrization: Aplikace Hamilton-Perelmanovy teorie Ricciho toku“ (PDF ). Asian Journal of Mathematics. 10 (2): 165–498. doi:10.4310 / AJM.2006.v10.n2.a2. Citováno 2006-07-31.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Revidovaná verze (prosinec 2006): Hamilton-Perelmanův důkaz domněnky Poincaré a domněnky geometrizace
• John W. Morgan. Nedávný pokrok v domněnce Poincaré a klasifikace 3-variet. Bulletin Amer. Matematika. Soc. 42 (2005) č. 1, 57–78 (výkladový článek stručně vysvětluje osm geometrií a domněnku o geometrizaci a podává nástin Perelmanova důkazu o Poincarého domněnce)
• Morgan, John W .; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Průtok Ricci a geometrizace 3-potrubí. Série univerzitních přednášek. ISBN  978-0-8218-4963-7. Citováno 2010-09-26.
• Morgan, John W .; Tian, ​​Gang (2014), Geometrizační domněnka Clay Mathematics Monographs, 5Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-5201-9
• Scott, Peter Geometrie 3-potrubí. (errata ) Býk. London Math. Soc. 15 (1983), č. 1. 5, 401–487.
• Thurston, William P. (1982). „Trojrozměrná potrubí, Kleinianovy skupiny a hyperbolická geometrie“. Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada. 6 (3): 357–381. doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0. ISSN  0002-9904. PAN  0648524.CS1 maint: ref = harv (odkaz) To dává původní tvrzení domněnky.
• William Thurston. Trojrozměrná geometrie a topologie. Sv. 1. Upravil Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 stranISBN  0-691-08304-5 (hloubkové vysvětlení osmi geometrií a důkaz, že jich je jen osm)
• William Thurston. Geometrie a topologie tří potrubí „1980 Princetonské přednášky o geometrických strukturách na 3-varietách.

externí odkazy

• „The Geometry of 3-Manifolds (video)“. Archivovány od originál 27. ledna 2010. Citováno 20. ledna 2010. Veřejná přednáška o domněnkách Poincaré a geometrizace, kterou uvedl C. McMullen na Harvardu v roce 2006.