První základní forma - First fundamental form

v diferenciální geometrie, první základní forma je vnitřní produkt na tečný prostor a povrch v trojrozměrném Euklidovský prostor který je indukován kanonicky z Tečkovaný produkt z R³. Umožňuje výpočet zakřivení a metrické vlastnosti povrchu, jako je délka a plocha, způsobem konzistentním s okolní prostor. První základní forma je označena římskou číslicí Já,

${ displaystyle mathrm {I} (x, y) = langle x, y rangle.}$

Nechat X(u, proti) být parametrický povrch. Pak vnitřní produkt dvou tečné vektory je

${ displaystyle { begin {aligned} & {} quad mathrm {I} (aX_ {u} + bX_ {v}, cX_ {u} + dX_ {v}) & = ac langle X_ {u }, X_ {u} rangle + (ad + bc) langle X_ {u}, X_ {v} rangle + bd langle X_ {v}, X_ {v} rangle & = Eac + F ( reklama + bc) + Gbd, end {zarovnáno}}}$

kde E, F, a G jsou koeficienty první základní formy.

První základní forma může být reprezentována jako a symetrická matice.

${ displaystyle mathrm {I} (x, y) = x ^ { mathsf {T}} { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} y}$

Další notace

Když je první základní forma napsána pouze s jedním argumentem, označuje vnitřní produkt tohoto vektoru sám se sebou.

${ displaystyle mathrm {I} (v) = langle v, v rangle = | v | ^ {2}}$

První základní forma je často psána v moderní notaci metrický tenzor. Koeficienty pak mohou být zapsány jako G_ij:

${ displaystyle left (g_ {ij} right) = { begin {pmatrix} g_ {11} & g_ {12} g_ {21} & g_ {22} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix } E&F F&G end {pmatrix}}}$

Složky tohoto tenzoru se počítají jako skalární součin tečných vektorů X₁ a X₂:

${ displaystyle g_ {ij} = X_ {i} cdot X_ {j}}$

pro i, j = 1, 2. Viz příklad níže.

Výpočet délek a ploch

První základní forma zcela popisuje metrické vlastnosti povrchu. Umožňuje tedy vypočítat délky křivek na povrchu a oblasti oblastí na povrchu. The prvek čáry ds lze vyjádřit pomocí koeficientů první základní formy jako

${ displaystyle ds ^ {2} = E , du ^ {2} + 2F , du , dv + G , dv ^ {2} ,.}$

Klasický plošný prvek daný dA = |X_u × X_proti| du dv lze vyjádřit pomocí první základní formy s pomocí Lagrangeova identita,

${ displaystyle dA = | X_ {u} krát X_ {v} | du , dv = { sqrt { langle X_ {u}, X_ {u} rangle langle X_ {v}, X_ {v } rangle - left langle X_ {u}, X_ {v} right rangle ^ {2}}} , du , dv = { sqrt {EG-F ^ {2}}} du , dv.}$

Příklad

Jednotka koule v R³ lze parametrizovat jako

${ displaystyle X (u, v) = { začátek {pmatrix} cos u sin v sin u sin v cos v end {pmatrix}}, (u, v) v [0,2 pi) krát [0, pi].}$

Diferenciace X(u,proti) s ohledem na u a proti výnosy

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X_ {u} & = { begin {pmatrix} - sin u sin v cos u sin v 0 end {pmatrix}}, X_ { v} & = { begin {pmatrix} cos u cos v sin u cos v - sin v end {pmatrix}}. end {zarovnáno}}}$

Koeficienty první základní formy lze zjistit tak, že vezmeme tečkový součin z částečné derivace.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} E & = X_ {u} cdot X_ {u} = sin ^ {2} v F & = X_ {u} cdot X_ {v} = 0 G & = X_ {v} cdot X_ {v} = 1 konec {zarovnáno}}}$

tak:

${ displaystyle { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} sin ^ {2} v & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$

Délka křivky na kouli

The rovník koule je parametrizovaná křivka daná vztahem

${ displaystyle (u (t), v (t)) = (t, { tfrac { pi} {2}})}$

s t v rozmezí od 0 do 2π. Prvek čáry lze použít k výpočtu délky této křivky.

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { sqrt {E left ({ frac {du} {dt}} right) ^ {2} + 2F { frac {du} {dt }} { frac {dv} {dt}} + G vlevo ({ frac {dv} {dt}} vpravo) ^ {2}}} , dt = int _ {0} ^ {2 pi} | sin v | , dt = 2 pi sin { tfrac { pi} {2}} = 2 pi}$

Oblast oblasti na sféře

Plošný prvek lze použít k výpočtu plochy koule.

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {2 pi} { sqrt {EG-F ^ {2}}} du , dv = int _ {0 } ^ { pi} int _ {0} ^ {2 pi} sin v , du , dv = 2 pi left [- cos v right] _ {0} ^ { pi} = 4 pi}$

Gaussovo zakřivení

The Gaussovo zakřivení povrchu je dáno

${ displaystyle K = { frac { det mathrm {I ! I}} { det mathrm {I}}} = { frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2 }}},}$

kde L, M, a N jsou koeficienty druhá základní forma.

Věta egregium z Gauss uvádí, že Gaussovo zakřivení povrchu lze vyjádřit pouze pomocí první základní formy a jejích derivací, takže K. je ve skutečnosti vnitřní invariant povrchu. Explicitní výraz pro Gaussovo zakřivení z hlediska první základní formy poskytuje Brioschi vzorec.

Viz také

• Metrický tenzor
• Druhá základní forma
• Třetí základní forma
• Tautologická jedna forma

externí odkazy

• První základní forma - od Wolfram MathWorld