Věta o rozdělení - Splitting theorem

The teorém o rozdělení je klasická věta v Riemannova geometrie. Uvádí se, že pokud je úplná Riemannovo potrubí M s Ricciho zakřivení

{ displaystyle { rm {Ric}} (M) geq 0}

má přímku, tj. a geodetické γ takový, že

{ displaystyle d ( gamma (u), gamma (v)) = | u-v |}

pro všechny

{ displaystyle u, v in mathbb {R},}

pak je izometrický k produktovému prostoru

{ displaystyle mathbb {R} krát L,}

kde ${ displaystyle L}$ je Riemannovo potrubí s

{ displaystyle { rm {Ric}} (L) geq 0.}

Dějiny

U povrchů byla věta prokázána Stefan Cohn-Vossen.^[1]Victor Andreevich Toponogov zobecnil na různá potrubí s nezápornými řezové zakřivení.^[2]Jeff Cheeger a Detlef Gromoll prokázal, že nezáporné Ricciho zakřivení je dostatečné.

Později byla štípací věta rozšířena na Lorentzian potrubí s nezáporným Ricciho zakřivením v časových směrech.^[3]^[4]^[5]

^ Cohn-Vossen, S. (1936). „Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken“. Матем. сб. 1. 43 (2): 139–164.
^ Toponogov, V. A. (1959). "Riemannovy prostory obsahující přímky". Dokl. Akad. Nauk SSSR (v Rusku). 127: 977–979.
^ Eschenburg, J.-H. (1988). „Věta o rozdělení pro časoprostor se silnou energetickou kondicí“. J. Diferenciální Geom. 27 (3): 477–491. doi:10.4310 / jdg / 1214442005.
^ Galloway, Gregory J. (1989). „Lorentzianova věta o rozdělení bez předpokladu úplnosti“. J. Diferenciální Geom. 29 (2): 373–387. doi:10.4310 / jdg / 1214442881.
^ Newman, Richard P. A. C. (1990). „Důkaz rozštěpené domněnky S.-T. Yau“. J. Diferenciální Geom. 31 (1): 163–184. doi:10,4310 / jdg / 1214444093.

Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1971). „Věta o rozdělení pro různá potrubí nezáporného Ricciho zakřivení“. Journal of Differential Geometry. 6 (1): 119–128. doi:10.4310 / jdg / 1214430220. PAN 0303460.
Toponogov, V. A. (1959). "Riemannovy prostory se zakřivením ohraničeným níže". Uspekhi Mat. Nauk (v Rusku). 14 (1): 87–130. PAN 0103510.