Normální souřadnice - Normal coordinates

v diferenciální geometrie, normální souřadnice v určitém okamžiku str v diferencovatelné potrubí vybaven a symetrický afinní spojení plocha lokální souřadnicový systém v sousedství z str získané použitím exponenciální mapa do tečný prostor na str. V normálním souřadném systému je Christoffel symboly spojení zmizelo v bodě str, což často zjednodušuje místní výpočty. V normálních souřadnicích přidružených k Připojení Levi-Civita a Riemannovo potrubí, lze navíc zajistit, aby metrický tenzor je Kroneckerova delta na místě str, a to první částečné derivace metriky v str zmizet.

Základní výsledek diferenciální geometrie uvádí, že normální souřadnice v bodě vždy existují na potrubí se symetrickým afinním spojením. V takových souřadnicích se kovariantní derivace redukuje na částečnou derivaci (at str pouze) a geodetika až do str jsou lokálně lineární funkce t (afinní parametr). Tuto myšlenku zásadním způsobem provedl Albert Einstein v obecná teorie relativity: princip ekvivalence používá normální souřadnice přes setrvačné rámy. Normální souřadnice vždy existují pro spojení Levi-Civita Riemannova nebo Pseudo-Riemannian potrubí. Naproti tomu obecně neexistuje způsob, jak definovat normální souřadnice pro Finsler potrubí způsobem, že exponenciální mapa je dvakrát diferencovatelná (Busemann 1955 ).

Normální geodetické souřadnice

Normální geodetické souřadnice jsou lokální souřadnice na potrubí s afinním spojením definovaným pomocí exponenciální mapa

${displaystyle exp _ {p}: T_ {p} Msupset Vightarrow M}$

a izomorfismus

${displaystyle E: mathbb {R} ^ {n} ightarrow T_ {p} M}$

dané kýmkoli základ tečného prostoru v pevném základním bodě str ∈ M. Pokud je zavedena další struktura Riemannovy metriky, pak základ definuje E může být vyžadováno navíc k ortonormální a výsledný souřadnicový systém je pak známý jako a Riemannův normální souřadnicový systém.

Normální souřadnice existují na normálním sousedství bodu str v M. A normální sousedství U je podmnožinou M tak, aby existovalo správné sousedství PROTI původu v tečný prostor T_strMa exp_str působí jako difeomorfismus mezi U a PROTI. V normálním sousedství U z str v M, graf je dán vztahem:

${displaystyle varphi: = E ^ {- 1} cirkus exp _ {p} ^ {- 1}: Uightarrow mathbb {R} ^ {n}}$

Izomorfismus E může to být jakýkoli izomorfismus mezi dvěma vektorovými prostory, takže existuje tolik grafů, kolik je různých ortonormálních bází v doméně E.

Vlastnosti

Vlastnosti normálních souřadnic často zjednodušují výpočty. V následujícím předpokládejme, že ${displaystyle U}$ je normální sousedství se středem v bodě ${displaystyle p}$ v ${displaystyle M}$ a ${displaystyle x ^ {i}}$ jsou normální souřadnice na ${displaystyle U}$ .

Nechat ${displaystyle V}$ být nějaký vektor z ${displaystyle T_ {p} M}$ s komponenty ${displaystyle V ^ {i}}$ v místních souřadnicích a ${displaystyle gamma _ {V}}$ být geodetické na ${displaystyle t = 0}$ projít bodem ${displaystyle p}$ s vektorem rychlosti ${displaystyle V}$ , pak ${displaystyle gamma _ {V}}$ je reprezentován v normálních souřadnicích znakem ${displaystyle gamma _ {V} (t) = (tV ^ {1}, ..., tV ^ {n})}$ pokud je v ${displaystyle U}$ .
Souřadnice bodu ${displaystyle p}$ jsou ${displaystyle (0, ..., 0)}$
V Riemannovských normálních souřadnicích v bodě ${displaystyle p}$ součásti Riemannova metrika ${displaystyle g_ {ij}}$ zjednodušit na ${displaystyle delta _ {ij}}$ , tj., ${displaystyle g_ {ij} (p) = delta _ {ij}}$ .
The Christoffel symboly zmizet v ${displaystyle p}$ , tj., ${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} (p) = 0}$ . V Riemannově případě také první parciální derivace ${displaystyle g_ {ij}}$ , tj., ${displaystyle {frac {částečné g_ {ij}} {částečné x ^ {k}}} (p) = 0,, forall i, j, k}$ .

Explicitní vzorce

V sousedství libovolného bodu ${displaystyle p = (0, ldots 0)}$ vybavené místně ortonormálním souřadným systémem, ve kterém ${displaystyle g_ {mu u} (0) = delta _ {mu u}}$ a Riemannův tenzor v ${displaystyle p}$ bere hodnotu ${displaystyle R_ {mu sigma u au} (0)}$ můžeme upravit souřadnice ${displaystyle x ^ {mu}}$ takže komponenty metrického tenzoru od ${displaystyle p}$ stát se

${displaystyle g_ {mu u} (x) = delta _ {mu u} - {frac {1} {3}} R_ {mu sigma u au} (0) x ^ {sigma} x ^ {au} + O ( | x | ^ {3}).}$

Odpovídající symboly Levi-Civita Christoffel jsou

${displaystyle {Gamma ^ {lambda}} _ {mu u} (x) = - {frac {1} {3}} (R_ {lambda u mu au} (0) + R_ {lambda mu u au} (0) ) x ^ {au} + O (| x | ^ {2}).}$

Podobně můžeme postavit lokální coframes, ve kterých

${displaystyle e_ {mu} ^ {* a} (x) = delta _ {amu} - {frac {1} {6}} R_ {asigma mu au} (0) x ^ {sigma} x ^ {au} + O (x ^ {2}),}$

a koeficienty spin-připojení nabývají hodnot

${displaystyle {omega ^ {a}} _ {bmu} (x) = - {frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {bmu au} (0) x ^ {au} + O ( | x | ^ {2}).}$

Polární souřadnice

Na Riemannově potrubí normální systém souřadnic v str usnadňuje zavedení systému sférické souřadnice, známý jako polární souřadnice. Toto jsou souřadnice na M získáno zavedením standardního sférického souřadného systému v euklidovském prostoru T_strM. To znamená, že jeden představuje T_strM standardní sférický souřadný systém (r, φ) kde r ≥ 0 je radiální parametr a φ = (φ₁, ..., φ_n−1) je parametrizace (n-1) koule. Složení (r, φ) s inverzní funkcí exponenciální mapy v str je polární souřadnicový systém.

Polární souřadnice poskytují v Riemannově geometrii řadu základních nástrojů. Nejvýznamnější je radiální souřadnice: geometricky představuje geodetickou vzdálenost str blízkých bodů. Gaussovo lema tvrdí, že spád z r je prostě parciální derivace ${displaystyle částečný / částečný r}$ . To znamená

{displaystyle langle df, drangle = {frac {částečné f} {částečné r}}}

pro jakoukoli hladkou funkci ƒ. Výsledkem je, že metrika v polárních souřadnicích předpokládá a úhlopříčka bloku formulář

{displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & cdots 0 0 && vdots && g_ {phi phi} (r, phi) 0 && end {bmatrix}}.}

Reference

Busemann, Herbert (1955), „O normálních souřadnicích ve Finslerových prostorech“, Mathematische Annalen, 129: 417–423, doi:10.1007 / BF01362381, ISSN 0025-5831, PAN 0071075.
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie, Sv. 1 (nové vydání), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
Chern, S. S .; Chen, W. H .; Lam, K. S .; Přednášky o diferenciální geometrii, World Scientific, 2000