Pseudospektrální metoda - Pseudo-spectral method

Pseudospektrální metody,^[1] známé také jako metody diskrétní proměnné reprezentace (DVR), jsou třídou numerické metody použito v aplikovaná matematika a vědecké výpočty pro řešení parciální diferenciální rovnice. Jsou úzce spjaty s spektrální metody, ale doplňují základ dodatečným pseudospektrálním základem, který umožňuje reprezentaci funkcí na kvadraturní mřížce. To zjednodušuje hodnocení určitých operátorů a může výrazně urychlit výpočet při použití rychlých algoritmů, jako je rychlá Fourierova transformace.

Motivace na konkrétním příkladu

Vezměte problém počáteční hodnoty

{ displaystyle i { frac { částečné} { částečné t}} psi (x, t) = { Bigl [} - { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2} }} + V (x) { Bigr]} psi (x, t), qquad qquad psi (t_ {0}) = psi _ {0}}

s periodickými podmínkami ${ displaystyle psi (x + 1, t) = psi (x, t)}$ . Tento konkrétní příklad je Schrödingerova rovnice pro částici v potenciálu ${ displaystyle V (x)}$ , ale struktura je obecnější. V mnoha praktických parciálních diferenciálních rovnicích je jeden pojem, který zahrnuje derivace (například příspěvek kinetické energie) a násobení funkcí (například potenciálem).

Ve spektrální metodě řešení ${ displaystyle psi}$ je rozšířena o vhodnou sadu základních funkcí, například rovinné vlny,

{ displaystyle psi (x, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} součet _ {n} c_ {n} (t) e ^ {2 pi inx}.}

Vložením a vyrovnáním stejných koeficientů se získá sada obyčejné diferenciální rovnice pro koeficienty,

{ displaystyle i { frac {d} {dt}} c_ {n} (t) = (2 pi n) ^ {2} c_ {n} + součet _ {k} V_ {nk} c_ {k },}

kde prvky ${ displaystyle V_ {n-k}}$ se počítají prostřednictvím explicitní Fourierovy transformace

{ displaystyle V_ {n-k} = int _ {0} ^ {1} V (x) e ^ {2 pi i (k-n) x} dx.}

Řešení by pak bylo získáno zkrácením expanze na ${ displaystyle N}$ základní funkce a hledání řešení pro ${ displaystyle c_ {n} (t)}$ . Obecně to dělá numerické metody, jako Metody Runge – Kutta. U numerických řešení musí být pravá strana obyčejné diferenciální rovnice vyhodnocena opakovaně v různých časových krocích. V tomto bodě má spektrální metoda hlavní problém s potenciálním členem ${ displaystyle V (x)}$ .

Ve spektrálním vyjádření je násobení funkcí ${ displaystyle V (x)}$ transformuje do násobení vektor-matice, které se mění jako ${ displaystyle N ^ {2}}$ . Také prvky matice ${ displaystyle V_ {n-k}}$ je třeba explicitně vyhodnotit, než bude možné vyřešit diferenciální rovnici pro koeficienty, což vyžaduje další krok.

V pseudospektrální metodě je tento termín vyhodnocen odlišně. Vzhledem k koeficientům ${ displaystyle c_ {n} (t)}$ , inverzní diskrétní Fourierova transformace poskytuje hodnotu funkce ${ displaystyle psi}$ v diskrétních bodech mřížky ${ displaystyle x_ {j} = 2 pi j / N}$ . V těchto bodech mřížky se funkce poté znásobí, ${ displaystyle psi '(x_ {i}, t) = V (x_ {i}) psi (x_ {i}, t)}$ a výsledek Fourierova transformace zpět. Tím se získá nová sada koeficientů ${ displaystyle c '_ {n} (t)}$ které se používají místo maticového produktu ${ displaystyle sum _ {k} V_ {n-k} c_ {k} (t)}$ .

Je možné ukázat, že obě metody mají podobnou přesnost. Nicméně, pseudo-spektrální metoda umožňuje použití rychlé Fourierovy transformace, která se mění jako ${ displaystyle O (N ln N)}$ , a je tedy výrazně účinnější než násobení matic. Také funkce ${ displaystyle V (x)}$ lze použít přímo bez vyhodnocení dalších integrálů.

Technická diskuse

Více abstraktním způsobem se pseudospektrální metoda zabývá násobením dvou funkcí ${ displaystyle V (x)}$ a ${ displaystyle f (x)}$ jako součást parciální diferenciální rovnice. Pro zjednodušení zápisu je zrušena časová závislost. Koncepčně se skládá ze tří kroků:

${ displaystyle f (x), { tilda {f}} (x) = V (x) f (x)}$ jsou rozšířeny v konečné sadě základních funkcí (to je spektrální metoda ).
Pro danou sadu základních funkcí se hledá kvadratura, která převádí skalární produkty těchto základních funkcí na vážený součet přes body mřížky.
Produkt se vypočítá vynásobením ${ displaystyle V, f}$ v každém bodě mřížky.

Expanze na základě

Funkce ${ displaystyle f, { tilde {f}}}$ lze konečně rozšířit ${ displaystyle { phi _ {n} } _ {n = 0, ldots, N}}$ tak jako

{ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} phi _ {n} (x)}

{ displaystyle { tilde {f}} (x) = suma _ {n = 0} ^ {N} { tilde {c}} _ {n} phi _ {n} (x)}

Pro jednoduchost nechte základnu ortogonální a normalizovanou, ${ displaystyle langle phi _ {n}, phi _ {m} rangle = delta _ {nm}}$ za použití vnitřní produkt ${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {a} ^ {b} f (x) { overline {g (x)}} dx}$ s příslušnými hranicemi ${ displaystyle a, b}$ . Koeficienty se poté získají pomocí

{ displaystyle c_ {n} = langle f, phi _ {n} rangle}

{ displaystyle { tilde {c}} _ {n} = langle { tilde {f}}, phi _ {n} rangle}

Trochu kalkulů se tedy získá

{ displaystyle { tilde {c}} _ {n} = součet _ {m = 0} ^ {N} V_ {n-m} c_ {m}}

s ${ displaystyle V_ {n-m} = langle V phi _ {m}, phi _ {n} rangle}$ . To tvoří základ spektrální metody. Rozlišovat základ ${ displaystyle phi _ {n}}$ z kvadraturního základu se expanze někdy nazývá Finite Basis Representation (FBR).

Kvadratura

Pro daný základ ${ displaystyle { phi _ {n} }}$ a počet ${ displaystyle N + 1}$ základních funkcí se můžeme pokusit najít kvadraturu, tj. množinu ${ displaystyle N + 1}$ body a váhy takové, že

{ displaystyle langle phi _ {n}, phi _ {m} rangle = sum _ {i = 0} ^ {N} w_ {i} phi _ {n} (x_ {i}) { overline { phi _ {m} (x_ {i})}} qquad qquad n, m = 0, ldots, N}

Zvláštní příklady jsou Gaussova kvadratura pro polynomy a Diskrétní Fourierova transformace pro rovinné vlny. Je třeba zdůraznit, že body a váhy mřížky, ${ displaystyle x_ {i}, w_ {i}}$ jsou funkcí základny a číslo ${ displaystyle N}$ .

Kvadratura umožňuje alternativní numerické znázornění funkce ${ displaystyle f (x), { tilde {f}} (x)}$ prostřednictvím jejich hodnoty v bodech mřížky. Tato reprezentace se někdy označuje jako diskrétní proměnná reprezentace (DVR) a je zcela ekvivalentní rozšíření v základně.

{ displaystyle f (x_ {i}) = součet _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} phi _ {n} (x_ {i})}

{ displaystyle c_ {n} = langle f, phi _ {n} rangle = sum _ {i = 0} ^ {N} w_ {i} f (x_ {i}) { overline { phi _ {n} (x_ {i})}}}

Násobení

Násobení funkcí ${ displaystyle V (x)}$ pak se provádí v každém bodě mřížky,

{ displaystyle { tilde {f}} (x_ {i}) = V (x_ {i}) f (x_ {i}).}

To obecně zavádí další aproximaci. Abychom to viděli, můžeme vypočítat jeden z koeficientů ${ displaystyle { tilde {c}} _ {n}}$ :

{ displaystyle { tilde {c}} _ {n} = langle { tilde {f}}, phi _ {n} rangle = sum _ {i} w_ {i} { tilde {f} } (x_ {i}) { overline { phi _ {n} (x_ {i})}} = součet _ {i} w_ {i} V (x_ {i}) f (x_ {i}) { overline { phi _ {n} (x_ {i})}}}

Při použití spektrální metody by však byl stejný koeficient ${ displaystyle { tilde {c}} _ {n} = langle Vf, phi _ {n} rangle}$ . Pseudospektrální metoda tak zavádí další aproximaci

{ displaystyle langle Vf, phi _ {n} rangle přibližně součet _ {i} w_ {i} V (x_ {i}) f (x_ {i}) { overline { phi _ {n } (x_ {i})}}.}

Pokud produkt ${ displaystyle Vf}$ lze reprezentovat danou konečnou množinou základních funkcí, výše uvedená rovnice je přesná vzhledem k zvolené kvadratuře.

Speciální pseudospektrální schémata

Fourierova metoda

Pokud periodické okrajové podmínky s periodou ${ displaystyle [0, L]}$ jsou uloženy v systému, základní funkce mohou být generovány rovinnými vlnami,

{ displaystyle phi _ {n} (x) = { frac {1} { sqrt {L}}} e ^ {- imath k_ {n} x}}

s ${ displaystyle k_ {n} = (- 1) ^ {n} lceil n / 2 rceil 2 pi / L}$ , kde ${ displaystyle lceil cdot rceil}$ je stropní funkce.

Kvadratura pro cut-off v ${ displaystyle n _ { text {max}} = N}$ je dán diskrétní Fourierova transformace. Body mřížky jsou rovnoměrně rozmístěny, ${ displaystyle x_ {i} = i Delta x}$ s mezerami ${ displaystyle Delta x = L / (N + 1)}$ a konstantní váhy jsou ${ displaystyle w_ {i} = Delta x}$ .

Pro diskusi o chybě si povšimněte, že produktem dvou rovinných vln je opět rovinná vlna, ${ displaystyle phi _ {a} + phi _ {b} = phi _ {c}}$ s ${ displaystyle c leq a + b}$ . Tedy kvalitativně, pokud funkce ${ displaystyle f (x), V (x)}$ lze dostatečně přesně znázornit pomocí ${ displaystyle N_ {f}, N_ {V}}$ základní funkce, pseudospektrální metoda poskytuje přesné výsledky, pokud ${ displaystyle N_ {f} + N_ {V}}$ jsou použity základní funkce.

Expanze v rovinných vlnách má často špatnou kvalitu a ke konvergenci potřebuje mnoho základních funkcí. Transformaci mezi základním rozšířením a reprezentací mřížky však lze provést pomocí a Rychlá Fourierova transformace, který se příznivě mění jako ${ displaystyle N ln N}$ . V důsledku toho jsou rovinné vlny jednou z nejběžnějších expanzí, s nimiž se setkáváme u pseudospektrálních metod.

Polynomy

Další běžná expanze je do klasických polynomů. Tady je Gaussova kvadratura se používá, což znamená, že vždy lze najít váhy ${ displaystyle w_ {i}}$ a body ${ displaystyle x_ {i}}$ takhle

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} w (x) p (x) dx = součet _ {i = 0} ^ {N} w_ {i} p (x_ {i})}

platí pro libovolný polynom ${ displaystyle p (x)}$ stupně ${ displaystyle 2N + 1}$ nebo méně. Typicky váhová funkce ${ displaystyle w (x)}$ a rozsahy ${ displaystyle a, b}$ jsou vybrány pro konkrétní problém a vede k jedné z různých forem kvadratury. Abychom to mohli použít na pseudospektrální metodu, zvolíme základní funkce ${ displaystyle phi _ {n} (x) = { sqrt {w (x)}} P_ {n} (x)}$ , s ${ displaystyle P_ {n}}$ je polynomem stupně ${ displaystyle n}$ s majetkem

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} w (x) P_ {n} (x) P_ {m} (x) dx = delta _ {mn}.}

Za těchto podmínek ${ displaystyle phi _ {n}}$ tvoří ortonormální základ s ohledem na skalární součin ${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {a} ^ {b} f (x) { overline {g (x)}} dx}$ . Tento základ lze společně s kvadraturními body použít pro pseudospektrální metodu.

Pro diskusi o chybě si všimněte, že pokud ${ displaystyle f}$ je dobře zastoupena ${ displaystyle N_ {f}}$ základní funkce a ${ displaystyle V}$ je dobře reprezentován polynomem stupně ${ displaystyle N_ {V}}$ , jejich produkt lze v první rozšířit ${ displaystyle N_ {f} + N_ {V}}$ základní funkce a pseudospektrální metoda poskytne přesné výsledky pro mnoho základních funkcí.

Takové polynomy se přirozeně vyskytují v několika standardních problémech. Například kvantový harmonický oscilátor je v ideálním případě rozšířen v Hermitových polynomech a Jacobiho polynomy lze použít k definování souvisejících Legendrových funkcí, které se obvykle vyskytují v rotačních problémech.

Reference

^ Orszag, Steven A. (září 1972). "Porovnání pseudospektrální a spektrální aproximace". Studium aplikované matematiky. 51 (3): 253–259. doi:10,1002 / sapm1972513253.

Orszag, Steven A. (1969). "Numerické metody pro simulaci turbulence". Fyzika tekutin. 12 (12): II-250. doi:10.1063/1.1692445.
Gottlieb, David; Orszag, Steven A. (1989). Numerická analýza spektrálních metod: teorie a aplikace (5. tisk. Vyd.). Philadelphia, Pa .: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN 978-0898710236.
Hesthaven, Jan S .; Gottlieb, Sigal; Gottlieb, David (2007). Spektrální metody pro časově závislé problémy (1. vyd. Vyd.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Lis. ISBN 9780521792110.
Jie Shen, Tao Tang a Li-Lian Wang (2011) „Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications“ (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN 354071040X.
Trefethen, Lloyd N. (2000). Spektrální metody v MATLABu (3. vydání). Philadelphia, PA: SIAM. ISBN 978-0-89871-465-4.
Fornberg, Bengt (1996). Praktický průvodce pseudospektrálními metodami. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780511626357.
Boyd, John P. (2001). Čebyševova a Fourierova spektrální metoda (2. vydání, rev. Vydání). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0486411835.
Funaro, Daniele (1992). Polynomiální aproximace diferenciálních rovnic. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-46783-0.
de Frutos, Javier; Novo, Julia (leden 2000). "Metoda spektrálních prvků pro Navier - Stokesovy rovnice se zvýšenou přesností". Časopis SIAM o numerické analýze. 38 (3): 799–819. doi:10.1137 / S0036142999351984.
Claudio, Canuto; M. Yousuff, Hussaini; Alfio, Quarteroni; Thomas A., Zang (2006). Základy spektrálních metod v jednotlivých doménách. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30726-6.
Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Oddíl 20.7. Spektrální metody“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

[1] Orszag, Steven A. (září 1972). "Porovnání pseudospektrální a spektrální aproximace". Studium aplikované matematiky. 51 (3): 253–259. doi:10,1002 / sapm1972513253.

[1]