Hlavní zakřivení - Principal curvature

Sedlový povrch s normálními rovinami ve směrech hlavních zakřivení

v diferenciální geometrie, dva hlavní zakřivení v daném bodě a povrch jsou vlastní čísla z operátor tvaru na místě. Měří, jak se povrch v daném bodě ohýbá různými množstvími v různých směrech.

Diskuse

V každém bodě str a rozlišitelný povrch v trojrozměrném Euklidovský prostor jeden si může vybrat jednotku normální vektor. Normální letadlo v str je ten, který obsahuje normální vektor, a proto bude také obsahovat jedinečný směr tečný k povrchu a vyřízne povrch v rovinné křivce, tzv. normální sekce. Tato křivka se bude obecně lišit zakřivení pro různá normální letadla v str. The hlavní zakřivení na str, označeno k1 a k2, jsou maximální a minimální hodnoty tohoto zakřivení.

Zde je zakřivení křivky podle definice reciproční z poloměr z oscilační kruh. Zakřivení je považováno za kladné, pokud se křivka otáčí ve stejném směru jako je povrch zvolený normálně, a jinak záporně. Směry v normální rovině, kde zakřivení zaujímá své maximální a minimální hodnoty, jsou vždy kolmé, pokud k1 nerovná se k2, výsledek Euler (1760), a jsou voláni hlavní směry. Z moderního hlediska tato věta vyplývá z spektrální věta protože tyto směry jsou jako hlavní osy a symetrický tenzor —The druhá základní forma. Systematickou analýzu hlavních zakřivení a hlavních směrů provedl Gaston Darboux, použitím Rámy Darboux.

Produkt k1k2 ze dvou hlavních zakřivení je Gaussovo zakřivení, K.a průměr (k1 + k2) / 2 je střední zakřivení, H.

Pokud je alespoň jedno z hlavních zakřivení v každém bodě nulové, pak Gaussovo zakřivení bude 0 a povrch je a rozvinutelný povrch. Pro minimální povrch, střední zakřivení je v každém bodě nulové.

Formální definice

Nechat M být povrch v euklidovském prostoru s druhá základní forma . Opravte bod str∈Ma ortonormální základ X1, X2 tečných vektorů v str. Hlavní zakřivení jsou potom vlastní čísla symetrické matice

Li X1 a X2 jsou vybrány tak, aby matice je diagonální matice, pak se jim říká hlavní směry. Pokud je povrch orientované, pak jeden často vyžaduje, aby pár (X1, X2) být pozitivně orientovaní s ohledem na danou orientaci.

Bez odkazu na konkrétní ortonormální základ jsou hlavní zakřivení vlastní čísla z operátor tvaru, a hlavní směry jsou jeho vlastní vektory.

Zobecnění

Pro hyperplochy ve vyšších dimenzionálních euklidovských prostorech lze hlavní zakřivení definovat přímo analogickým způsobem. Hlavní zakřivení jsou vlastní čísla matice druhé základní formy v ortonormálním základě tečného prostoru. Hlavní směry jsou odpovídající vlastní vektory.

Podobně, pokud M je hyperplocha v a Riemannovo potrubí N, pak hlavní zakřivení jsou vlastní čísla jeho druhé základní formy. Li k1, ..., kn jsou n hlavní zakřivení v bodě str ∈ M a X1, ..., Xn jsou odpovídající orthonormální vlastní vektory (hlavní směry), pak řezové zakřivení z M na str darováno

pro všechny s .

Klasifikace bodů na povrchu

  • Na eliptický body, obě hlavní zakřivení mají stejné znaménko a povrch je lokálně konvexní.
    • Na pupeční body, obě hlavní zakřivení jsou stejná a každý tečný vektor lze považovat za hlavní směr. Ty se obvykle vyskytují v izolovaných bodech.
  • Na hyperbolický body, hlavní zakřivení mají opačná znaménka a povrch bude místně sedlovitý.
  • Na parabolický bodů, jedna z hlavních zakřivení je nulová. Parabolické body obecně leží v křivce oddělující eliptické a hyperbolické oblasti.
    • Na ploché pupeční body jsou obě hlavní zakřivení nulové. Obecný povrch nebude obsahovat ploché pupeční body. The opičí sedlo je jeden povrch s izolovaným plochým pupečníkem.
Třídy povrchových bodů[1]
k1 > 0k1 = 0k1 < 0
k2 > 0Konkávní elipsoidKonkávní válecHyperboloidní povrch
k2 = 0Konkávní válecLetadloKonvexní válec
k2 < 0Hyperboloidní povrchKonvexní válecKonvexní elipsoid

Čára zakřivení

The křivky zakřivení nebo křivky zakřivení jsou křivky, které jsou vždy tečny k hlavnímu směru (jsou integrální křivky pro hlavní směrová pole). Každý non-umbilický bod bude mít dvě čáry zakřivení a čáry se budou protínat v pravých úhlech.

V blízkosti pupečníku tvoří čáry zakřivení obvykle jednu ze tří konfigurací hvězda, citrón a monstar (odvozený od citronová hvězda).[2] Tyto body se také nazývají Darbouxian Umbilics, na počest Gaston Darboux, první, kdo systematicky studoval ve sv. 4, s. 455, jeho Leçons (1896).

  • Konfigurace linií zakřivení poblíž pupku

  • Citrón

  • Monstar

  • Hvězda

Na těchto obrázcích jsou červené křivky liniemi zakřivení pro jednu rodinu hlavních směrů a modré křivky pro druhou.

Pokud má křivka lokálního extrému stejné hlavní křivosti, má křivka a hřebenový bod. Tyto hřebenové body tvoří křivky na povrchu zvaném hřebeny. Hřebenové křivky procházejí pupečníkem. U hvězdného vzoru prochází pupečníkem buď 3 nebo 1 hřebenová linie, u monstar a citronu pouze jeden hřeben.[3]

Aplikace

Hlavní směry zakřivení spolu s normou povrchu definujte 3D orientační rámeček v bodě povrchu. Například v případě válcového povrchu, fyzickým dotykem nebo vizuálním pozorováním, víme, že podél jednoho konkrétního směru je povrch plochý (rovnoběžný s osou válce), a proto si všimněte orientace povrchu. Implikace takového orientačního rámečku v každém bodě povrchu znamená, že jakoukoli rotaci povrchů v čase lze určit jednoduše zvážením změny v příslušných orientačních rámečcích. To vedlo k odhadu pohybu jednoho segmentu a algoritmům segmentace v počítačovém vidění.[4]

Viz také

Reference

  1. ^ Zakřivení povrchu
  2. ^ Berry, M. V.; Hannay, J. H. (1977). "Pupeční body na Gaussových náhodných plochách". Journal of Physics A. 10 (11): 1809–21. Bibcode:1977JPhA ... 10.1809B. doi:10.1088/0305-4470/10/11/009.
  3. ^ Porteous, I. R. (1994). Geometrická diferenciace. Cambridge University Press. ISBN  0-521-39063-X.
  4. ^ Perera, S .; Barnes, N. (listopad 2013). „1bodový tuhý odhad pohybu a segmentace pomocí kamery RGB-D“. 2013 Mezinárodní konference o digitálním zpracování obrazu: Techniky a aplikace (DICTA): 1–8. doi:10.1109 / DICTA.2013.6691469. ISBN  978-1-4799-2126-3.

Další čtení

externí odkazy