Metoda Lax – Friedrichs - Lax–Friedrichs method

The Metoda Lax – Friedrichs, pojmenoval podle Peter Lax a Kurt O. Friedrichs, je numerické metoda řešení hyperbolické parciální diferenciální rovnice na základě konečné rozdíly. Metodu lze popsat jako Schéma FTCS (forward in time, centered in space) s číselným rozptylovým termínem 1/2. Lax-Friedrichsovu metodu lze považovat za alternativu k Godunovův plán, kde se člověk vyhne řešení a Riemannův problém na každém rozhraní buňky, na úkor přidání umělé viskozity.

Ilustrace pro lineární problém

Uvažujme jednorozměrnou lineární hyperbolickou parciální diferenciální rovnici pro ${displaystyle u (x, t)}$ formuláře:

${displaystyle u_ {t} + au_ {x} = 0,}$

na doméně

${displaystyle bleq xleq c,; 0leq tleq d}$

s počátečním stavem

${displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x),}$

a okrajové podmínky

${displaystyle u (b, t) = u_ {b} (t),}$

${displaystyle u (c, t) = u_ {c} (t).,}$

Pokud někdo diskretizuje doménu ${displaystyle (b, c) imes (0, d)}$ do mřížky se stejně rozloženými body s roztečí ${displaystyle Delta x}$ v ${displaystyle x}$-směr a ${displaystyle Delta t}$ v ${displaystyle t}$- směr, definujeme

${displaystyle u_ {i} ^ {n} = u (x_ {i}, t ^ {n}) {ext {with}} x_ {i} = b + i, Delta x ,, t ^ {n} = n , Delta t {ext {for}} i = 0, ldots, N ,, n = 0, ldots, M,}$

kde

${displaystyle N = {frac {c-b} {Delta x}} ,, M = {frac {d} {Delta t}}}$

jsou celá čísla představující počet intervalů mřížky. Pak je metoda Lax – Friedrichsova řešení výše uvedené parciální diferenciální rovnice dána vztahem:

${displaystyle {frac {u_ {i} ^ {n + 1} - {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n})} { Delta t}} + a {frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2, Delta x}} = 0}$

Nebo přepsáním tohoto řešení pro neznámé ${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1},}$

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - a {frac { Delta t} {2, Delta x}} (u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}),}$

Odkud jsou převzaty počáteční hodnoty a hraniční uzly

${displaystyle u_ {i} ^ {0} = u_ {0} (x_ {i})}$

${displaystyle u_ {0} ^ {n} = u_ {b} (t ^ {n})}$

${displaystyle u_ {N} ^ {n} = u_ {c} (t ^ {n}).}$

Rozšíření nelineárních problémů

Nelineární hyperbolický zákon zachování je definován funkcí toku ${displaystyle f}$:

${displaystyle u_ {t} + (f (u)) _ {x} = 0.}$

V případě ${displaystyle f (u) = au}$, skončíme se skalárním lineárním problémem. Všimněte si, že obecně ${displaystyle u}$ je vektor s ${displaystyle m}$ rovnice v ní. Zobecnění Lax-Friedrichovy metody na nelineární systémy má podobu^[1]

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - {frac {Delta t} {2, Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n}))}}$

Tato metoda je konzervativní a přesná podle prvního řádu, a proto docela disipativní. Může však být použit jako stavební blok pro vytváření numerických schémat vysokého řádu pro řešení hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic, podobně jako Eulerovy časové kroky lze použít jako stavební blok pro vytváření numerických integrátorů vysokého řádu pro běžné diferenciální rovnice.

Upozorňujeme, že tuto metodu lze zapsat v konzervační formě:

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {frac {Delta t} {Delta x}} vlevo ({hat {f}} _ {i + 1/2} ^ {n} - {hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} ight),}$

kde

${displaystyle {hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = {frac {1} {2}} vlevo (f_ {i-1} + f_ {i} ight) - {frac {Delta x} {2Delta t}} vlevo (u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} včas).}$

Bez dalších podmínek ${displaystyle u_ {i} ^ {n}}$ a ${displaystyle u_ {i-1} ^ {n}}$ v diskrétním toku, ${displaystyle {hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n}}$, jeden skončí s Schéma FTCS, o kterém je dobře známo, že je bezpodmínečně nestabilní pro hyperbolické problémy.

Stabilita a přesnost

Příklad počáteční podmínky problému

Řešení Lax-Friedrichs

Tato metoda je explicitní a první objednávka přesná v čase a první objednávka přesná ve vesmíru (${displaystyle O (Delta t) + O ({frac {Delta x ^ {2}} {Delta t}}))}$ pokud ${displaystyle u_ {0} (x) ,, u_ {b} (t) ,, u_ {c} (t)}$ jsou dostatečně plynulé funkce. Za těchto podmínek je metoda stabilní pouze za předpokladu, že je splněna následující podmínka:

${displaystyle left | a {frac {Delta t} {Delta x}} ight | leq 1.}$

(A von Neumannova analýza stability může ukázat nutnost tohoto stabilitního stavu.) Metoda Lax – Friedrichs je klasifikována jako metoda druhého řádu rozptýlení a třetí řád disperze (Chu 1978, str. 304). Pro funkce, které mají nespojitosti, schéma zobrazuje silné rozptýlení a rozptyl (Thomas 1995, §7.8); viz obrázky vpravo.

Reference

• DuChateau, Paul; Zachmann, David (2002), Aplikované parciální diferenciální rovnice, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41976-3.
• Thomas, J. W. (1995), Numerické parciální diferenciální rovnice: metody konečných rozdílůTexty z aplikované matematiky, 22, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97999-1.
• Chu, C. K. (1978), Numerické metody v mechanice tekutinPokroky v aplikované mechanice, 18, New York: Akademický tisk, ISBN  978-0-12-002018-8.
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 10.1.2. Metoda Lax“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8