Provozovatel Poincaré – Steklov - Poincaré–Steklov operator - Wikipedia

v matematika, a Provozovatel Poincaré – Steklov (po Henri Poincaré a Vladimír Steklov ) mapuje hodnoty jednoho okrajová podmínka řešení řešení eliptická parciální diferenciální rovnice v doména na hodnoty jiné okrajové podmínky. Řešení obvykle určuje kterákoli z okrajových podmínek. Operátor Poincaré – Steklov tedy zapouzdřuje hraniční odezvu systému modelovaného parciální diferenciální rovnicí. Když je diskretizována parciální diferenciální rovnice, například konečné prvky nebo konečné rozdíly, diskretizace operátora Poincaré – Steklov je Schurův doplněk získáno vyloučením všech stupňů volnosti uvnitř domény.

Všimněte si, že pro danou parciální diferenciální rovnici může existovat mnoho vhodných různých okrajových podmínek a směr, ve kterém Poincaré – Steklovův operátor mapuje hodnoty jednoho do druhého, je dán pouze konvencí.^[1]

Operátor Dirichlet-to-Neumann na ohraničené doméně

Zvažte a ustálený stav distribuce teplota v těle pro dané hodnoty teploty na povrchu těla. Pak výsledný tepelný tok přes hranici (tj. tepelný tok, který by byl potřebný k udržení dané povrchové teploty) je určen jedinečně. Mapování povrchové teploty na povrchový tepelný tok je Poincaré – Steklovův operátor. Tento konkrétní operátor Poincaré – Steklov se nazývá operátor Dirichlet to Neumann (DtN). Hodnoty teploty na povrchu jsou Dirichletova okrajová podmínka z Laplaceova rovnice, který popisuje rozložení teploty uvnitř těla. Tepelný tok povrchem je Neumannova okrajová podmínka (úměrně k normální derivace teploty).

Matematicky pro funkci ${ displaystyle u}$ harmonický v doméně ${ displaystyle Omega podmnožina R ^ {n}}$operátor Dirichlet-to-Neumann mapuje hodnoty ${ displaystyle u}$ na hranici ${ displaystyle Omega}$ k normálnímu derivátu ${ displaystyle částečné u / částečné n}$ na hranici ${ displaystyle Omega}$. Tento operátor Poincaré – Steklov je u založení iterativní substruktura.^[2]

Calderón Problém inverzní hranice je problém nalezení koeficientu divergenční formy eliptické parciální diferenciální rovnice od jejího Dirichletova-k-Neumannova operátoru. Toto je matematická formulace elektrická impedanční tomografie.

Operátor Dirichlet-to-Neumann pro okrajovou podmínku v nekonečnu

Řešení parciální diferenciální rovnice v an externí doména dává vzniknout Poincaré – Steklovovu operátoru, který přináší okrajovou podmínku z nekonečna na hranici. Jedním z příkladů je Dirichletův-Neumannův operátor, který mapuje danou teplotu na hranici dutiny v nekonečném médiu s nulovou teplotou v nekonečnu na tepelný tok na hranici dutiny. Podobně lze definovat operátor Dirichlet-to-Neumann na hranici koule pro řešení pro Helmholtzova rovnice ve vnějšku koule. Aproximace tohoto operátoru jsou základem třídy metody pro modelování akustického rozptylu v nekonečném médiu, přičemž rozptyl uzavřený ve sféře a Poincaré – Steklovův operátor slouží jako nereflexní (nebo absorbující) okrajová podmínka.^[3]

Poincaré – Steklovův operátor v elektromagnetismu

Poincaré – Steklovův operátor je definován jako operátor mapující časově harmonickou (tj. Závislou na čase jako ${ displaystyle e ^ {i omega t}}$) tangenciální elektrické pole na hranici oblasti s ekvivalentním elektrickým proudem na její hranici.^[4]

Viz také

• Interakce struktury kapalin (hranice / rozhraní) analýza
• Schurova metoda rozkladu domény doplňku

Reference

• Lebedev, V. I .; Agoshkov, V. I. Operatory Puankare-Steklova i ikh prilozheniya v analize. (Rusky) [Poincaré Steklov operátoři a jejich aplikace v analýze] Akad. Nauk SSSR, Vychisl. Tsentr, Moskva, 1983. 184 stran. PAN827980
• Vassilevski, P. S. Poincaré – Steklov operátoři pro řešení problémů s eliptickými rozdíly. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985), č. 3. 5, 543—546. PAN799809