Céas lemma - Céas lemma - Wikipedia

Céovo lemma je lemma v matematika. Představil Jean Céa v jeho Ph.D. disertační práce je důležitým nástrojem k prokázání chybových odhadů pro Metoda konečných prvků aplikován na eliptický parciální diferenciální rovnice.

Prohlášení Lemma

Nechat ${ displaystyle V}$ být nemovitý Hilbertův prostor s norma ${ displaystyle | cdot |.}$ Nechat ${ displaystyle a: V krát V to mathbb {R}}$ být bilineární forma s vlastnostmi

• ${ displaystyle | a (v, w) | leq gamma | v | , | w |}$ pro nějakou konstantu ${ displaystyle gamma> 0}$ a všechno ${ displaystyle v, w}$ v ${ displaystyle V}$ (kontinuita )
• ${ displaystyle a (v, v) geq alpha | v | ^ {2}}$ pro nějakou konstantu ${ displaystyle alpha> 0}$ a všechno ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V}$ (koercitivita nebo ${ displaystyle V}$-ellipticity).

Nechat ${ displaystyle L: V až mathbb {R}}$ být ohraničený lineární operátor. Zvažte problém s nalezením prvku ${ displaystyle u}$ v ${ displaystyle V}$ takhle

${ displaystyle a (u, v) = L (v)}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V.}$

Zvažte stejný problém v konečně-dimenzionálním podprostoru ${ displaystyle V_ {h}}$ z ${ displaystyle V,}$ tak, ${ displaystyle u_ {h}}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$ splňuje

${ displaystyle a (u_ {h}, v) = L (v)}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}.}$

Podle Věta Lax – Milgram, každý z těchto problémů má právě jedno řešení. Céovo lemma tvrdí, že

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq { frac { gamma} { alpha}} | u-v |}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}.}$

To znamená subprostorové řešení ${ displaystyle u_ {h}}$ je "nejlepší" aproximace ${ displaystyle u}$ v ${ displaystyle V_ {h},}$ až do konstanta ${ displaystyle gamma / alfa.}$

Důkaz je přímý

${ displaystyle alpha | u-u_ {h} | ^ {2} leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) + a (u-u_ {h}, v-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) leq gamma | u-u_ {h} | | uv |}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}.}$

Použili jsme ${ displaystyle a}$-orthogonality z ${ displaystyle u-u_ {h}}$ a ${ displaystyle V_ {h}}$

${ displaystyle a (u-u_ {h}, v) = 0, forall v ve V_ {h}}$

který vyplývá přímo z ${ displaystyle V_ {h} podmnožina V}$

${ displaystyle a (u, v) = L (v) = a (u_ {h}, v)}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$.

Poznámka: Céovo lemma se drží komplex Hilbertovy mezery také, jeden pak používá a sesquilineární forma ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ místo bilineární. Předpoklad koercivity se pak stává ${ displaystyle | a (v, v) | geq alpha | v | ^ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V}$ (Všimněte si značky absolutní hodnoty ${ displaystyle a (v, v)}$).

Odhad chyby v energetické normě

Podprostorové řešení ${ displaystyle u_ {h}}$ je projekce ${ displaystyle u}$ do podprostoru ${ displaystyle V_ {h}}$ s ohledem na vnitřní produkt ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$.

V mnoha aplikacích bilineární forma ${ displaystyle a: V krát V to mathbb {R}}$ je symetrický, takže

${ displaystyle a (v, w) = a (w, v)}$ pro všechny ${ displaystyle v, w}$ v ${ displaystyle V.}$

To spolu s výše uvedenými vlastnostmi tohoto formuláře z toho vyplývá ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ je vnitřní produkt na ${ displaystyle V.}$ Výsledná norma

${ displaystyle | v | _ {a} = { sqrt {a (v, v)}}}$

se nazývá energetická norma, protože odpovídá a fyzická energie v mnoha problémech. Tato norma je ekvivalentní původní normě ${ displaystyle | cdot |.}$

Za použití ${ displaystyle a}$-orthogonality z ${ displaystyle u-u_ {h}}$ a ${ displaystyle V_ {h}}$ a Cauchy – Schwarzova nerovnost

${ displaystyle | u-u_ {h} | _ {a} ^ {2} = a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = a (u-u_ {h}, uv) leq | u-u_ {h} | _ {a} cdot | uv | _ {a}}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$.

Proto se v energetické normě stává nerovnost v Céově lematu

${ displaystyle | u-u_ {h} | _ {a} leq | u-v | _ {a}}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$

(všimněte si, že konstanta ${ displaystyle gamma / alpha}$ na pravé straně již není k dispozici).

To říká, že podprostorové řešení ${ displaystyle u_ {h}}$ je nejlepší aproximací řešení pro celý prostor ${ displaystyle u}$ s ohledem na energetickou normu. Geometricky to znamená ${ displaystyle u_ {h}}$ je projekce řešení ${ displaystyle u}$ do podprostoru ${ displaystyle V_ {h}}$ s ohledem na vnitřní produkt ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ (viz vedlejší obrázek).

Pomocí tohoto výsledku lze také odvodit ostřejší odhad v normě ${ displaystyle | cdot |}$. Od té doby

${ displaystyle alpha | u-u_ {h} | ^ {2} leq a (u-u_ {h}, u-u_ {h}) = | u-u_ {h} | _ { a} ^ {2} leq | uv | _ {a} ^ {2} leq gamma | uv | ^ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$,

z toho vyplývá, že

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq { sqrt { frac { gamma} { alpha}}} | u-v |}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$.

Aplikace Céova lemmatu

Použijeme Céovo lemma k odhadu chyby výpočtu řešení na eliptická diferenciální rovnice podle Metoda konečných prvků.

Řetězec s pevnými koncovými body pod vlivem síly směřující dolů.

Zvažte problém s nalezením funkce ${ displaystyle u: [a, b] to mathbb {R}}$ splnění podmínek

${ displaystyle { begin {cases} -u '' = f { mbox {in}} [a, b] u (a) = u (b) = 0 end {cases}}}$

kde ${ displaystyle f: [a, b] to mathbb {R}}$ je dané spojitá funkce.

Fyzicky řešení ${ displaystyle u}$ do tohoto dvoubodového problém mezní hodnoty představuje tvar pořízený a tětiva pod vlivem síly takové, že v každém bodě ${ displaystyle x}$ mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ the hustota síly je ${ displaystyle f (x) mathbf {e}}$ (kde ${ displaystyle mathbf {e}}$ je jednotkový vektor směřující svisle, zatímco koncové body řetězce jsou na vodorovné čáře, viz sousední obrázek). Tato síla může být například gravitace, když ${ displaystyle f}$ je konstantní funkce (protože gravitační síla je ve všech bodech stejná).

Nechte Hilbertův prostor ${ displaystyle V}$ být Sobolevův prostor ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} (a, b),}$ což je prostor všech čtvercově integrovatelné funkce ${ displaystyle v}$ definováno dne ${ displaystyle [a, b]}$ které mají slabý derivát na ${ displaystyle [a, b]}$ s ${ displaystyle v '}$ být také čtvercově integrovatelný a ${ displaystyle v}$ splňuje podmínky ${ displaystyle v (a) = v (b) = 0.}$ Vnitřní produkt v tomto prostoru je

${ displaystyle (v, w) = int _ {a} ^ {b} ! v '(x) w' (x) , dx}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle w}$ v ${ displaystyle V.}$

Po vynásobení původního problému s hraniční hodnotou ${ displaystyle v}$ v tomto prostoru a provedení integrace po částech, jeden získá ekvivalentní problém

${ displaystyle a (u, v) = L (v)}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V,}$

s

${ displaystyle a (u, v) = int _ {a} ^ {b} ! u '(x) v' (x) , dx}$

(zde je bilineární forma dána stejným výrazem jako vnitřní produkt, není tomu tak vždy), a

${ displaystyle L (v) = int _ {a} ^ {b} ! f (x) v (x) , dx.}$

Je možné ukázat, že bilineární forma ${ displaystyle a ( cdot, cdot)}$ a operátor ${ displaystyle L}$ uspokojit předpoklady Céova lemmatu.

Funkce v ${ displaystyle V_ {h}}$ (červeně) a typická sbírka základních funkcí v ${ displaystyle V_ {h}}$ (v modré).

Aby bylo možné určit konečný trojrozměrný podprostor ${ displaystyle V_ {h}}$ z ${ displaystyle V,}$ zvážit a rozdělit

${ displaystyle a = x_ {0}$

intervalu ${ displaystyle [a, b],}$ a nechte ${ displaystyle V_ {h}}$ být prostorem všech spojitých funkcí, které jsou afinní na každém podintervalu v oddílu (tyto funkce se nazývají po částech lineární ). Navíc předpokládejme, že jakákoli funkce v ${ displaystyle V_ {h}}$ bere hodnotu 0 na koncových bodech ${ displaystyle [a, b].}$ Z toho vyplývá, že ${ displaystyle V_ {h}}$ je vektorový podprostor o ${ displaystyle V}$ jehož rozměr je ${ displaystyle n-1}$ (počet bodů v oddílu, které nejsou koncovými body).

Nechat ${ displaystyle u_ {h}}$ být řešením problému podprostoru

${ displaystyle a (u_ {h}, v) = L (v)}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h},}$

takže si člověk může myslet ${ displaystyle u_ {h}}$ jako po částech lineární aproximace k přesnému řešení ${ displaystyle u.}$ U Céova lemmatu existuje konstanta ${ displaystyle C> 0}$ závislé pouze na bilineární formě ${ displaystyle a ( cdot, cdot),}$ takhle

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq C | u-v |}$ pro všechny ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V_ {h}.}$

Chcete-li výslovně vypočítat chybu mezi ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle u_ {h},}$ zvažte funkci ${ displaystyle pi u}$ v ${ displaystyle V_ {h}}$ který má stejné hodnoty jako ${ displaystyle u}$ v uzlech oddílu (tzv ${ displaystyle pi u}$ se získá lineární interpolací na každém intervalu ${ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ z hodnot ${ displaystyle u}$ v koncových bodech intervalu). To lze zobrazit pomocí Taylorova věta že existuje konstanta ${ displaystyle K}$ to záleží pouze na koncových bodech ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b,}$ takhle

${ displaystyle | u '(x) - ( pi u)' (x) | leq Kh | u '' | _ {L ^ {2} (a, b)}}$

pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, b],}$ kde ${ displaystyle h}$ je největší délka podintervalů ${ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ v oddílu a normou na pravé straně je L² norma.

Tato nerovnost pak vede k odhadu chyby

${ displaystyle | u- pi u |.}$

Poté nahrazením ${ displaystyle v = pi u}$ z lemu Céa to vyplývá

${ displaystyle | u-u_ {h} | leq Ch | u '' | _ {L ^ {2} (a, b)},}$

kde ${ displaystyle C}$ je odlišná konstanta od výše uvedeného (záleží pouze na bilineární formě, která implicitně závisí na intervalu ${ displaystyle [a, b]}$).

Tento výsledek má zásadní význam, protože uvádí, že metodu konečných prvků lze použít k přibližně výpočtu řešení našeho problému a že chyba ve vypočítaném řešení klesá úměrně velikosti oddílu ${ displaystyle h.}$ Céovo lemma lze použít stejným způsobem k odvození odhadů chyb pro problémy konečných prvků ve vyšších dimenzích (zde doména ${ displaystyle u}$ byl v jedné dimenzi) a při použití vyššího řádu polynomy pro podprostor ${ displaystyle V_ {h}.}$

Reference

• Céa, Jean (1964). Aproximační variacenelle des problèmes aux limites (PDF) (Disertační práce). Annales de l'Institut Fourier 14. 2. str. 345–444. Citováno 2010-11-27. (Originální dílo J. Céa)

• Johnson, Claes (1987). Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou konečných prvků. Cambridge University Press. ISBN  0-521-34514-6.

• Monk, Peter (2003). Metody konečných prvků pro Maxwellovy rovnice. Oxford University Press. ISBN  0-19-850888-3.

• Roos, H.-G .; Stynes, M .; Tobiska, L. (1996). Numerické metody pro singulárně narušené diferenciální rovnice: konvekčně-difúzní a tokové problémy. Berlín; New York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-60718-8.

• Eriksson, K .; Estep, D .; Hansbo, P .; Johnson, C. (1996). Výpočtové diferenciální rovnice. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN  0-521-56738-6.

• Zeidler, Eberhard (1995). Aplikovaná funkční analýza: aplikace v matematické fyzice. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7.

• Brenner, Susanne C.; L. Ridgeway Scott (2002). Matematická teorie metod konečných prvků (2. vyd.). ISBN  0-387-95451-1. OCLC  48892839.
• Ciarlet, Philippe G. (2002). Metoda konečných prvků pro eliptické úlohy ((SIAM Classics dotisk) ed.). ISBN  0-89871-514-8. OCLC  48892573.