Slabá formulace - Weak formulation

Slabé formulace jsou důleţité nástroje pro analýzu matematické rovnice které umožňují převod koncepty z lineární algebra řešit problémy v jiných oborech jako např parciální diferenciální rovnice. Ve slabé formulaci již není nutné, aby rovnice platila absolutně (a to není ani dobře definováno), a místo toho má slabá řešení pouze s ohledem na určité „testovací vektory“ nebo „testovací funkce ". To odpovídá formulaci problému vyžadujícího řešení ve smyslu a rozdělení.^{[Citace je zapotřebí ]}

Na několika příkladech představíme slabé formulace a představíme hlavní větu řešení, Věta Lax – Milgram. Věta je pojmenována po Peter Lax a Arthur Milgram, který to dokázal v roce 1954.

Obecný koncept

Nechat ${ displaystyle V}$ být Banachův prostor. Chceme najít řešení ${ displaystyle u ve V}$ rovnice

{ displaystyle Au = f}

,

kde ${ displaystyle A dvojtečka V až V '}$ a ${ displaystyle f ve V '}$ , s ${ displaystyle V '}$ být dvojí z ${ displaystyle V}$ .

To je ekvivalent hledání ${ displaystyle u ve V}$ takové pro všechny ${ displaystyle v ve V}$ drží:

{ displaystyle [Au] (v) = f (v)}

.

Tady voláme ${ displaystyle v}$ testovací vektor nebo testovací funkce.

Přinášíme to do obecné formy slabé formulace, konkrétně do nálezu ${ displaystyle u ve V}$ takhle

{ displaystyle a (u, v) = f (v) quad forall v in V,}

definováním bilineární forma

{ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}

Jelikož je to velmi abstraktní, následujme to několika příklady.

Příklad 1: Lineární soustava rovnic

Teď, pojďme ${ displaystyle V = mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle A: V až V}$ být lineárním mapováním. Potom slabá formulace rovnice

{ displaystyle Au = f}

zahrnuje hledání ${ displaystyle u ve V}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle v ve V}$ platí následující rovnice:

{ displaystyle langle Au, v rangle = langle f, v rangle,}

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ označuje vnitřní produkt.

Od té doby ${ displaystyle A}$ je lineární mapování, stačí testovat s bazickými vektory a dostaneme

{ displaystyle langle Au, e_ {i} rangle = langle f, e_ {i} rangle quad i = 1, ldots, n.}

Ve skutečnosti se rozšiřuje ${ displaystyle u = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$ , získáme maticový tvar rovnice

{ displaystyle mathbf {A} mathbf {u} = mathbf {f},}

kde ${ displaystyle a_ {ij} = langle Ae_ {j}, e_ {i} rangle}$ a ${ displaystyle f_ {i} = langle f, e_ {i} rangle}$ .

Bilineární forma spojená s touto slabou formulací je

{ displaystyle a (u, v) = mathbf {v} ^ {T} mathbf {A} mathbf {u}.}

Příklad 2: Poissonova rovnice

Naším cílem je vyřešit Poissonova rovnice

{ displaystyle - nabla ^ {2} u = f,}

v doméně ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {d}}$ s ${ displaystyle u = 0}$ na jeho hranici a chceme specifikovat prostor řešení ${ displaystyle V}$ později. Budeme používat ${ displaystyle L ^ {2}}$ - skalární produkt

{ displaystyle langle u, v rangle = int _ { Omega} uv , dx}

odvodit naši slabou formulaci. Poté testování s různými funkcemi ${ displaystyle v}$ , dostaneme

{ displaystyle - int _ { Omega} ( nabla ^ {2} u) v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}

Můžeme udělat levou stranu této rovnice symetrickější o integrace po částech použitím Greenova identita a za předpokladu, že ${ displaystyle v = 0}$ na ${ displaystyle částečné Omega}$ :

{ displaystyle int _ { Omega} nabla u cdot nabla v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}

Tomu se obvykle říká slabá formulace Poissonova rovnice. Musíme ještě určit mezeru ${ displaystyle V}$ ve kterém můžeme najít řešení, ale minimálně nám to musí umožnit napsat tuto rovnici. Proto požadujeme, aby funkce v ${ displaystyle V}$ jsou na hranici nula a mají deriváty integrovatelné do čtverce. Vhodný prostor pro splnění těchto požadavků je Sobolevův prostor ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ funkcí s slabé deriváty v ${ displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ a s nulovými okrajovými podmínkami, tak jsme nastavili ${ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$

Obecnou formu získáme přiřazením

{ displaystyle a (u, v) = int _ { Omega} nabla u cdot nabla v , dx}

a

{ displaystyle f (v) = int _ { Omega} fv , dx.}

Věta Lax – Milgram

Toto je formulace Věta Lax – Milgram který se spoléhá na vlastnosti symetrické části bilineární forma. Není to nejobecnější forma.

Nechat ${ displaystyle V}$ být Hilbertův prostor a ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ A bilineární forma na ${ displaystyle V}$ , který je

ohraničený: ${ displaystyle | a (u, v) | leq C | u | | v |}$ a
donucovací: ${ displaystyle a (u, u) geq c | u | ^ {2}.}$

Pak pro všechny ${ displaystyle f ve V '}$ , existuje jedinečné řešení ${ displaystyle u ve V}$ k rovnici

{ displaystyle a (u, v) = f (v) quad forall v in V}

a platí

{ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f | _ {V '}.}

Aplikace na příklad 1

Zde je aplikace věty Lax – Milgram rozhodně silnějším výsledkem, než je potřeba, ale stále ji můžeme použít a dát tomuto problému stejnou strukturu jako ostatní.

Omezenost: všechny bilineární formy zapnuty ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ jsou ohraničené. Zejména máme
${ displaystyle | a (u, v) | leq | A | , | u | , | v |}$
Koercivita: to ve skutečnosti znamená, že skutečné části vlastních čísel ${ displaystyle A}$ nejsou menší než ${ displaystyle c}$ . Protože to zejména znamená, že žádné vlastní číslo není nula, je systém řešitelný.

Navíc získáme odhad

{ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f |,}

kde ${ displaystyle c}$ je minimální skutečná část vlastního čísla ${ displaystyle A}$ .

Aplikace na příklad 2

Zde, jak jsme již zmínili výše, si vybereme ${ displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ s normou

{ displaystyle | v | _ {V}: = | nabla v |,}

kde normou vpravo je ${ displaystyle L ^ {2}}$ - normálně zapnuto ${ displaystyle Omega}$ (to poskytuje skutečnou normu ${ displaystyle V}$ podle Poincarého nerovnost ) .Ale, vidíme to ${ displaystyle | a (u, u) | = | nabla u | ^ {2}}$ a podle Cauchy – Schwarzova nerovnost, ${ displaystyle | a (u, v) | leq | nabla u | , | nabla v |}$ .

Proto pro všechny ${ displaystyle f in [H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}$ , existuje jedinečné řešení ${ displaystyle u ve V}$ z Poissonova rovnice a máme odhad

{ displaystyle | nabla u | leq | f | _ {[H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}}}

Viz také

Reference

Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolické rovnice", Příspěvky k teorii parciálních diferenciálních rovnic, Annals of Mathematics Studies, 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, s. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, PAN 0067317, Zbl 0058.08703

externí odkazy

Stránka MathWorld o větě Lax – Milgram