Metoda základních řešení - Method of fundamental solutions

v vědecké výpočty a simulace, metoda základních řešení (MFS) je technika řešení parciální diferenciální rovnice na základě použití zásadní řešení jako základní funkce. MFS byl vyvinut k překonání hlavních nevýhod v EU metoda hraničních prvků (BEM), který také používá základní řešení k uspokojení řídící rovnice. V důsledku toho jsou MFS i BEM hraniční diskretizační numerické techniky a snižují výpočetní složitost o jednu rozměrnost a mají zvláštní výhodu nad numerickými technikami doménového typu, jako je konečný element a metody konečného objemu na řešení nekonečné domény, tenkostěnných struktur a inverzní problémy.

Na rozdíl od BEM se MFS vyhýbá numerické integraci singulárního základního řešení a je inherentní metoda meshfree. Metoda je však kompromitována požadavkem na kontroverzní fiktivní hranici mimo fyzickou oblast, aby se obešla jedinečnost základního řešení, což vážně omezilo její použitelnost na problémy v reálném světě. Přesto se ukázalo, že MFS je velmi konkurenceschopný v některých aplikačních oblastech, jako jsou problémy s nekonečnými doménami.

MFS je v literatuře také známý pod různými názvy, včetně metody simulace náboje, metody superpozice, metody desingularizované, metody nepřímých hraničních prvků a metody virtuálních hraničních prvků.

Formulace MFS

Zvažte parciální diferenciální rovnici, která řídí určitý typ problémů

${ Displaystyle Lu = f left (x, y right), left (x, y right) in Omega,}$

${ displaystyle u = g left (x, y right), left (x, y right) in partial Omega _ {D},}$

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné n}} = h levé (x, y pravé), levé (x, y pravé) v částečné Omega _ {N} ,}$

kde ${ displaystyle L}$ je diferenciální parciální operátor, ${ displaystyle Omega}$ představuje výpočetní doménu, ${ displaystyle částečné Omega _ {D}}$ a ${ displaystyle částečné Omega _ {N}}$ označit Dirichletovu a Neumannovu hranici, v daném pořadí, ${ displaystyle částečné Omega _ {D} pohár částečné Omega _ {N} = částečné Omega}$ a ${ displaystyle částečné Omega _ {D} čepice částečné Omega _ {N} = varnothing}$.

MFS využívá základní řešení operátoru jako svou základní funkci, která představuje aproximaci neznámé funkce u následujícím způsobem

${ displaystyle {{u} ^ {*}} left (x, y right) = sum limity _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i} phi left (r_ {i }že jo)}$

kde ${ displaystyle r_ {i} = levý | levý (x, y pravý) - levý (sx_ {i}, sy_ {i} pravý) pravý |}$ označuje euklidovskou vzdálenost mezi kolokačními body ${ displaystyle left (x, y right)}$ a zdrojové body ${ displaystyle left (sx_ {i}, sy_ {i} right)}$, ${ displaystyle phi left ( cdot right)}$ je základní řešení, které uspokojuje

${ displaystyle L phi = delta ,}$

kde ${ displaystyle delta}$ označuje delta funkci Dirac a ${ displaystyle {{ alpha} _ {i}}}$ jsou neznámé koeficienty.

Se zdrojovými body umístěnými mimo fyzickou doménu se MFS vyhne singularitě základního řešení. Nahrazením aproximace do okrajových podmínek se získá následující maticová rovnice

${ displaystyle left [{ begin {matrix} phi left ( left.r_ {j} right | _ {x_ {i}, y_ {i}} right) { frac { částečné phi left ( left.r_ {j} right | _ {x_ {k}, y_ {k}} right)} { částečný n}} end {matrix}} right] cdot alpha = left ({ begin {matrix} g left (x_ {i}, y_ {i} right) h left (x_ {k}, y_ {k} right) end {matrix}} right),}$

kde ${ displaystyle left (x_ {i}, y_ {i} right)}$ a ${ displaystyle left (x_ {k}, y_ {k} right)}$ označte kolokační body na Dirichletově a Neumannově hranici. Neznámé koeficienty ${ displaystyle alpha _ {i}}$ lze jednoznačně určit výše uvedenou algebraickou rovnicí. A pak můžeme vyhodnotit numerické řešení na jakémkoli místě ve fyzické doméně.

Historie a nedávný vývoj

Myšlenky MFS byly vyvinuty primárně V. D. Kupradze a M. A. Alexidze na konci 50. a počátku 60. let.^[1] Metoda však byla poprvé navržena jako výpočetní technika mnohem později R. Mathonem a R. L. Johnstonem na konci 70. let,^[2] následuje řada článků od společností Mathon, Johnston a Graeme Fairweather s aplikacemi. MFS se poté postupně stal užitečným nástrojem pro řešení nejrůznějších fyzikálních a technických problémů.^[3][4][5][6]

V 90. letech rozšířili M. A. Golberg a C. S. Chen MFS o řešení nehomogenních rovnic a časově závislých problémů, což značně rozšířilo jeho použitelnost.^[7][8] Pozdější vývoj naznačil, že MFS lze použít k řešení parciálních diferenciálních rovnic s proměnnými koeficienty.^[9] MFS se osvědčil zvláště efektivně pro určité třídy problémů, jako je inverzní,^[10] neomezená doména a problémy s volnými hranicemi.^[11]

K léčbě fiktivního hraničního problému v MFS byly vyvinuty některé techniky, například metoda hraničního uzlu, metoda singulární hranice, a legalizovaná bezsíťová metoda.

Viz také

• Radiální základní funkce
• Metoda hraničních prvků
• Metoda hraničního uzlu
• Metoda hraničních částic
• Singulární hraniční metoda
• Regularizovaná metoda bez sítě

Reference

externí odkazy

• Mezinárodní centrum pro numerický simulační software ve strojírenství a vědách