Meshfree metody - Meshfree methods

20 bodů a jejich buňky Voronoi

V oblasti numerická analýza, metody meshfree jsou ty, které nevyžadují spojení mezi uzly simulační domény, tj. a pletivo, ale jsou spíše založeny na interakci každého uzlu se všemi jeho sousedy. V důsledku toho se původní rozsáhlé vlastnosti, jako je hmotnost nebo kinetická energie, již nepřiřazují prvkům sítě, ale spíše jednotlivým uzlům. Metody Meshfree umožňují simulaci některých jinak obtížných typů problémů za cenu extra výpočetního času a programovacího úsilí. Nepřítomnost sítě umožňuje Lagrangian simulace, ve kterých se uzly mohou pohybovat podle rychlostní pole.

Motivace

Numerické metody, jako je metoda konečné diference, metoda konečných objemů, a Metoda konečných prvků byly původně definovány v sítích datových bodů. V takové síti má každý bod pevný počet předdefinovaných sousedů a toto propojení mezi sousedy lze použít k definování matematických operátorů, jako je derivát. Tito operátoři se pak používají ke konstrukci rovnic pro simulaci - například Eulerovy rovnice nebo Navier-Stokesovy rovnice.

Ale v simulacích, kde se simulovaný materiál může pohybovat (jako v výpočetní dynamika tekutin ) nebo kde je velký deformace materiálu (jako v simulacích) plastové materiály ), lze obtížně udržovat konektivitu sítě bez zavedení chyby do simulace. Pokud se síť během simulace zamotá nebo zdegeneruje, operátoři na ní definovaní již nemusí dávat správné hodnoty. Síť může být znovu vytvořena během simulace (proces zvaný remeshing), ale může to také způsobit chybu, protože všechny existující datové body musí být mapovány na novou a odlišnou sadu datových bodů. Meshfree metody jsou určeny k nápravě těchto problémů. Metody Meshfree jsou také užitečné pro:

• Simulace kde vytvoření užitečné sítě z geometrie složitého 3D objektu může být obzvláště obtížné nebo vyžaduje lidskou pomoc
• Simulace, kde mohou být vytvořeny nebo zničeny uzly, například v simulacích praskání
• Simulace, kde se problémová geometrie může pohybovat mimo zarovnání s pevnou sítí, například v simulacích ohybu
• Simulace obsahující nelineární chování materiálu, diskontinuity nebo singularity

Příklad

V tradičním konečný rozdíl simulace, doménou jednorozměrné simulace by byla nějaká funkce ${displaystyle u (x, t)}$, představovaný jako síť datových hodnot ${displaystyle u_ {i} ^ {n}}$ v bodech ${displaystyle x_ {i}}$, kde

${displaystyle i = 0,1,2 ...}$

${displaystyle n = 0,1,2 ...}$

${displaystyle x_ {i + 1} -x_ {i} = h pro všechny i}$

${displaystyle t_ {n + 1} -t_ {n} = k pro všechny n}$

Můžeme definovat deriváty, které se vyskytují v simulované rovnici, například pomocí konečných rozdílových vzorců v této doméně

${displaystyle {částečné u nad částečným x} = {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} nad 2 h}}$

a

${displaystyle {částečné u nad částečným t} = {u_ {i} ^ {n + 1} -u_ {i} ^ {n} nad k}}$

Pak můžeme použít tyto definice ${displaystyle u (x, t)}$ a jeho prostorové a časové derivace k napsání simulované rovnice ve formě konečné diference, poté simulaci rovnice jedním z mnoha metody konečných rozdílů.

V tomto jednoduchém příkladu jsou kroky (zde prostorový krok ${displaystyle h}$ a časový údaj ${displaystyle k}$) jsou konstantní podél celé sítě a levý a pravý soused sítě s hodnotou dat v ${displaystyle x_ {i}}$ jsou hodnoty na ${displaystyle x_ {i-1}}$ a ${displaystyle x_ {i + 1}}$, resp. Obecně v konečných rozdílech lze velmi snadno povolit kroky proměnné podél mřížky, ale všechny původní uzly by měly být zachovány a mohou se pohybovat samostatně pouze deformací původních prvků. Pokud dokonce jen dva ze všech uzlů změní své pořadí, nebo je do simulace přidán nebo odebrán pouze jeden uzel, vytvoří to defekt v původní síti a jednoduchá aproximace konečných rozdílů již nebude moci zůstat.

Hydrodynamika vyhlazených částic (SPH), jedna z nejstarších metod meshfree, řeší tento problém zpracováním datových bodů jako fyzických částic s hmotou a hustotou, které se mohou časem pohybovat a nést určitou hodnotu ${displaystyle u_ {i}}$ s nimi. SPH pak definuje hodnotu ${displaystyle u (x, t)}$ mezi částicemi o

${displaystyle u (x, t_ {n}) = součet _ {i} m_ {i} {frac {u_ {i} ^ {n}} {ho _ {i}}} W (| x-x_ {i} |)}$

kde ${displaystyle m_ {i}}$ je hmotnost částice ${displaystyle i}$, ${displaystyle ho _ {i}}$ je hustota částic ${displaystyle i}$, a ${displaystyle W}$ je funkce jádra, která pracuje na blízkých datových bodech a je vybrána pro plynulost a další užitečné vlastnosti. Podle linearity můžeme zapsat prostorovou derivaci jako

${displaystyle {částečné u nad částečným x} = součet _ {i} m_ {i} {frac {u_ {i} ^ {n}} {ho _ {i}}} {částečný W (| x-x_ {i} |) přes částečné x}}$

Pak můžeme použít tyto definice ${displaystyle u (x, t)}$ a jeho prostorové derivace k zápisu simulované rovnice jako obyčejná diferenciální rovnice, a simulujte rovnici s jedním z mnoha numerické metody. Fyzicky to znamená výpočet sil mezi částicemi a jejich integraci v průběhu času, aby se určil jejich pohyb.

Výhodou SPH v této situaci je, že vzorce pro ${displaystyle u (x, t)}$ a jeho deriváty nezávisí na žádných informacích o sousedství o částicích; mohou použít částice v libovolném pořadí, takže nezáleží na tom, zda se částice pohybují nebo si dokonce vyměňují místa.

Jednou z nevýhod SPH je, že vyžaduje další programování k určení nejbližších sousedů částice. Protože funkce jádra ${displaystyle W}$ pouze vrací nenulové výsledky pro blízké částice v rámci dvojnásobné „vyhlazovací délky“ (protože obvykle volíme funkce jádra s kompaktní podpora ), bylo by ztrátou úsilí vypočítat výše uvedené součty nad každou částicí ve velké simulaci. Simulátory SPH tedy obvykle vyžadují nějaký další kód, který by urychlil výpočet nejbližšího souseda.

Dějiny

Jednou z prvních metod bez použití sítí je vyhlazená částicová hydrodynamika, představený v roce 1977.^[1] Liberský et al.^[2] byli první, kdo použili SPH v mechanice těles. Hlavními nevýhodami SPH jsou nepřesné výsledky blízko hranic a nestabilita napětí, která byla poprvé zkoumána Sweglem.^[3]

V 90. letech se objevila nová třída metod bez síťování založených na Galerkinova metoda. Tato první metoda se nazývala metoda difúzních prvků^[4] (DEM), propagovaný Nayrolesem a kol., Využil MLS aproximace v Galerkinově řešení parciálních diferenciálních rovnic s přibližnými derivacemi funkce MLS. Poté Belytschko propagoval metodu Element Free Galerkin (EFG),^[5] který používal MLS s Lagrangeovými multiplikátory k vynucení okrajových podmínek, numerická kvadratura vyššího řádu ve slabé formě a úplné derivace aproximace MLS, která poskytla lepší přesnost. Přibližně ve stejnou dobu metoda reprodukce jádrových částic^[6] (RKPM), aproximace částečně motivovala k opravě odhadu jádra v SPH: poskytnout přesnost blízko hranic, nejednotné diskretizace a přesnost vyššího řádu obecně. Je pozoruhodné, že v paralelním vývoji Metody hmotných bodů byly vyvinuty přibližně ve stejnou dobu^[7] které nabízejí podobné možnosti. Metody materiálových bodů jsou ve filmovém průmyslu široce používány k simulaci velké deformační mechaniky těles, jako je sníh ve filmu Zamrzlý.^[8] RKPM a další metody meshfree byly rozsáhle vyvinuty Chenem, Liu a Li koncem 90. let pro různé aplikace a různé třídy problémů.^[9] V průběhu 90. let a poté bylo vyvinuto několik dalších odrůd, včetně níže uvedených.

Seznam metod a akronymů

Následující numerické metody jsou obecně považovány za spadající do obecné třídy metod „meshfree“. Zkratky jsou uvedeny v závorkách.

• Vyhlazená hydrodynamika částic (SPH) (1977)
• Metoda rozptýleného prvku (DEM) (1992)
• Disipativní dynamika částic (DPD) (1992)
• Galerkin bez prvků metoda (EFG / EFGM) (1994)
• Metoda reprodukce jádrových částic (RKPM) (1995)
• Metoda konečných bodů (FPM) (1996)
• Metoda konečných bodů (FPM) (1998)
• hp-cloudy
• Metoda přírodních prvků (NEM)
• Metoda hmotného bodu (MPM)
• Meshless místní Petrov Galerkin (MLPG) (1998)^[10]
• Formulace bez generalizovaného síťování (GSMF) (2016)^[11]
• Pohybující se částice částečně implicitní (MPS)
• Zobecněná metoda konečných rozdílů (GFDM)
• Částice v buňce (PIC)
• Metoda konečných prvků s pohyblivými částicemi (MPFEM)
• Metoda konečných mraků (FCM)
• Metoda hraničního uzlu (BNM)
• Meshfree pohybující se metoda interpolace Kriging (MK)
• Metoda mezního mraku (BCM)
• Metoda základních řešení (MFS)
• Metoda konkrétního řešení (MPS)
• Metoda konečných koulí (MFS)
• Diskrétní vírová metoda (DVM)
• Metoda konečné hmotnosti (FMM) (2000)^[12]
• Metoda interpolace vyhlazeného bodu (S-PIM) (2005).^[13]
• Meshfree místní metoda interpolace radiálním bodem (RPIM).^[13]
• Metoda kolokace lokálních radiálních základních funkcí (LRBFCM)^[14]
• Metoda viskózních vírových domén (VVD)
• Metoda praskání částic (CPM) (2004)
• Diskrétní metoda nejmenších čtverců bez sítě (DLSM) (2006)
• Metoda ponořených částic (IPM) (2006)
• Optimální metoda dopravy Meshfree (OTM) (2010)^[15]
• Metoda opakované výměny (RRM) (2012)^[16]
• Metoda integrální rovnice na radiální bázi^[17]
• Metoda nejmenšího umísťování bez mřížky (2001)^[18]
• Peridynamika (PD)
• Metoda exponenciálních základních funkcí (EBF) (2010)^[19]

Související metody:

• Pohybující se nejméně čtverců (MLS) - poskytuje obecnou metodu aproximace pro libovolnou sadu uzlů
• Rozdělení jednoty metody (PoUM) - poskytují obecnou aproximační formulaci používanou v některých metodách bez použití sítí
• Metoda kontinuálního míchání (obohacování a spojování konečných prvků a metody bez sítí) - viz Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• rozšířené MKP, Zobecněná MKP (XFEM, GFEM) - varianty MKP (metoda konečných prvků) kombinující některé bezsíťové aspekty
• Metoda vyhlazených konečných prvků (S-FEM) (2007)
• Metoda gradientního vyhlazování (GSM) (2008)
• Místní maximální entropie (LME) - viz Arroyo a Ortiz (2006)
• Space-Time Meshfree Collocation Method (STMCM) - viz Netuzhylov (2008), Netuzhylov & Zilian (2009)
• Meshfree Interface-Finite Element Method (MIFEM) (2015) - hybridní metoda konečných prvků a meshfree pro numerickou simulaci fázové transformace a problémů s vícefázovým tokem^[20]

Nedávný vývoj

Primárními oblastmi pokroku v metodách meshfree je řešení problémů se základním vynucením hranic, numerickou kvadraturou a kontaktem a velkými deformacemi.^[21] Běžný Slabá forma vyžaduje důrazné vymáhání základních okrajových podmínek, ale metody bez sítí obecně postrádají Kroneckerova delta vlastnictví. Díky tomu je vynucování základních hraničních podmínek netriviální, přinejmenším obtížnější než Metoda konečných prvků, kde mohou být uloženy přímo. Byly vyvinuty techniky k překonání této obtížnosti a silnému uložení podmínek. Pro zavedení základních okrajových podmínek bylo vyvinuto několik metod slabě, počítaje v to Lagrangeovy multiplikátory, Nitcheova metoda a penalizační metoda.

Co se týče kvadratura, je obecně upřednostňována uzlová integrace, která nabízí jednoduchost, efektivitu a udržuje metodu bez mřížky bez jakékoli mřížky (na rozdíl od použití Gaussova kvadratura, což vyžaduje síť pro generování kvadraturních bodů a vah). Uzlová integrace však trpí numerickou nestabilitou kvůli podcenění deformační energie spojené s režimy krátkých vln,^[22] a také přináší nepřesné a nekonvergentní výsledky v důsledku nedostatečné integrace slabé formy.^[23] Jedním z hlavních pokroků v numerické integraci byl vývoj stabilizované konformní uzlové integrace (SCNI), která poskytuje metodu uzlové integrace, která netrpí žádným z těchto problémů.^[23] Metoda je založena na vyhlazení kmene, které splňuje první objednávku kalmetizace. Později však bylo zjištěno, že v SCNI stále existují nízkoenergetické režimy a byly vyvinuty další stabilizační metody. Tato metoda byla aplikována na řadu problémů, včetně tenkých a silných desek, poromechaniky, problémů s převahou konvekcí, mezi ostatními.^[21] V poslední době byl vyvinut rámec pro předávání testů patchů libovolného pořadí na základě a Metoda Petrov – Galerkin.^[24]

Jeden nedávný pokrok v metodách meshfree se zaměřuje na vývoj výpočetních nástrojů pro automatizaci v modelování a simulacích. To umožňuje takzvaná oslabená slabá (W2) formulace založená na G prostor teorie.^[25][26] Formulace W2 nabízí možnosti formulovat různé (jednotně) „měkké“ modely, které dobře fungují s trojúhelníkovými sítěmi. Vzhledem k tomu, že trojúhelníkovou síť lze generovat automaticky, je opětovné vytváření sítí mnohem snazší, a proto umožňuje automatizaci v modelování a simulaci. Kromě toho lze modely W2 vyrobit dostatečně měkké (jednotným způsobem), aby vytvářely horní hranice řešení (pro problémy s řízením síly). Spolu s tuhými modely (například plně kompatibilní modely FEM) lze řešení pohodlně svázat z obou stran. To umožňuje snadný odhad chyb u obecně komplikovaných problémů, pokud lze generovat trojúhelníkovou síť. Typickými modely W2 jsou metody interpolace hladkého bodu (neboli S-PIM).^[13] S-PIM může být založen na uzlech (známý jako NS-PIM nebo LC-PIM),^[27] edge-based (ES-PIM),^[28] a na bázi buněk (CS-PIM).^[29] NS-PIM byl vyvinut pomocí takzvané SCNI techniky.^[23] Poté bylo zjištěno, že NS-PIM je schopen produkovat horní mezní roztok a volumetrické zamykání zdarma.^[30] ES-PIM má vynikající přesnost a CS-PIM se chová mezi NS-PIM a ES-PIM. Formulace W2 navíc umožňují použití polynomiálních a radiálních základních funkcí při vytváření tvarových funkcí (přizpůsobuje se funkcím diskontinuálního posunutí, pokud jsou v prostoru G1), což otevírá další prostor pro budoucí vývoj. Formulace W2 také vedla k vývoji kombinace technik bez mřížky s dobře vyvinutými technikami FEM a nyní lze použít trojúhelníkové mřížky s vynikající přesností a požadovanou měkkostí. Typickou takovou formulací je takzvaná metoda vyhlazených konečných prvků (neboli S-FEM).^[31] S-FEM je lineární verze S-PIM, ale s většinou vlastností S-PIM a mnohem jednodušší.

Obecně se předpokládá, že metody bez použití sítí jsou mnohem dražší než protějšky FEM. Nedávná studie však zjistila, že některé metody bez sítí, jako jsou S-PIM a S-FEM, mohou být mnohem rychlejší než protějšky FEM.^[13][31]

S-PIM a S-FEM fungují dobře pro problémy mechaniky těles. U problémů s CFD může být formulace jednodušší díky silné formulaci. Pro problémy s CFD byla nedávno vyvinuta metoda Gradient Smoothing Methods (GSM), která implementuje myšlenku vyhlazování přechodu v silné formě.^[32][33] GSM je podobné jako [FVM], ale používá operace vyhlazování přechodů výhradně ve vnořených módech a je obecnou numerickou metodou pro PDE.

Uzlová integrace byla navržena jako technika pro použití konečných prvků k emulaci chování bez sítí.^{[Citace je zapotřebí ]} Překážkou, kterou je třeba překonat při použití uzlových integrovaných prvků, je to, že množství v uzlových bodech nejsou spojité a uzly jsou sdíleny mezi více prvky.

Viz také

• Mechanika kontinua
• Metoda vyhlazených konečných prvků^[31]
• G prostor^[34]
• Oslabená slabá forma^[35][36]
• Metoda hraničních prvků
• Ponorná hraniční metoda
• Kód šablony
• Metoda částic

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Blog USACM o metodách Meshfree