Metoda fiktivní domény - Fictitious domain method - Wikipedia

v matematika, Metoda fiktivní domény je metoda k nalezení řešení a parciální diferenciální rovnice na komplikované doména ${ displaystyle D}$, dosazením daného problému umístěného na doménu ${ displaystyle D}$s novým problémem v jednoduché doméně ${ displaystyle Omega}$ obsahující ${ displaystyle D}$.

Obecná formulace

Předpokládejme, že v nějaké oblasti ${ displaystyle D podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ chceme najít řešení ${ displaystyle u (x)}$ z rovnice:

${ displaystyle Lu = - phi (x), x = (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}) v D}$

s okrajové podmínky:

${ displaystyle lu = g (x), x v částečné D}$

Základní myšlenkou metody fiktivních domén je nahradit daný problém postavený na doméně ${ displaystyle D}$, s novým problémem položeným na jednoduchém tvarovaná doména ${ displaystyle Omega}$ obsahující ${ displaystyle D}$ (${ displaystyle D podmnožina Omega}$). Například si můžeme vybrat n-rozměrný rovnoběžník jako ${ displaystyle Omega}$.

Problém v rozšířená doména ${ displaystyle Omega}$ pro nové řešení ${ displaystyle u _ { epsilon} (x)}$:

${ displaystyle L _ { epsilon} u _ { epsilon} = - phi ^ { epsilon} (x), x = (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}) v Omega}$

${ displaystyle l _ { epsilon} u _ { epsilon} = g ^ { epsilon} (x), x v částečné Omega}$

Je nutné nastolit problém v rozšířené oblasti tak, aby byla splněna následující podmínka:

${ displaystyle u _ { epsilon} (x) { xrightarrow [{ epsilon rightarrow 0}] {}} u (x), x v D}$

Jednoduchý příklad, jednorozměrný problém

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} = - 2, quad 0$

${ displaystyle u (0) = 0, u (1) = 0}$

Prodloužení o vedoucí koeficienty

${ displaystyle u _ { epsilon} (x)}$ řešení problému:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} k ^ { epsilon} (x) { frac {du _ { epsilon}} {dx}} = - phi ^ { epsilon} (x), 0$

Přerušovaný součinitel ${ displaystyle k ^ { epsilon} (x)}$ a pravá část rovnice předchozí rovnice získáváme z výrazů:

${ displaystyle k ^ { epsilon} (x) = { begin {cases} 1, & 0$

${ displaystyle phi ^ { epsilon} (x) = { začátek {případů} 2, & 0$

Okrajové podmínky:

${ displaystyle u _ { epsilon} (0) = 0, u _ { epsilon} (2) = 0}$

Podmínky připojení v bodě ${ displaystyle x = 1}$:

${ displaystyle [u _ { epsilon}] = 0, vlevo [k ^ { epsilon} (x) { frac {du _ { epsilon}} {dx}} vpravo] = 0}$

kde ${ displaystyle [ cdot]}$ prostředek:

${ displaystyle [p (x)] = p (x + 0) -p (x-0)}$

Rovnice (1) má analytické řešení proto můžeme snadno získat chybu:

${ displaystyle u (x) -u _ { epsilon} (x) = O ( epsilon ^ {2}), quad 0$

Prodloužení koeficienty nižšího řádu

${ displaystyle u _ { epsilon} (x)}$ řešení problému:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u _ { epsilon}} {dx ^ {2}}} - c ^ { epsilon} (x) u _ { epsilon} = - phi ^ { epsilon} (x), quad 0$

Kde ${ displaystyle phi ^ { epsilon} (x)}$ vezmeme to samé jako v (3) a výraz pro ${ displaystyle c ^ { epsilon} (x)}$

${ displaystyle c ^ { epsilon} (x) = { begin {cases} 0, & 0$

Okrajové podmínky pro rovnici (4) stejné jako pro (2).

Podmínky připojení v bodě ${ displaystyle x = 1}$:

${ displaystyle [u _ { epsilon} (0)] = 0, vlevo [{ frac {du _ { epsilon}} {dx}} vpravo] = 0}$

Chyba:

${ displaystyle u (x) -u _ { epsilon} (x) = O ( epsilon), quad 0$

Literatura

• P.N. Vabiščevič, Metoda fiktivních domén v úlohách matematické fyziky, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Fiktivní doménová metoda pro Navier-Stokesovu rovnici, Preprint CC SA SSSR, 68, 1979.
• Bugrov A.N., Smagulov S. Fiktivní doménová metoda pro Navier-Stokesovu rovnici, Matematický model proudění tekutin, Novosibirsk, 1978, s. 1. 79–90