Schwarzova alternativní metoda - Schwarz alternating method

v matematika, Schwarzova alternativní metoda nebo střídavý proces je iterační metoda představen v letech 1869-1870 Hermann Schwarz v teorii konformní mapování. Vzhledem ke dvěma překrývajícím se oblastem v komplexní rovině, z nichž každá Dirichletův problém mohl být vyřešen, popsal Schwarz iterační metoda za řešení Dirichletova problému v jejich unii, za předpokladu, že se jejich křižovatka bude chovat vhodně. To byla jedna z několika konstruktivních technik konformního mapování vyvinutých Schwarzem jako příspěvek k problému uniformizace, představuje Riemann v padesátých letech 19. století a nejprve důsledně vyřešeno Koebe a Poincaré v roce 1907. Poskytlo schéma pro uniformizaci spojení dvou regionů, které věděly, jak uniformovat každý z nich samostatně, za předpokladu, že jejich průsečík byl topologicky disk nebo prstenec. Od roku 1870 Carl Neumann také přispělo k této teorii.

V padesátých letech byla Schwarzova metoda zobecněna v teorii parciální diferenciální rovnice na iterační metodu pro nalezení řešení souboru eliptický okrajový problém na doména což je spojení dvou překrývajících se subdomén. Zahrnuje to řešení problému okrajové hodnoty na každé ze dvou subdomén, přičemž vždy jako poslední se berou poslední hodnoty přibližného řešení okrajové podmínky. Používá se v numerická analýza, pod jménem multiplikativní Schwarzova metoda (v opozici vůči aditivní Schwarzova metoda ) jako metoda dekompozice domény.

Dějiny

Originální logo DDM: znázornění problému, který zvažuje H. A. Schwarz v roce 1870. Modrý obdélník byl původně čtverec

Poprvé byl formulován H. A. Schwarz ^[1] a sloužil jako teoretický nástroj: jeho konvergence pro obecný druhý řád eliptické parciální diferenciální rovnice byla poprvé prokázána mnohem později, v roce 1951, autorem Solomon Mikhlin.^[2]

Algoritmus

Původní problém, který Schwarz zvažoval, byl a Dirichletův problém (s Laplaceova rovnice ) na doméně skládající se z kruhu a částečně překrývajícího se čtverce. K vyřešení Dirichletova problému na jedné ze dvou subdomén (čtverec nebo kruh), na okraji musí být známa hodnota řešení: protože část hranice je obsažena v druhé subdoméně, musí být Dirichletův problém vyřešen společně na obou subdoménách. Zavádí se iterativní algoritmus:

Udělejte první odhad řešení na hraniční části kruhu, která je obsažena ve čtverci
Vyřešte Dirichletův problém v kruhu
Použijte řešení v bodě (2) k aproximaci řešení na hranici čtverce
Vyřešte Dirichletův problém na náměstí
Použijte řešení v bodě (4) k přiblížení řešení na hranici kruhu, poté přejděte ke kroku (2).

Při konvergenci je řešení překrytí stejné při výpočtu na čtverci nebo na kružnici.

Optimalizované Schwarzovy metody

Rychlost konvergence závisí na velikosti překrytí mezi subdoménami a na podmínkách přenosu (okrajové podmínky použité v rozhraní mezi subdoménami). Je možné zvýšit rychlost konvergence Schwarzových metod výběrem přizpůsobených podmínek přenosu: tyto metody se pak nazývají Optimalizované Schwarzovy metody.^[3]

Viz také

Poznámky

^ Podívejte se na jeho papír (Schwarz 1870b )
^ Viz papír (Mikhlin 1951 ): obsáhlá expozice od stejného autora v pozdějších knihách
^ Gander, Martin J .; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), „Optimized Schwarz Methods“, 12. mezinárodní konference o metodách rozkladu domén (PDF )

Reference

Originální papíry

Schwarz, H.A. (1869), „Über einige Abbildungsaufgaben“, J. Reine Angew. Matematika., 1869 (70): 105–120, doi:10,1515 / crll.1869,70.105
Schwarz, H.A. (1870a), „Über die Integration der partiellen Differentialgleichung $\partial 2 u /\partial X 2 + \partial 2 u /\partial y 2 = 0$ unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen ", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767–795
Schwarz, H. A. (1870b), „Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren“, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft v Curychu, 15: 272–286, JFM 02.0214.02
Neumann, Carl (1870), „Zur Theorie des Potentiales“, Matematika. Ann., 2 (3): 514, doi:10.1007 / bf01448242
Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
Neumann, Carl (1884), Theorie der abelschen Integrale od Vorlesungen über Riemanna (2. vyd.), Teubner

Konformní mapování a harmonické funkce

Nevanlinna, Rolf (1939), „Über das alternierende Verfahren von Schwarz“, J. Reine Angew. Matematika., 180: 121–128
Nevanlinna, Rolf (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500–508, doi:10.1007 / bf01696203
Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64Springer
Sario, Leo (1953), „Střídavá metoda na libovolných Riemannovych plochách“, Pacific J. Math., 3 (3): 631–645, doi:10,2140 / pjm.1953.3.631
Morgenstern, Dietrich (1956), „Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion“, Z. Angew. Matematika. Mech., 36 (7–8): 255–256, doi:10,1002 / zamm.19560360711, hdl:10338.dmlcz / 100409
Cohn, Harvey (1980), Konformní mapování na Riemannově povrchu, Dover, s. 242–262, ISBN 0-486-64025-6, Kapitola 12, Střídavé postupy
Garnett, John B .; Marshall, Donald E. (2005), Harmonické opatření, Cambridge University Press, ISBN 1139443097
Freitag, Eberhard (2011), Složitá analýza. 2. Riemannovy povrchy, několik komplexních proměnných, abelianské funkce, vyšší modulární funkceSpringer, ISBN 978-3-642-20553-8
de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revizi sto let staré věty, přeložil Robert G. Burns, Evropská matematická společnost, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, překlad Francouzský text
Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), str. 123–134 (citováno v de Saint-Gervais)
Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony — Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function TheoryZdroje a studie z dějin matematiky a fyzikálních věd, Springer, ISBN 978-1461457251

PDE a numerická analýza

Mikhlin, S.G. (1951), „Na Schwarzově algoritmu“, Doklady Akademii Nauk SSSR, n. Ser. (v Rusku), 77: 569–571, PAN 0041329, Zbl 0054.04204

externí odkazy

Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Schwarzova alternativní metoda“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[Schwarz-1870-UGA-1] Podívejte se na jeho papír (Schwarz 1870b )

[2] Viz papír (Mikhlin 1951 ): obsáhlá expozice od stejného autora v pozdějších knihách

[3] Gander, Martin J .; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), „Optimized Schwarz Methods“, 12. mezinárodní konference o metodách rozkladu domén (PDF )

[1]

[2]

[3]