Vzorec exponenciální odezvy - Exponential response formula - Wikipedia

v matematika, vzorec exponenciální odezvy (ERF), také známý jako exponenciální odezva a komplexní náhrada, je metoda používaná k nalezení konkrétního řešení a nehomogenní lineární obyčejná diferenciální rovnice jakékoli objednávky.^[1]^[2] Vzorec exponenciální odezvy je použitelný pro nehomogenní lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pokud je funkce polynomiální, sinusový, exponenciální nebo kombinace těchto tří.^[2] Obecné řešení nehomogenního lineárního obyčejná diferenciální rovnice je superpozice obecného řešení přidruženého homogenního ODE a konkrétního řešení nehomogenního ODE.^[1] Alternativní metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic vyššího řádu jsou metoda neurčených koeficientů a způsob variace parametrů.

Kontext a metoda

Použitelnost

Metoda ERF pro nalezení konkrétního řešení nehomogenní diferenciální rovnice je použitelná, pokud nehomogenní rovnice je nebo by mohla být transformována do formy ${ displaystyle f (t) = B_ {1} e ^ { gamma _ {1} t} + B_ {2} e ^ { gamma _ {2} t} + cdots + B_ {n} e ^ { gamma _ {n} t}}$ ; kde ${ displaystyle B, gamma}$ jsou nemovitý nebo komplexní čísla a ${ displaystyle f (t)}$ je homogenní lineární diferenciální rovnice libovolného řádu. Potom lze vzorec exponenciální odezvy použít na každý člen pravé strany takové rovnice. Kvůli linearitě lze vzorec exponenciální odezvy použít, pokud má pravá strana termíny, které sečtou pomocí princip superpozice.

Komplexní výměna

Komplexní nahrazení je metoda převodu nehomogenního termínu rovnice na komplexní exponenciální funkci, díky níž je daná diferenciální rovnice komplexní exponenciální.

Zvažte diferenciální rovnici ${ displaystyle y '' + y = cos (t)}$ .

Chcete-li provést komplexní výměnu, Eulerův vzorec může být použito;

{ displaystyle { begin {zarovnáno} cos (t) & = operatorname {Re} (e ^ {it}) = operatorname {Re} ( cos (t) + i sin (t)) sin (t) & = operatorname {Im} (e ^ {it}) = operatorname {Im} ( cos (t) + i sin (t)) end {zarovnáno}}}

Proto se daná diferenciální rovnice změní na ${ displaystyle z '' + z = e ^ {it}}$ . Řešení složité diferenciální rovnice lze najít jako ${ displaystyle z (t)}$ , ze kterého je skutečnou částí řešení původní rovnice.

Komplexní náhrada se používá k řešení diferenciálních rovnic, když je nehomogenní člen vyjádřen pomocí sinusové funkce nebo exponenciální funkce, kterou lze převést na komplexní diferenciální exponenciální funkci a integraci. S takovou složitou exponenciální funkcí se manipuluje snáze než s původní funkcí.

Když je nehomogenní člen vyjádřen jako exponenciální funkce, použije se metoda ERF nebo metoda neurčených koeficientů lze použít k vyhledání a konkrétní řešení. Pokud nehomogenní termíny nelze transformovat na komplexní exponenciální funkci, pak Lagrangeova metoda variace parametrů lze použít k nalezení řešení.

Lineární časově invariantní operátor

The diferenciální rovnice jsou důležité při simulaci přírodních jevů. Zejména existuje řada jevů popsaných jako lineární diferenciální rovnice vysokého řádunapříklad vibrace pružiny, Obvod LRC, průhyb paprsku, zpracování signálu, teorie řízení a LTI systémy se zpětnovazebními smyčkami.^[1] ^[3]

Matematicky to systém je časově neměnný pokud kdykoli vstup ${ displaystyle f (t)}$ má odpověď ${ displaystyle x (t)}$ pak pro jakoukoli konstantu "a" vstup ${ displaystyle f (t-a)}$ má odpověď ${ displaystyle x (t-a)}$ . Fyzická časová invariance znamená, že odezva systému nezávisí na tom, v jakém čase vstup začíná. Například pokud je systém pružiny a hmoty na rovnováha, bude reagovat na danou sílu stejným způsobem, bez ohledu na to, kdy byla síla použita.

Když je časově invariantní systém také lineární, nazývá se to lineární časově invariantní systém (systém LTI). Většina z těchto systémů LTI je odvozena z lineárních diferenciálních rovnic, kde se nehomogenní termín nazývá vstupní signál a řešení nehomogenních rovnic se nazývá signál odezvy. Pokud je vstupní signál dán exponenciálně, odpovídající signál odezvy se také exponenciálně změní.

Vzhledem k následujícímu ${ displaystyle n}$ lineární diferenciální rovnice tého řádu

{ displaystyle a_ {n} { frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} + a_ {n-1} { frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ { n-1}}} + cdots + a_ {1} { frac {dy} {dt}} + a_ {0} y = f (t) qquad qquad quad (1)}

a označovat

{ displaystyle L = a_ {n} D ^ {n} + a_ {n-1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {1} D ^ {1} + a_ {0} I,}

{ displaystyle D ^ {k} = { frac {d ^ {k}} {dt ^ {k}}} (k = 1,2, ldots, n),}

kde ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n}}$ jsou konstantní koeficienty, produkuje diferenciální operátor ${ displaystyle L}$ , který je lineární a časově neměnný a známý jako Operátor LTI. Operátor, ${ displaystyle L}$ se získává z jeho charakteristický polynom;

{ displaystyle P (s) = a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + cdots + a_ {0}}

formálním nahrazením neurčitých s zde operátor diferenciace ${ displaystyle D}$

{ displaystyle L = P (D)}

{ displaystyle P (D) = a_ {n} D ^ {n} + a_ {n-1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {0} I}

Proto lze rovnici (1) zapsat jako

{ Displaystyle P (D) y = f (t) qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (2)}

Nastavení problému a metoda ERF

Vzhledem k výše uvedené diferenciální rovnici LTI s exponenciálním vstupem ${ displaystyle f (t) = Buďte ^ { gama t}}$ , kde ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle gamma}$ jsou uvedena čísla. Pak je konkrétní řešení

${ displaystyle y_ {p} = { frac {Be ^ { gamma t}} {P ( gamma)}} qquad}$

poskytnout pouze to ${ displaystyle P ( gamma) neq 0}$ .

Důkaz: Kvůli linearita operátora ${ displaystyle P (D)}$ , rovnici lze zapsat jako

{ displaystyle P (D) (y_ {p}) = P (D) vlevo ({ frac {Be ^ { gamma t}} {P ( gamma)}} vpravo) = { frac {B } {P ( gamma)}} P (D) (e ^ { gama t}) qquad qquad (3)}

Na druhou stranu od té doby

{ displaystyle P (D) vlevo (e ^ { gamma t} vpravo) = P ( gamma) e ^ { gamma t},}

dosazením to do rovnice (3), produkuje

{ displaystyle P (D) (y_ {p}) = P (D) vlevo ({ frac {Be ^ { gamma t}} {P ( gamma)}} vpravo) = { frac {B } {P ( gamma)}} P (D) left (e ^ { gamma t} right) = { frac {B} {P ( gamma)}} P ( gamma) e ^ { gamma t} = Buďte ^ { gamma t}.}

Proto, ${ displaystyle y_ {p}}$ je konkrétní řešení nehomogenní diferenciální rovnice.

Výše uvedená rovnice pro konkrétní odezvu ${ displaystyle y_ {p}}$ se nazývá vzorec exponenciální odezvy (ERF) pro daný exponenciální vstup.

Zejména v případě ${ displaystyle P ( gamma) = 0}$ , řešení rovnice (2) je dáno vztahem

{ displaystyle y_ {p} = { frac {Bte ^ { gamma t}} {P '( gamma)}}, qquad P' ( gamma) neq 0}

a nazývá se vzorec rezonanční odezvy.

Příklad

Najdeme konkrétní řešení lineárního nehomogenního ODE 2. řádu;

{ displaystyle 2x '' + x '+ x = 1 + 2e ^ {t} + e ^ {- t} cos (t).}

Charakteristický polynom je ${ displaystyle P (s) = 2 s ^ {2} + s + 1}$ . Také nehomogenní výraz, ${ displaystyle f (t) = 1 + 2e ^ {t} + e ^ {- t} cos (t)}$ lze psát následovně

{ displaystyle f (t) = f_ {1} (t) + f_ {2} (t) + f_ {3} (t), f_ {1} (t) = 1, f_ {2} (t) = 2e ^ {t}, f_ {3} (t) = e ^ {- t} cos (t).}

Poté konkrétní řešení odpovídající ${ displaystyle f_ {1} (t), f_ {2} (t)}$ a ${ displaystyle f_ {3} (t)}$ , jsou nalezeny, resp.

Za prvé, s ohledem na nehomogenní výraz, ${ displaystyle f_ {1} (t) = 1}$ . V tomto případě od ${ displaystyle f_ {1} (t) = 1 = e ^ {0 cdot t}, gamma = 0}$ a ${ Displaystyle P ( gamma) = P (0) = 1 neq 0}$ .

z ERF, konkrétní řešení odpovídající ${ displaystyle f_ {1} (t)}$ Může být nalezeno.

{ displaystyle x_ {1p} = { frac {f_ {1} (t)} {P (0)}} = { frac {1} {1}} = 1}

.

Obdobně lze nalézt konkrétní řešení odpovídající ${ displaystyle f_ {2} (t)}$ .

{ displaystyle x_ {2p} = { frac {f_ {2} (t)} {P (1)}} = { frac {2e ^ {t}} {4}} = { frac {e ^ { t}} {2}}.}

Najdeme konkrétní řešení DE odpovídající 3. termínu;

{ displaystyle 2x '' + x '+ x = e ^ {- t} cos (t).}

Aby to bylo možné, musí být rovnice nahrazena rovnicí s komplexní hodnotou, jejíž je skutečnou součástí:

{ displaystyle 2z '' + z '+ z = e ^ {(- 1 + i) t}.}

Použitím vzorce exponenciální odezvy (ERF) se vytvoří

{ displaystyle { begin {aligned} z_ {p} & = { frac {e ^ {(- 1 + i) t}} {P (-1 + i)}} & = { frac {tj ^ {(- 1 + i) t}} {3}} && P (-1 + i) = 2 (-1 + i) ^ {2} + (- 1 + i) + 1 = -3i end {zarovnáno }}}

a skutečná část je

{ displaystyle x_ {3p} = - { frac {1} {3}} e ^ {- t} sin (t).}

Proto konkrétní řešení dané rovnice, ${ displaystyle x_ {p}}$ je

{ displaystyle x_ {p} = x_ {1p} + x_ {2p} + x_ {3p} = 1 + { frac {e ^ {t}} {2}} - { frac {1} {3}} e ^ {- t} sin (t).}

Porovnání s metodou neurčitých koeficientů

The metoda neurčených koeficientů je metoda vhodného výběru typu řešení podle formy nehomogenního termínu a určení neurčené konstanty tak, aby vyhovovala nehomogenní rovnici.^[4] Na druhou stranu metoda ERF získá speciální řešení založené na diferenciálním operátoru.^[2] Podobnost obou metod spočívá v tom, že jsou získána speciální řešení nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, přičemž uvažovaná rovnice je u obou metod stejná.

Například nalezení konkrétního řešení ${ displaystyle y '' + y = e ^ {t}}$ s metodou neurčitých koeficientů vyžaduje řešení charakteristické rovnice ${ displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0, lambda = pm i}$ . Nehomogenní výraz ${ displaystyle f (t) = Be ^ { gamma t}, B = 1, gamma = 1}$ je poté zváženo a od té doby ${ displaystyle gamma = 1}$ není charakteristický kořen, dává konkrétní řešení v podobě ${ displaystyle y_ {p} (t) = Ae ^ { gama t}}$ , kde ${ displaystyle A}$ je neurčená konstanta. Dosazením do rovnice určíme předběžné konstantní výtěžky

{ displaystyle lambda ^ {2} Ae ^ { lambda t} + Ae ^ { lambda t} = e ^ { lambda t}}

proto

{ displaystyle A = { frac {1} { lambda ^ {2} +1}}.}

Konkrétní řešení lze nalézt ve formě:^[5]

{ displaystyle y_ {p} (t) = Ae ^ { lambda t} = { frac {e ^ { lambda t}} { lambda ^ {2} +1}}.}

Na druhou stranu metoda vzorce s exponenciální odezvou vyžaduje charakteristický polynom ${ displaystyle P (s) = s ^ {2} +1}$ k nalezení, po kterém nehomogenní termíny ${ displaystyle f (t) = Be ^ { gamma t}, B = 1, gamma = 1}$ je komplex nahrazen. Konkrétní řešení je pak nalezeno pomocí vzorce

{ displaystyle y_ {p} (t) = { frac {e ^ { lambda t}} {P ( lambda)}} = { frac {e ^ { lambda t}} { lambda ^ {2 } +1}}.}

Zobecněný vzorec exponenciální odezvy

Příklady

Chcete-li najít konkrétní řešení následující ODE;

{ displaystyle y '' '- 3r' + 2r = 6e ^ {t}.}

charakteristický polynom je ${ displaystyle P (s) = s ^ {3} -3s + 2}$ .

Výpočtem získáme následující:

{ Displaystyle P (1) = 0, P '(1) = 0, P' (1) = 6 neq 0.}

Původní vzorec exponenciální odezvy nelze v tomto případě použít kvůli dělení nulou. Proto pomocí obecného vzorce exponenciální odezvy a vypočítaných konstant je konkrétní řešení

{ displaystyle y_ {p} (t) = { frac {6t ^ {2} e ^ {t}} {P '(1)}} = { frac {6t ^ {2} e ^ {t} } {6}} = t ^ {2} e ^ {t}.}

Metoda vzorce exponenciální odezvy byla diskutována v případě ${ displaystyle P ( gamma) neq 0}$ . V případě ${ displaystyle P ( gamma) = 0, P '( gamma) neq 0}$ , vzorec rezonanční odezvy je také zvažováno.

V případě ${ displaystyle P ( gamma) = P '( gamma) = cdots = P ^ {(k-1)} ( gamma) = 0, P ^ {k} ( gamma) neq 0}$ , probereme, jak bude v této části popsána metoda ERF.

Nechat ${ displaystyle P (D)}$ být polynomiálním operátorem s konstantními koeficienty a ${ displaystyle P ^ {(m)}}$ své ${ displaystyle m}$ -tý derivát. Pak ODE

{ displaystyle P (D) y = Be ^ { gamma t}}

, kde

{ displaystyle gamma}

je skutečný nebo složitý.

má konkrétní řešení následovně.

${ displaystyle P ( gamma) neq 0}$ . V tomto případě bude konkrétní řešení dáno ${ displaystyle y_ {p} (t) = { tfrac {Be ^ { gamma t}} {P ( gamma)}}}$ .(vzorec reakce exponentu)

${ displaystyle P ( gamma) = 0}$ ale ${ displaystyle P '( gamma) neq 0}$ . V tomto případě bude konkrétní řešení dáno ${ displaystyle y_ {p} (t) = { tfrac {Bte ^ { gamma t}} {P '( gamma)}}}$ .(vzorec rezonanční odezvy)

${ displaystyle P ( gamma) = P '( gamma) = cdots = P ^ {(k-1)} ( gamma) = 0}$ ale ${ displaystyle P ^ {k} ( gamma) neq 0}$ . V tomto případě bude konkrétní řešení dáno

${ displaystyle y_ {p} (t) = { frac {Bt ^ {k} e ^ { gamma t}} {P ^ {(k)} ( gamma)}}, k = 2, ldots, m}$

Volá se výše uvedená rovnice generalizovaný vzorec exponenciální odezvy.

Příklady použití

Pohyb předmětu visícího z pružiny

Objekt visící z pružiny s posunem ${ displaystyle d}$ . Působící silou je gravitace, síla pružiny, odpor vzduchu a jakékoli další vnější síly.

Z Hookeův zákon, pohybová rovnice objektu je vyjádřena následovně;^[6]^[4]

{ displaystyle m { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + r { frac {dx} {dt}} + kx = F (t),}

kde ${ displaystyle F (t)}$ je vnější síla.

Nyní, za předpokladu táhnout je zanedbáván a ${ displaystyle F (t) = F_ {0} cos ( omega t)}$ , kde ${ displaystyle omega = { sqrt { tfrac {k} {m}}}}$ (frekvence vnější síly se shoduje s přirozenou frekvencí). Proto harmonický oscilátor se sinusovým vynucením je vyjádřen takto:

{ displaystyle m { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + kx = F (t).}

Pak je konkrétní řešení

{ displaystyle x_ {p} = { frac {F_ {0}} {2 { sqrt {km}}}} t sin ( omega t).}

Uplatnění komplexní náhrady a ERF: pokud ${ displaystyle z_ {p}}$ je řešením komplexního DE

{ displaystyle m { frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + kz = F_ {0} e ^ {i omega t},}

pak ${ displaystyle x_ {p} = operatorname {Re} (z_ {p})}$ bude řešením dané DE.

Charakteristický polynom je ${ displaystyle P (s) = ms ^ {2} + k}$ , a ${ displaystyle gamma = i omega}$ , aby ${ displaystyle P ( gamma) = 0}$ . Nicméně od té doby ${ displaystyle P '(s) = 2ms}$ , pak ${ Displaystyle P '( gamma) = P' (i omega) = 2m omega i neq 0}$ . Rezonanční případ ERF tedy dává

{ displaystyle { begin {aligned} y_ {p} & = operatorname {Re} left ({ frac {F_ {0} te ^ {i omega t}} {P '( gamma)}} right) [4pt] & = operatorname {Re} left ({ frac {F_ {0} t ( cos ( omega t) + i sin ( omega t))}} {2mi omega} } right) [4pt] & = operatorname {Re} left ({ frac {-F_ {0} t (i cos ( omega t) - sin ( omega t))} {2m omega}} right) [4pt] & = { frac {F_ {0} t sin ( omega t)} {2m omega}} [4pt] & = { frac {F_ { 0}} {2 { sqrt {km}}}} t sin ( omega t). End {zarovnáno}}}

Elektrické obvody

Vzhledem k elektrickému proudu protékajícímu elektrickým obvodem, který se skládá z odporu ( ${ displaystyle R}$ ), kondenzátor ( ${ displaystyle C}$ ), dráty cívky ( ${ displaystyle L}$ ) a baterie ( ${ displaystyle E}$ ), zapojeny do série. ^[3]^[6]

Tento systém je popsán integrálně-diferenciální rovnicí nalezenou Kirchhoffem Kirchhoffův zákon o napětí, vztahující se k rezistoru ${ displaystyle R}$ kondenzátor ${ displaystyle C}$ , induktor ${ displaystyle L}$ , baterie ${ displaystyle E}$ a aktuální ${ displaystyle I}$ v obvodu následujícím způsobem,

{ displaystyle LI '(t) + RI (t) + { frac {1} {C}} int _ {t_ {0}} ^ {t} já (s) , ds = int _ {t_ {0}} ^ {t} E (s) , ds}

Rozlišování obou stran výše uvedené rovnice vytváří následující ODR.

{ displaystyle LI '(t) + RI' (t) + { frac {1} {C}} I (t) = E (t)}

Nyní, za předpokladu ${ displaystyle E (t) = E_ {0} sin ( omega _ {0} t)}$ , kde ${ displaystyle omega _ {0} = { sqrt { tfrac {1} {LC}}}}$ . ( ${ displaystyle omega _ {0}}$ je nazýván rezonance frekvence v Obvod LRC ). Za výše uvedeného předpokladu výstup (konkrétní řešení) odpovídající vstupu ${ displaystyle E (t)}$ Může být nalezeno. K tomu lze daný vstup převést ve složité formě:

{ displaystyle E (t) = E_ {0} sin ( omega _ {0} t) = operatorname {Im} (E_ {0} e ^ {i omega _ {0} t})}

Charakteristický polynom je ${ displaystyle P (s) = Ls ^ {2} + Rs + { frac {1} {s}}}$ , kde ${ displaystyle P (i omega _ {0}) = i omega _ {0} R neq 0}$ . Z ERF lze tedy konkrétní řešení získat následujícím způsobem;

{ displaystyle { begin {aligned} I_ {p} & = operatorname {Im} left ({ frac {E_ {0} e ^ {i omega _ {0} t}} {P (i omega _ {0})}} right) & = operatorname {Im} left ({ frac {E_ {0} e ^ {i omega _ {0} t}} {i omega _ {0 } R}} right) & = operatorname {Im} left ({ frac {-E_ {0} (i cos ( omega _ {0} t) - sin ( omega _ {0) } t))} { omega _ {0} R}} vpravo) [4pt] & = { frac {-E_ {0} cos ( omega _ {0} t)} { omega _ {0} R}} end {aligned}}}

Komplexní zisk a fázové zpoždění

Vzhledem k obecnému systému LTI

{ displaystyle P (D) x = Q (D) f (t)}

kde ${ displaystyle f (t)}$ je vstup a ${ displaystyle P (D), Q (D)}$ jsou dány polynomiální operátory, za předpokladu, že ${ displaystyle P (s) neq 0}$ .V případě že ${ displaystyle f (r) = F_ {0} cos ( omega t)}$ , konkrétní řešení dané rovnice je

{ displaystyle x_ {p} (t) = operatorname {Re} vlevo (F_ {0} { frac {Q (i omega)} {P (i omega)}} e ^ {i omega t }že jo).}

Vezmeme-li v úvahu následující koncepty používané hlavně ve fyzice a zpracování signálu.

Amplituda vstupu je ${ displaystyle F_ {0}}$ . To má stejné jednotky jako vstupní množství.
Úhlová frekvence vstupu je ${ displaystyle omega}$ . Má jednotky radiánů / čas. Často to bude označováno jako frekvence, i když technicky by frekvence měla mít jednotky cyklů / čas.
Amplituda odezvy je ${ displaystyle A = F_ {0} | Q (i omega) / P (i omega) |}$ . To má stejné jednotky jako množství odpovědi.
Zisk je ${ displaystyle g ( omega) = | Q (i omega) / P (i omega) |}$ . Zisk je faktor, kterým se vynásobí vstupní amplituda, aby se získala amplituda odezvy. Má jednotky potřebné k převodu vstupních jednotek na výstupní jednotky.
Fázové zpoždění je ${ displaystyle phi = - operatorname {Arg} (Q (i omega) / P (i omega))}$ . Fázové zpoždění má jednotky radiánů, tj. Je bezrozměrné.
Časové zpoždění je ${ displaystyle phi / omega}$ . To má jednotky času. Je to čas, kdy vrchol výstupu zaostává za časem vstupu.
Komplexní zisk je ${ displaystyle Q (i omega) / P (i omega)}$ . Toto je faktor, kterým se vynásobí komplexní vstup, aby se získal komplexní výstup.

Reference

^ ^A ^b ^C Miller, Haynes; Mattuck, Arthur (červen 2004), Diferenciální rovnice, IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9, str. 50–56, hdl:1721.1/34888
^ ^A ^b ^C Wirkus, Stephen A .; Swift, Randal J .; Szypowski, Ryan S. (2016), Kurz diferenciálních rovnic s problémy mezních hodnot, druhé vydání„Učebnice matematiky (2. vydání), Chapman and Hall / CRC, s. 230–238, ISBN 978-1498736053
^ ^A ^b Charles L, Phillips (2007), Signály, systémy a transformace (PDF), str. 112–122, ISBN 978-0-13-198923-8
^ ^A ^b Coddington, Earl A .; Carlson, Robert (1997), Lineární obyčejné diferenciální rovnice (PDF), s. 3–80, ISBN 0-89871-388-9
^ Ralph P. Grimaldi (2000). "Nehomogenní relace opakování". Oddíl 3.3.3 Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky. Kenneth H. Rosen, vyd. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.
^ ^A ^b Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008), ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE (PDF), str. 100–193, ISBN 978-0-13-239730-8

externí odkazy

[MIT1-1] A ^b ^C Miller, Haynes; Mattuck, Arthur (červen 2004), Diferenciální rovnice, IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9, str. 50–56, hdl:1721.1/34888

[wirkus-2] A ^b ^C Wirkus, Stephen A .; Swift, Randal J .; Szypowski, Ryan S. (2016), Kurz diferenciálních rovnic s problémy mezních hodnot, druhé vydání„Učebnice matematiky (2. vydání), Chapman and Hall / CRC, s. 230–238, ISBN 978-1498736053

[signal-3] A ^b Charles L, Phillips (2007), Signály, systémy a transformace (PDF), str. 112–122, ISBN 978-0-13-198923-8

[ode2-4] A ^b Coddington, Earl A .; Carlson, Robert (1997), Lineární obyčejné diferenciální rovnice (PDF), s. 3–80, ISBN 0-89871-388-9

[Grimaldi-5] Ralph P. Grimaldi (2000). "Nehomogenní relace opakování". Oddíl 3.3.3 Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky. Kenneth H. Rosen, vyd. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.

[ode1-6] A ^b Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008), ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE (PDF), str. 100–193, ISBN 978-0-13-239730-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]