Myersova věta - Myerss theorem - Wikipedia
Myersova věta, také známý jako Věta Bonnet – Myers, je oslavovaná základní věta v matematické oblasti Riemannova geometrie. Objevil jej Sumner Byron Myers v roce 1941. Tvrdí následující:
Nechat být úplným riemannovským varietou dimenze jehož Ricciho zakřivení vyhovuje pro nějaké kladné reálné číslo Pak jakékoli dva body M mohou být spojeny geodetickým segmentem délky .
Ve zvláštním případě povrchů tento výsledek prokázal Ossian Bonnet v roce 1855. Pro povrch jsou Gaussova, průřezová a Ricciho křivka stejná, ale Bonnetův důkaz se snadno zobecní na vyšší dimenze, pokud se předpokládá pozitivní dolní mez na řezové zakřivení. Klíčovým příspěvkem Myerse proto bylo ukázat, že k dosažení stejného závěru je zapotřebí pouze dolní hranice Ricci.
Dodatky
Závěr věty říká zejména, že průměr je konečný. Hopf-Rinowova věta to tedy naznačuje musí být kompaktní, jako uzavřená (a tedy kompaktní) koule o poloměru v jakémkoli tangenciálním prostoru se přenáší na všechny exponenciální mapou.
Jako velmi konkrétní případ to ukazuje, že každé úplné a nekompaktní hladké Riemannovo potrubí, kterým je Einstein, musí mít nepozitivní Einsteinovu konstantu.
Zvažte hladkou univerzální krycí mapu π: N→M. Lze uvažovat o Riemannově metrice π*G na N. Od té doby π je lokální difeomorfismus, Myersova věta platí pro Riemannovu varietu (N, π*G) a tudíž N je kompaktní. To znamená, že základní skupina M je konečný.
Věta o tuhosti Chengova průměru
Závěr Myersovy věty říká, že pro všechny p a q v M, jeden má dG(p,q) ≤ π/√k. V roce 1975 Shiu-Yuen Cheng dokázal:
Nechat (M, G) být úplným a hladkým riemannovským varietou dimenze n. Li k je kladné číslo s RicG ≥ (n-1)k, a pokud existuje p a q v M s dG(p,q) = π/√k, pak (M,G) je jednoduše připojen a má konstantní řezové zakřivení k.
Viz také
Reference
- Ambrose, W. Věta o Myersovi. Vévoda Math. J. 24 (1957), 345–348.
- Cheng, Shiu Yuen (1975), „Věty o porovnávání vlastních čísel a jejich geometrické aplikace“, Mathematische Zeitschrift, 143 (3): 289–297, doi:10.1007 / BF01214381, ISSN 0025-5874, PAN 0378001
- do Carmo, M. P. (1992), Riemannova geometrie, Boston, Massachusetts: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
- Myers, S. B. (1941), „Riemannovy variety s kladným průměrným zakřivením“, Duke Mathematical Journal, 8 (2): 401–404, doi:10.1215 / S0012-7094-41-00832-3