Matice tuhosti - Stiffness matrix

Tenzor tuhosti v mechanické mechanice viz Hookeův zákon # Maticová reprezentace (tenzor tuhosti).

V Metoda konečných prvků pro numerické řešení eliptiky parciální diferenciální rovnice, matice tuhosti představuje soustavu lineárních rovnic, kterou je třeba vyřešit, aby bylo možné zjistit přibližné řešení diferenciální rovnice.

Matice tuhosti pro Poissonův problém

Pro zjednodušení nejprve zvážíme Poissonův problém

${displaystyle -abla ^ {2} u = f}$

na nějaké doméně Ω, s výhradou okrajové podmínky u = 0 na hranici Ω. K diskretizaci této rovnice metodou konečných prvků zvolíme množinu základní funkce {φ₁, ..., φ_n} definované na Ω, které také zmizí na hranici. Jeden pak aproximuje

${displaystyle universx u ^ {h} = u_ {1} varphi _ {1} + cdots + u_ {n} varphi _ {n}.}$

Koeficienty u₁, ..., u_n jsou určeny tak, aby chyba v aproximaci byla kolmá ke každé základní funkci φ_i:

${displaystyle int _ {Omega} varphi _ {i} cdot f, dx = -int _ {Omega} varphi _ {i} abla ^ {2} u ^ {h}, dx = -sum _ {j} vlevo (int _ {Omega} varphi _ {i} abla ^ {2} varphi _ {j}, dxight), u_ {j} = součet _ {j} vlevo (int _ {Omega} abla varphi _ {i} cdot abla varphi _ {j}, dxight) u_ {j}.}$

The matice tuhosti je čtvercová matice prvku N definovaná symbolem

${displaystyle A_ {ij} = int _ {Omega} abla varphi _ {i} cdot abla varphi _ {j}, dx.}$

Definováním vektoru F s komponenty F_i = ${displaystyle int _ {Omega} varphi _ {i} f, dx}$koeficienty u_i jsou určeny lineárním systémem AU = F. Matice tuhosti je symetrická, tj. A_ij = A_ji, takže všechna jeho vlastní čísla jsou skutečná. Navíc je to přísně pozitivně definitivní matice, takže systém AU = F má vždy jedinečné řešení. (U dalších problémů budou tyto pěkné vlastnosti ztraceny.)

Všimněte si, že matice tuhosti se bude lišit v závislosti na výpočetní mřížce použité pro doménu a na tom, jaký typ konečných prvků se použije. Například matice tuhosti při použití po částech kvadratických konečných prvků bude mít více stupňů volnosti než po částech lineární prvky.

Matice tuhosti pro další problémy

Určení matice tuhosti pro ostatní PDE se řídí v podstatě stejným postupem, ale může být komplikováno výběrem okrajových podmínek. Jako složitější příklad zvažte eliptickou rovnici

${displaystyle -sum _ {k, l} {frac {částečný} {částečný x_ {k}}} vlevo (a ^ {kl} {frac {částečný u} {částečný x_ {l}}} vpravo) {frac {částečný } {částečné x_ {l}}} = f}$

kde A(X) = A^kl(X) je kladně definitivní matice definovaná pro každý bod X v doméně. Ukládáme Okrajová podmínka Robin

${displaystyle -sum _ {k, l} u _ {k} a ^ {kl} {frac {částečné u} {částečné x_ {l}}} = c (u-g),}$

kde ν_k je složka vnějšího normálového vektoru jednotky ν v k-tý směr. Systém, který má být vyřešen, je

${displaystyle sum _ {j} left (sum _ {k, l} int _ {Omega} a ^ {kl} {frac {parciální varphi _ {i}} {parciální x_ {k}}} {frac {parciální varphi _ {j}} {částečné x_ {l}}} dx + int _ {částečné Omega} cvarphi _ {i} varphi _ {j}, dsight) u_ {j} = int _ {Omega} varphi _ {i} f, dx + int _ {částečné Omega} cvarphi _ {i} g, ds,}$

jak lze ukázat pomocí analogie Greenovy identity. Koeficienty u_i se stále nacházejí při řešení soustavy lineárních rovnic, ale matice představující soustavu se výrazně liší od matice pro běžný Poissonův problém.

Obecně platí, že každému skalárnímu eliptickému operátoru L objednávky 2k, je spojena bilineární forma B na Sobolevův prostor H^k, takže slabá formulace rovnice Lu = F je

${displaystyle B [u, v] = (f, v)}$

pro všechny funkce proti v H^k. Pak matice tuhosti pro tento problém je

${displaystyle A_ {ij} = B [varphi _ {j}, varphi _ {i}].}$

Praktické sestavení matice tuhosti

Aby bylo možné implementovat metodu konečných prvků na počítači, je třeba nejprve zvolit sadu základních funkcí a poté vypočítat integrály definující matici tuhosti. Obvykle je doména Ω diskretizována nějakou formou generování sítě, kde je rozdělena na nepřekrývající se trojúhelníky nebo čtyřúhelníky, které se obecně označují jako prvky. Základní funkce jsou poté vybrány jako polynomy určitého řádu v každém prvku a spojité přes hranice prvků. Nejjednodušší možnosti jsou po částech lineární pro trojúhelníkové prvky a po částech bilineární pro obdélníkové prvky.

The matice tuhosti prvku A^[k] pro prvek T_k je matice

${displaystyle A_ {ij} ^ {[k]} = int _ {T_ {k}} abla varphi _ {i} cdot abla varphi _ {j}, dx.}$

Matice tuhosti prvku je nulová pro většinu hodnot i a j, pro které jsou odpovídající základní funkce nulové T_k. Matice plné tuhosti A je součet matic tuhosti prvku. Zejména pro základní funkce, které jsou podporovány pouze lokálně, je matice tuhosti řídký.

Pro mnoho standardních voleb základních funkcí, tj. Po částech lineární základní funkce na trojúhelnících, existují jednoduché vzorce pro matice tuhosti prvků. Například u kusových lineárních prvků zvažte trojúhelník s vrcholy (X₁, y₁), (X₂, y₂), (X₃, y₃) a definujte matici 2 × 3

${displaystyle D = left [{egin {matrix} x_ {3} -x_ {2} & x_ {1} -x_ {3} & x_ {2} -x_ {1} y_ {3} -y_ {2} & y_ { 1} -y_ {3} a y_ {2} -y_ {1} konec {matrix}} v pořádku].}$

Pak je matice tuhosti prvku

${displaystyle A ^ {[k]} = {frac {D ^ {mathsf {T}} D} {4operatorname {area} (T)}}.}$

Když je diferenciální rovnice složitější, řekněme tím, že máme nehomogenní difúzní koeficient, integrál definující matici tuhosti prvku lze vyhodnotit pomocí Gaussova kvadratura.

The číslo podmínky matice tuhosti silně závisí na kvalitě numerické mřížky. Zejména trojúhelníky s malými úhly v síti konečných prvků indukují velké vlastní hodnoty matice tuhosti, což zhoršuje kvalitu řešení.

Reference

• Ern, A .; Guermond, J.-L. (2004), Teorie a praxe konečných prvků, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN  0387205748
• Gockenbach, M.S. (2006), Porozumění a implementace metody konečných prvků, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN  0898716144
• Grossmann, C .; Roos, H.-G .; Stynes, M. (2007), Numerické zpracování parciálních diferenciálních rovnic, Berlín, Německo: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-71584-9
• Johnson, C. (2009), Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných prvkůDover, ISBN  978-0486469003
• Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L .; Zhu, J.Z. (2005), Metoda konečných prvků: její základy a základy (6. vydání), Oxford, Velká Británie: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN  978-0750663205