Věta o Peanově existenci - Peano existence theorem
Diferenciální rovnice | |||||
---|---|---|---|---|---|
![]() Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky. | |||||
Klasifikace | |||||
Typy
| |||||
Řešení | |||||
Obecná témata | |||||
Metody řešení | |||||
v matematika, konkrétně při studiu obyčejné diferenciální rovnice, Věta o Peanově existenci, Peanoova věta nebo Cauchy – Peanoova věta, pojmenoval podle Giuseppe Peano a Augustin-Louis Cauchy, je zásadní teorém který zaručuje existence řešení určitých problémy s počáteční hodnotou.
Dějiny
Peano teorém poprvé publikoval v roce 1886 s nesprávným důkazem.[1] V roce 1890 vydal nový správný důkaz pomocí postupných aproximací.[2]
Teorém
Nechat D být otevřeno podmnožina R × R s
spojitá funkce a
A kontinuální, explicitní diferenciální rovnice prvního řádu definováno dne D, pak každý problém s počáteční hodnotou
pro F s má lokální řešení
kde je sousedství z v , takový, že pro všechny .[3]
Řešení nemusí být jedinečné: jedna a stejná počáteční hodnota (X0,y0) může vést k mnoha různým řešením z.
Související věty
Peanovu větu lze srovnat s dalším výsledkem existence ve stejném kontextu, Picard – Lindelöfova věta. Picard – Lindelöfova věta předpokládá více i více uzavírá. To vyžaduje Lipschitzova kontinuita zatímco Peanoova věta vyžaduje pouze spojitost; ale dokazuje to jak existenci, tak jedinečnost, když Peanoova věta dokazuje pouze existenci řešení. Pro ilustraci zvažte obyčejná diferenciální rovnice
- na doméně
Podle Peanoovy věty má tato rovnice řešení, ale Picard – Lindelöfova věta neplatí, protože pravá strana není Lipschitzova spojitá v žádném sousedství obsahujícím 0. Můžeme tedy konstatovat existenci, ale ne jedinečnost. Ukazuje se, že tato obyčejná diferenciální rovnice má na začátku dva druhy řešení , buď nebo . Přechod mezi a se může stát v kterémkoli C.
The Věta o existenci Carathéodory je zobecnění věty o existenci Peana se slabšími podmínkami než kontinuita.
Poznámky
- ^ Peano, G. (1886). „Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine“. Atti Accad. Sci. Turín. 21: 437–445.
- ^ Peano, G. (1890). „Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires“. Mathematische Annalen. 37 (2): 182–228. doi:10.1007 / BF01200235.
- ^ (Coddington a Levinson 1955, str. 6)
Reference
- Osgood, W. F. (1898). „Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung“. Monatshefte für Mathematik. 9: 331–345.
- Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teorie obyčejných diferenciálních rovnic. New York: McGraw-Hill.
- Murray, Francis J .; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Věty o existenci obyčejných diferenciálních rovnic (Dotisk ed.). New York: Krieger.
- Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-8328-0.