V aplikované matematice diskontinuální Galerkinovy metody (metody DG) tvoří třídu numerické metody řešení diferenciální rovnice. Kombinují vlastnosti konečný element a konečný objem rámec a byly úspěšně použity hyperbolický, eliptický, parabolický a problémy smíšené formy vyplývající z široké škály aplikací. Zejména metody DG získaly značný zájem o problémy s dominantní částí prvního řádu, např. v elektrodynamika, mechanika tekutin a fyzika plazmatu.
Diskontinuální Galerkinovy metody byly poprvé navrženy a analyzovány na počátku 70. let jako technika numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic. V roce 1973 Reed a Hill představili metodu DG k řešení rovnice transportu hyperbolických neutronů.
Původ metody DG pro eliptické problémy nelze vysledovat od jediné publikace, protože funkce, jako je skoková penalizace v moderním smyslu, byly vyvíjeny postupně. Mezi prvními vlivnými přispěvateli však byli Babuška, J.-L. Lvi, Joachim Nitsche a Miloš Zlámal. Metody DG pro eliptické problémy byly již vyvinuty v článku Gartha Bakera o nastavení rovnic 4. řádu v roce 1977. Podrobnější popis historického vývoje a úvod do metod DG pro eliptické problémy je uveden v publikaci Arnold, Brezzi , Cockburn a Marini. Řada výzkumných směrů a výzev týkajících se metod DG je shromážděna v sborníku, který upravili Cockburn, Karniadakis a Shu.
Přehled
Stejně jako kontinuální Galerkinova (CG) metoda, diskontinuální Galerkinova (DG) metoda je a Metoda konečných prvků formulováno vzhledem k a slabá formulace konkrétního modelového systému. Na rozdíl od tradičních metod CG, které jsou vyhovující, metoda DG funguje na zkušebním prostoru pouze funkcí po částech spojité, a tak často zahrnují inkluzivnější funkční prostory než konečný trojrozměrný vnitřní produktový podprostor využívaný ve shodných metodách.
Jako příklad zvažte rovnice spojitosti pro skalární neznámo
v prostorové doméně
bez „zdrojů“ nebo „dřezů“:

kde
je tok
.
Nyní zvažte konečně-dimenzionální prostor diskontinuálních po částech polynomiálních funkcí přes prostorovou doménu
omezeno na diskrétní triangulace
, psáno jako

pro
prostor polynomů se stupni menšími nebo rovnými
přes prvek
indexováno podle
. Pak pro funkce tvaru konečných prvků
řešení představuje

Pak podobně vyberte testovací funkci

vynásobením rovnice spojitosti číslem
a integrace po částech v prostoru se polodiskrétní formulace DG stává:

Skalární hyperbolický zákon zachování
Skalární zákon o hyperbolické ochraně je ve formě

kde se člověk pokusí vyřešit neznámou skalární funkci
a funkce
jsou obvykle uvedeny.
Diskretizace prostoru
The
-prostor bude diskriminován jako

Dále potřebujeme následující definice

Základ pro funkční prostor
Odvozujeme základní reprezentaci funkčního prostoru našeho řešení
Funkční prostor je definován jako

kde
označuje omezení z
do intervalu
, a
označuje prostor polynomů maxima stupeň
Index
by měl ukázat vztah k základní diskretizaci dané
.Toto si všimněte
není v průsečících jednoznačně definována
.
Nejprve použijeme konkrétní polynomiální bázi na intervalu
, Legendární polynomy
, tj.,

Všimněte si zejména vztahů ortogonality
![{displaystyle leftlangle P_ {i}, P_ {j} ightangle _ {L ^ {2} ([- 1,1])} = {frac {2} {2i + 1}} delta _ {ij} quad forall, i , jin mathbb {N} _ {0} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047ab4c461c39325d103b96d60634fe690fef639)
Transformace na interval
a normalizace je dosažena funkcemi 
![{displaystyle varphi _ {i} (x): = {sqrt {2i + 1}} P_ {i} (2x-1) quad {ext {for}} quad xin [0,1] ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b830ef93a569c6bcafe8a84e8d1e0d496fd1fdf)
které splňují vztah ortonormality
![{displaystyle leftlangle varphi _ {i}, varphi _ {j} ightangle _ {L ^ {2} ([0,1])} = delta _ {ij} quad forall, i, jin mathbb {N} _ {0} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4f3e94973b7a13f03e996734fcc4ee26f0420)
Transformace na interval
je dána 

které splňují

Pro
- normalizace, kterou definujeme
, a pro
- normalizace, kterou definujeme
, Svatý.
![{displaystyle | varphi _ {ki} | _ {L ^ {infty} (I_ {k})} = | varphi _ {i} | _ {L ^ {infty} ([0,1])} =: c_ { i, infty} quad {ext {and}} quad | {ilde {varphi}} _ {ki} | _ {L ^ {1} (I_ {k})} = | varphi _ {i} | _ {L ^ {1} ([0,1])} =: c_ {i, 1} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41c5c3724e8a0552bc15efa4d726e3bd0ff6be1)
Nakonec můžeme definovat základní reprezentaci našich řešení 

Všimněte si zde
není definována na pozicích rozhraní.
Kromě toho se hranolové báze používají pro rovinné struktury a jsou schopné 2-D / 3-D hybridizace.
DG-schéma
Zákon zachování je transformován do své slabé formy vynásobením testovacích funkcí a integrací v testovacích intervalech

Při použití částečné integrace je ponecháno

Toky na rozhraní jsou aproximovány číselnými toky
s

kde
označuje limity pro levou a pravou stranu. Nakonec Systém DG lze psát jako

Skalární eliptická rovnice
Skalární eliptická rovnice má tvar

Tato rovnice je rovnicí tepla v ustáleném stavu, kde
je teplota. Diskretizace prostoru je stejná jako výše. Připomínáme si, že interval
je rozdělen na
intervaly délky
.
Představujeme skok
a průměr
funkcí v uzlu
:
![{displaystyle [v] {Big |} _ {x_ {k}} = v (x_ {k} ^ {+}) - v (x_ {k} ^ {-}), quad {v} {velký |} _ {x_ {k}} = 0,5 (v (x_ {k} ^ {+}) + v (x_ {k} ^ {-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfcdb395b1485b02499399a9a232d297771791b1)
Metoda Galerkinova nesouvislého trestu za interiér je: najít
uspokojující

kde se tvoří bilineární
a
jsou
![{displaystyle A (u_ {h}, v_ {h}) = součet _ {k = 1} ^ {N + 1} int _ {x_ {k-1}} ^ {x_ {k}} částečný _ {x} u_ {h} částečné _ {x} v_ {h} - součet _ {k = 1} ^ {N} {částečné _ {x} u_ {h}} _ {x_ {k}} [v_ {h}] _ {x_ {k}} + varepsilon součet _ {k = 1} ^ {N} {částečný _ {x} v_ {h}} _ {x_ {k}} [u_ {h}] _ {x_ {k}} + {frac {sigma} {h}} součet _ {k = 1} ^ {N} [u_ {h}] _ {x_ {k}} [v_ {h}] _ {x_ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f606507d3beee4beca56d3d6c13b1ab5cbc17ed)
a

Lineární tvary
a
jsou

a

Parametr trestu
je kladná konstanta. Zvýšení jeho hodnoty sníží skoky v diskontinuálním řešení. Termín
je zvolen tak, aby se rovnal
pro Galerkinovu metodu symetrického vnitřního trestu; to se rovná
pro Galerkinovu metodu nesymetrického vnitřního trestu.
Přímá diskontinuální Galerkinova metoda
The přímá diskontinuální Galerkinova (DDG) metoda je nová diskontinuální Galerkinova metoda pro řešení difúzních problémů. V roce 2009 Liu a Yan poprvé navrhli metodu DDG pro řešení difúzních rovnic.[1][2] Výhodou této metody ve srovnání s diskontinuální Galerkinovou metodou je, že přímá diskontinuální Galerkinova metoda odvozuje numerický formát přímým převzetím numerického toku funkce a prvního derivačního členu bez zavedení mezilehlých proměnných. Stále můžeme získat rozumné číselné výsledky pomocí této metody a proces odvození je jednodušší, množství výpočtu je výrazně sníženo.
Metoda přímých diskontinuitních konečných prvků je větev diskontinuálních Galerkinových metod.[3] Zahrnuje zejména transformaci problému do variační formy, rozdělení regionálních jednotek, konstrukci základních funkcí, formování a řešení nespojitých rovnic konečných prvků a konvergenci a analýzu chyb.
Zvažte například nelineární difúzní rovnici, která je jednorozměrná:
, ve kterém 
Diskretizace prostoru
Nejprve definujte
, a
. Proto jsme provedli prostorovou diskretizaci
. Také definujte
.
Chceme najít přibližnou hodnotu
na
takhle
,
,
,
je prostor polynomů v
s titulem v
a nižší než
.
Formulace režimu
Tok:
.
: přesné řešení rovnice.
Vynásobte rovnici hladkou funkcí
takže získáme následující rovnice:
,

Tady
je libovolné, přesné řešení
rovnice je nahrazeno přibližným řešením
, to znamená, že numerické řešení, které potřebujeme, se získá řešením diferenciálních rovnic.
Numerický tok
Výběr správného numerického toku je rozhodující pro přesnost metody DDG.
Numerický tok musí splňovat následující podmínky:
♦ Je to v souladu s 
♦ Numerický tok je konzervativní v jediné hodnotě zapnuto
.
♦ Má
-stabilita;
♦ Může zlepšit přesnost metody.
Je tedy dáno obecné schéma pro numerický tok:
![{displaystyle {widehat {h}} = D_ {x} b (u) = eta _ {0} {frac {left [bleft (uight) ight]} {Delta x}} + {overline {{bleft (uight)} _ {x}}} + součet _ {m = 1} ^ {frac {k} {2}} eta _ {m} {vlevo (Delta xight)} ^ {2m-1} vlevo [částečně _ {x} ^ {2m} bleft (uight) ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c535c781250b2d2610eed1bd30ce2a2a312183)
V tomto toku
je maximální řád polynomů ve dvou sousedních výpočetních jednotkách.
je integrální funkce. Všimněte si, že v nejednotných mřížkách
mělo by
a
v uniformních mřížkách.
Odhady chyb
Označme chybu mezi přesným řešením
a numerické řešení
je
.
Měříme chybu s následující normou:
![{displaystyle left | left | left | v (cdot, t) ight | ight | ight | = {left (int _ {0} ^ {1} v ^ {2} dx + left (1-gamma ight) int _ { 0} ^ {t} součet _ {j = 1} ^ {N} int _ {I_ {j}} v_ {x} ^ {2} dxd au + alpha int _ {0} ^ {t} součet _ {j = 1} ^ {N} {left [vight]} ^ {2} / Delta xcdot d au ight)} ^ {0,5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9709616aeb010abe4de1ed482378709af4fc7b)
a máme
,
Viz také
Reference
- ^ Hailiang Liu, Jue Yan, Přímé diskontinuální Galerkinovy metody (DDG) pro řešení problémů s difúzí, SIAM J. NUMER. ANÁLNÍ. Sv. 47, č. 1, str. 675–698.
- ^ Hailiang Liu, Jue Yan, Metoda přímé diskontinuální Galerkin (DDG) pro difúzi s korekcemi rozhraní, Commun. Comput. Phys. Sv. 8, č. 3, str. 541-564.
- ^ Mengping Zhang, Jue Yan, Analýza Fourierových typů chyb přímé diskontinuální Galerkinovy metody a jejích variací pro difúzní rovnice, Journal of Scientific Computing, 2012,52 (3).
- D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn a L.D. Marini, Jednotná analýza diskontinuálních Galerkinových metod pro eliptické problémy, SIAM J. Numer. Anální. 39 (5): 1749–1779, 2002.
- G. Baker, Metody konečných prvků pro eliptické rovnice využívající neshodné prvky, Math. Comp. 31 (1977), č. 1 137, 45–59.
- A. Cangiani, Z. Dong, E.H. Georgoulis a P. Houston, hp-verze diskontinuální Galerkinovy metody na polygonálních a polyedrických sítíchSpringerBriefs in Mathematics, (prosinec 2017).
- W. Mai, J. Hu, P. Li a H. Zhao, “Efektivní a stabilní 2-D / 3-D hybridní diskontinuální Galerkinova analýza v časové doméně s adaptivním kritériem pro libovolně tvarované antipady v disperzním páru paralelních desek,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., sv. 65, č. 10, s. 3671–3681, říjen 2017.
- W. Mai et al., “Jednoznačné aktualizační kritérium pro 2-D / 3-D hybridní diskontinuální Galerkinovu metodu časové domény řídící komparativní chybu,” IEEE Trans. Microw. Theory Techn., sv. 66, č. 4, s. 1713–1722, duben 2018.
- B. Cockburn, G. E. Karniadakis a C.-W. Shu (eds.), Diskontinuální Galerkinovy metody. Teorie, výpočet a aplikace, Přednášky v oblasti výpočetní vědy a techniky, 11. Springer-Verlag, Berlín, 2000.
- P. Lesaint a P. A. Raviart. „O metodě konečných prvků pro řešení rovnice přenosu neutronů.“ Matematické aspekty konečných prvků v parciálních diferenciálních rovnicích 33 (1974): 89–123.
- D.A. Di Pietro a A. Ern, Matematické aspekty diskontinuálních Galerkinových metod. Mathématiques et Applications, sv. 69, Springer-Verlag, Berlín, 2011.
- J.S. Hesthaven a T. Warburton, Nodální diskontinuální Galerkinovy metody: Algoritmy, analýza a aplikace. Springer Texts in Applied Mathematics 54. Springer Verlag, New York, 2008.
- B. Rivière, Diskontinuální Galerkinovy metody pro řešení eliptických a parabolických rovnic: teorie a implementace. SIAM Frontiers in Applied Mathematics, 2008.
- CFD Wiki http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
- W.H. Reed a T.R. Kopec, Metody trojúhelníkové sítě pro rovnici transportu neutronů, Tech. Zpráva LA-UR-73–479, Los Alamos Scientific Laboratory, 1973.