Cauchy – Kowalevského věta - Cauchy–Kowalevski theorem

v matematika, Cauchy – Kovalevskaja věta (také psáno jako Cauchy – Kowalevského věta) je hlavní místní existence věta o jedinečnosti pro analytický parciální diferenciální rovnice spojený s Cauchyovy počáteční hodnoty. Zvláštní případ prokázal Augustin Cauchy  (1842 ) a úplný výsledek do Sophie Kovalevskaya  (1875 ).

Věta prvního řádu Cauchy – Kovalevskaya

Tato věta je o existenci řešení systému m diferenciální rovnice v n rozměry, když jsou koeficienty analytické funkce. Věta a její důkaz platí pro analytické funkce reálných nebo komplexních proměnných.

Nechat K. označte buď pole reálných nebo komplexních čísel a let PROTI = K.^m a Ž = K.ⁿ. Nechat A₁, ..., A_n−1 být analytické funkce na některých definováno sousedství z (0, 0) v Ž × PROTI a přijímání hodnot v m × m matice, a nechat b být analytickou funkcí s hodnotami v PROTI definované ve stejném sousedství. Pak existuje sousedství 0 v Ž na kterém kvazilineární Cauchyho problém

${ displaystyle částečné _ {x_ {n}} f = A_ {1} (x, f) částečné _ {x_ {1}} f + cdots + A_ {n-1} (x, f) částečné _ {x_ {n-1}} f + b (x, f)}$

s počátečním stavem

${ displaystyle f (x) = 0}$

na nadpovrchu

${ displaystyle x_ {n} = 0}$

má jedinečné analytické řešení ƒ : Ž → PROTI blízko 0.

Příklad Lewyho ukazuje, že věta není platná pro všechny plynulé funkce.

Věta může být také uvedena v abstraktních (skutečných nebo komplexních) vektorových prostorech. Nechat PROTI a Ž být konečnými trojrozměrnými reálnými nebo složitými vektorovými prostory s n = dimŽ. Nechat A₁, ..., A_n−1 být analytické funkce s hodnotami v Konec (PROTI) a b analytická funkce s hodnotami v PROTI, definované na některých sousedství z (0, 0) v Ž × PROTI. V tomto případě platí stejný výsledek.

Důkaz analytickou majorizací

Obě strany parciální diferenciální rovnice lze rozšířit jako formální mocenské řady a dát relace rekurence pro koeficienty formální mocenské řady pro F které jednoznačně určují koeficienty. The Taylor série koeficienty A_ia b jsou specializovaný v maticové a vektorové normě jednoduchou skalární racionální analytickou funkcí. Odpovídající skalární Cauchyho problém zahrnující tuto funkci namísto A_ia b má explicitní lokální analytické řešení. Absolutní hodnoty jeho koeficientů majorizují normy norem původního problému; takže formální řešení řady napájení musí konvergovat tam, kde konverguje skalární řešení.

Věta Cauchy – Kovalevskaya vyššího řádu

Li F a F_j jsou analytické funkce blízko 0, pak nelineární Cauchyho problém

${ displaystyle částečné _ {t} ^ {k} h = F levé (x, t, částečné _ {t} ^ {j} , částečné _ {x} ^ { alfa} h pravé) , { text {kde}} j$

s počátečními podmínkami

${ displaystyle částečné _ {t} ^ {j} h (x, 0) = f_ {j} (x), qquad 0 leq j$

má jedinečné analytické řešení blízko 0.

To vyplývá z problému prvního řádu zvážením derivací h objevující se na pravé straně jako komponenty funkce s vektorovou hodnotou.

Příklad

The rovnice tepla

${ displaystyle částečné _ {t} h = částečné _ {x} ^ {2} h}$

s podmínkou

${ displaystyle h (0, x) = {1 nad 1 + x ^ {2}} { text {pro}} t = 0}$

má jedinečné formální řešení řady napájení (rozšířené kolem (0, 0)). Tato formální výkonová řada však nekonverguje pro žádné nenulové hodnoty t, takže v sousedství původu neexistují žádná analytická řešení. To ukazuje, že podmínka |α| + j ≤ k výše nelze upustit. (Tento příklad je způsoben Kowalevskim.)

Cauchy – Kovalevskaya – Kashiwara věta

Existuje široká generalizace Cauchy-Kovalevské věty pro systémy lineárních parciálních diferenciálních rovnic s analytickými koeficienty, Cauchy – Kovalevskaya – Kashiwara věta, kvůliMasaki Kashiwara  (1983 ). Tato věta zahrnuje a cohomologické formulace, předložená v jazyce D-moduly. Podmínka existence zahrnuje podmínku kompatibility mezi nehomogenními částmi každé rovnice a zmizení a odvozený funktor ${ displaystyle Ext ^ {1}}$.

Příklad

Nechat ${ displaystyle n leq m}$. Soubor ${ displaystyle Y = {x_ {1} = cdots = x_ {n} }}$. Systém ${ displaystyle částečné _ {x_ {i}} f = g_ {i}, i = 1, ldots, n,}$ má řešení ${ displaystyle f in mathbb {C} {x_ {1}, ldots, x_ {m} }}$ pouze a pouze za podmínek kompatibility ${ displaystyle částečné _ {x_ {i}} g_ {j} = částečné _ {x_ {j}} g_ {i}}$ jsou ověřeny. Abychom měli jedinečné řešení, musíme zahrnout počáteční podmínku ${ displaystyle f | _ {Y} = h}$, kde ${ displaystyle h in mathbb {C} {x_ {n + 1}, ldots, x_ {m} }}$.

Reference

• Cauchy, Augustin (1842), „Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles“, Comptes rendus, 15 Dotisknuto v dílech Oeuvres, 1. série, Kniha VII, strany 17–58.
• Folland, Gerald B. (1995), Úvod do parciálních diferenciálních rovnic, Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Hörmander, L. (1983), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundl. Matematika. Wissenschaft., 256Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, PAN  0717035 (lineární případ)
• Kashiwara, M. (1983), Systémy mikrodiferenciálních rovnicPokrok v matematice, 34, Birkhäuser, ISBN  0817631380
• von Kowalevsky, Sophie (1875), „Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80: 1–32 (Německý pravopis jejího příjmení používaný v té době.)
• Nakhushev, A.M. (2001) [1994], "Cauchy-Kovalevskaya věta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• PlanetMath